常微分方程练习题

1、D. 5).B. x = xy (y)3.C. y =xy (x)卜列方程中为全微分方程的是（C. xdy - ydx = 0D. x = xy (y).B. xdyx=0x y22D. x dy y dx = 0习题一、单项选择题.1.微分方程y"y3 =2cosy'y5的阶数是（）A. 1 B. 2C. 32.克莱罗方程的一般形式是（A. y = xy'： +q '（y ）2 x*4.用待定系数法求方程 y -2y +y = xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（）*,2.、 xA. y =(ax bx c)e*,2.、 xB. y = x(ax bx

2、c)e5.C. y* -x2 (ax b)exD. y* x2(ax2 bx c)exLipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.B.必要条件D.既不充分也不必要条件A.充分条件C.充要条件 二、填空题1.方程y'=xtany的所有常数解是32x x2 .函数y = 十一 +C满足的一阶方程是 . 523 .设y1 =xex +e2x,y2 =xex +e：y3 =xex +e” +e2x为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.4 .方程yh -y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5.系统dx dt dy dt二x的零解的是二y稳定的.三、求下列一阶微分方程

3、的通解.1. dy y 4x2y2 1 =0 dx x2. y = y2(cosx-sin x) dx3. (x 2y)dx - xdy =0.四、求下列高阶方程的通解1 . y y cosx2 .试用观察法求方程一，、. 1 . 1(1 -ln x)y +y 1y=0 的通解.x x五、求解微分方程组x = y -5z« y Wx+3y的通解. z' = x 3zdxI六、判定系统dtdy dt33-x - y的零解稳定性.O 33二-3xy七、证明题1 .设f (x)在0, +)上连续，且lim f (x) = 0 ,求证：方程 包+ y = f (x)的任意解y = y

4、(x)均x-dx有 lim y(x) = 0 .x )二.dXtt2 .假设m不是矢I阵A的特征值，试证非齐线f方程组 dX- = AX+Cemt ,有一解形如：5(t) = Pemt.其中C,P是常数向量、单项选择题1 .微分方程 立=y2 +x2的阶数是 dxA. 1 B. 2C. 32 .克莱罗方程的一般形式是(A. y =xy (y )习题二).D. 4B. x = xy :(y )C. y =xy (x)D. x = xy (y )3. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件4. n阶齐次线性常微分方程的任意A.可组成方程的一个

5、基本解组C.朗斯基行列式不为0D.既不充分也不必要条件 n +1个解必定().B.线性相关D.线性无关5. 用待定系数法求方程x*y -2y y =xe的特解y时，下列特解的设法正确的是(*,2xA. y =(ax bx c)e*,2xB. y = x(ax bx c)e*2xC. y =x (ax b)e*2,2.、 xD. y = x (ax bx c)e.、填空题.1 .当 n #.时，微分方程y'= P(x) y+Q(x)yn为伯努利方程.2 .在方程x"+p(t)x' + q(t)x=0中，当系数满足 条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3 .若y=y

6、i(x) , y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示 为.4 .方程y' = Ji - y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5 .设x0 w I , Yi(x)，Yn(x)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y(x)，Yn(x)在区间I上线性相关的 条件是向量组Y(x0)，Yn(x0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.x y1. xy' _y =(x y) Inxdy2/.、2. y = y (cosx - sin x) dx3. (y - e* ey)dx (1 ey)dy =0四、求下列高阶方程的通解.1. y2xy. +

7、y = 012. y y ) cosxdx5y 4x五、求解微分方程组六、判定系统dt如 dtd dt的通解.dy = 4y 5xdt33=-x - y的零解稳定性.33二-3xy七、证明题.f1 .设f (x, y)及f连续,试证方程dy - f (x, y)dx = 0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积二 y分因子.d 2ydy2 .设在方程 一十p(x)十q(x)y =0中，p(x)在区间I上连续且恒不为零， 试证它的任意两个线 dxdx性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数.习题三一、单项选择题.1 .微分方程yW = x+xsin y的阶数是().A. 1 B. 2C.

8、 3 D. 52 .下列方程中为全微分方程的是().xdy - ydxA. - =0x yxdy - ydxB. 22 =0x yC. xdy - ydx = 022D. x dy y dx = 03 .微分方程 y'=P(x)y+Q(x)yn,当 n=1 时为()A. 一阶线性齐次微分方程C.伯努利方程B. 一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程4. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.A.充分条件C.充要条件B.必要条件D.既不充分也不必要条件2x5.用待定系数法求方程 y '-2y +y=(x +2x)e的特解y时，下列特解的设法正确的是(A. y*

9、:(ax2 bx c)exB. y* = x(ax2 bx c)ex*2xC. y = x (ax b)e*2,2.、 xD. y = x (ax bx c)e二、填空题.1 .函数x=c1cost+c2sint(其中ci,C2为任意常数)满足的一阶方程是2 .方程tan yd xcotxd y =0所有常数解是3 .设y1 = xex +e2x, y2 = xex + e',y3 = xex + e' + e2x为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为4 .方程y'= M y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是5 .与初值问题x“+2x+7tx = e,，x(1

10、) = 7,x'(1) = 2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解1.(x2 -1)y 2xy2 =02.dy ,2/、y = y (cosx -sin x) dx3.(x 4y) y = 2x 3y 5四、求下列高阶方程的通解,21. t x -2tx 2x = 02. x x - 2x = 0x = y -5z五、求解微分方程组 < y'=-5x+3y的通解.z = x -3zdx六、判定系统出dydt33=x - y的零解稳定性.C 33-3xy七、证明题.1 .设f (x)在0, +叼上连续，且lim f (x) = 0 ,求证：方程dy +

11、 y = f (x)的任意解y x，二dxy(x)均有 lim y(x) =0.x 二2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数. 习题四、单项选择题.2 1 .微分方程y"' = xy" + x的通解中含有任意常数的个数为().A. 1 B. 2C. 3 D. 42 .当n=i时，微分方程y'+p(x)y = q(x)yn最确切的名称为().A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3 . Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的()条件.A.充分条件B.必要条件C.充要

12、条件D.既不充分也不必要条件4 .在整个数轴上线性无关的一组函数为().23A. x, x 1, x -1B. 0, x, x , x“2x22-xx-2C. e , eD. e , e2 x5.用待定系数法求方程 y -2y +y=xe的特解y时，下列特解的设法正确的是()A.y*:(ax2bx c)exB. y* :x(ax2bx c)exC.y*=x2(ax b)exD. y* =x2(ax2bx c)ex、填空题.1 .方程tan ydxcotxd y=0所有常数解是 2 .若y=y(x), y = y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为.3 .方程y- y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是4 .已知cost和sin t是二阶齐次线性方程 x” + a(t)x' + b(t)x = 0的两个解，则a(t)=tT + 8时收敛5 .如果常系数线性方程组 x' = Ax的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当三、求下列一阶微分方程的通解1.曳，tanYdx2.dy dx2 V x2x 2y3.(y-e'