二项式定理的练习及答案

1、二项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题1 .（X+刀二尸展开式中常数项是（）VXA.第 4 项 B. 24C： C. C；2 . （x-l）”展开式中x的偶次项系数之和是（）B.-1023C.-10243 . （1+a）7展开式中有理项的项数是（）.5 C4 .若C:与C：同时有最大值，则m等于（）或5 或6 C. 3或45 . ® （2x-3）l=a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +a4x4,则 ao+ai+Was的值为（）.16 C6 . （x3-L尸展开式中的中间两项为（）xA.-C"2cMi2C：£,-C：X。. -C：W D.叱,-品

2、产（二）填空题7 .在（2x-gy）7展开式中，xV的系数是.8 . C： + 3C； + 3y + -+3y=9 .（方十京）”的展开式中的有理项是展开式的第 项.10 . （2x-l）5展开式中各项系数绝对值之和是.11 . （l + 3x + 3x2 + x3y°展开式中系数最大的项是.12 .精确到的近似值是（三）解答题13 .求（l+x+xa-x）1。展开式中X，的系数.14 .求(l+x) + (l+x)2+(l+x。展开式中x，的系数.15 .已知(2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3,求x的取值范围.16 .若f(x) = (l + x)m+(l + x)n(

3、m-n£N)展开式中，x的系数为21,问m、n为何值时, 一的系数最小17 .自然数n为偶数时，求证：1 + 2C； + C； + 2C： + C： + + 2C+ C： = 3 2n-118 .求80”被9除的余数.19 .已知(JG 三厂的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14； 3,求展开式 x-的常数项.20 .在(x?+3x+2)5的展开式中，求x的系数.21 .求(2x+D"展开式中系数最大的项.参考解答：1 .通项 T=+=C；xJ(擀)=C；xa5r 2,由 6 |i = 0=> = 4,常数项是 15=或21 选(B)2 .设 f(x) =

4、(x-l)“，偶次项系数之和是,：(-1)= (_2)“ / 2 = 1024 ,选(C),r3 .通项T1+i =C；(J5)r =C；2"当r=0, 2, 4, 6时，均为有理项，故有理项的项数为4 个，选(A)4 .要使C：最大，因为17为奇数，则n = U1或n = 1 7 +1n = 8或n=9,若n=8,要 22使c；最大，则1n=4,若n=9,要使C?最大，则m =号或m = 3n m = 4或1n=5, 综上知，m=4或m=5,故选(A)7.；,9,15,21310. (2x-l)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+l)s展开式系数之和，故令x=l,则 所求和

5、为35.11. (1+3x+3x2+x3：T=(1+x)此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是Ti6=C；：x'C； C；0.009 + 忠 0.96 (l + x + x2)(l-x)10 = (l-x3)(l-x)9 要得到含 x'的项,必须第一个因式中的1与(1 - X)9展开式中的项C；(X)，作积，第一个因式中的一 /与(l-x)9展开式 中的项C；(x)作积，故(的系数是C； + C； = 135.1/I io (1 + X)l (1 + X)i° (X 4- I)11 (X + 1)14. (1 + X)+ (1 + X)- + -(l + x)10

6、 =-_- ,原式中 11-(1+ X)X实为这分子中的X，,则所求系数为C.1fCj(-2x)>C：X<"10 一 I,115.由<=>=> <x<匕(-2冷"；(-2"4104 16. 由条件得 m+n=21, x?的项为 C；x? + C：x?,则 C： + C： = (n 爹 + 才.因 nWN, 故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=ll和n=10,或m=10和n=ll时，x?的系数最小17. 原式=(C：+C；+C：+ Cr+C：) + (C；+C：+C：+ -+C：T) = 2n+2nT=3.2nT18

7、. 8011 = (81 -1)11 = C°81n-C；18#° + + C；：81 -1 = 8U-l(k e Z),VkGZ, .*.9k-lGZ,二 81” 被 9 除余 8.19. 依题意C：:C；=14:3n3C：=14C：.3n(n-l) (n-2) (n-3)/4!=4n(n-l)/2! =>n=10f)10-5r设第 r+l 项为常数项，又 Tr+1 = Cl0(VI)l0-r(-4)r = (-2)rCoX-x-令W2£ = 0ni = 2, . J* =c；°(_2)2 =180.此所求常数项为 180.20. (x2 + 3

8、x + 2)5 = (x +1)5(x + 2)在(x+l)5展开式中，常数项为1,含X的项为C； =5x,在(2+x)5展开式中，常数项为2'=32, 含x的项为C；2"x = 80x，展开式中含x的项为L(80x) +5x(32) = 240x,此展开式中x的系数为240.21.设的系数最大，则Te的系数不小于Tr与的系数，即有12-rC：,2" >Crl2lC；2212-r >C123-rll-r =><C、> 2cl12C2>C-展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：/4 = 7920x4三.拓展性例题分析例1在二项式

9、卜日+击)的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有 理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的;* = 0,1,2.得系数为：4=l9t2=Cln- = -n,/3 = C： 了 =6n(n-l), Z Z4 o由已知：2G =f+G n = 1+ -77(77-1), 877 = 8通项公式为1167-刀乜=C；斤不丁厂=0,1,28,(+为有理项，故16 3r是4的倍数，r = 0,4,8.依次得到有理项为 T=/Z=C；*x = x,7； = C； = x7 = ex2.Z oZZJO说明

10、：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了个的取值，得到了有理项.类 似地，（及+ “）侬的展开式中有多少项是有理项可以通过抓通项中r的取值，得到共有 17页系数和为3”.例2（1）求（1 x）3（l+xy°展开式中V的系数；（2）求（x+1+ 2）6展开式中的常x数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以 视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.解：（1）（1 -冷3（1+#1°展开式中的X、可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:用（1一工）3展开式中的常数项乘以展开式中的炉项，可以得到C：。/；用

11、（1一x）3展开式中的一次项乘以（1 + X）10展开式中的/项可得到（3xXC：。/） = -3C；OX5 ； 用（1 x）3中的/乘以（1 + X）10展开式中的/可得到3尸Cfox3 = 3c：。/；用（1 #3中的 X3项乘以（1+X）10展开式中的项可得到一3犬 C；。/ = -Cfox5，合并同类项得/项为： （C：o - C：。+ 3C：o C0）x5 = -63x5.（X+ + 2）5 = f yx + -= .X I由（6十十、展开式的通项公式7；+=C；2（JI）A（N） =1,可得展开式的常数项为C：?=924.说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这

12、时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求（l + x-/）6展开式中炉的系数.分析：（1+X 一工2）6不是二项式，我们可以通过l+X-炉=（1 +刈一片或1+。一/） 把它看成二项式展开.解：方法一：(l + x 一r)6 二(l + x) -X?5=(l + x<5)-6(l + x)5x2 + 15(l+x)4x4-其中含V的项为一 6c江5 + 15C>5 = 6x5.含炉项的系数为6.方法二：(l+x X)6 = l + (xx)j (= l + 6(x-x2)+15(x-x2)2 + 20(x-x2)3 +15(x-x2)4 + 6(x-x2)5 +

13、 (x-x2)6其中含 V 的项为 20(-3)x5 + 15(-4)x5 + 6x5 = 6x5.:.项的系数为6.方法3：本题还可通过把(l + x-V)，看成6个l + x-x?相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，/项可由下列几种可能得到.5个因式中取x, 一个取1得到C；/.3个因式中取x, 一个取一丁，两个取1得到CC*3.(_x2).1个因式中取x,两个取一£,三个取1得到(/尸.合并同类项为(C； -C；C； + Cl6C;)x5 = 6/,/项的系数为6.例 4 求证：(1) C： + 2C；+ + C：=2"t；(2) C； + ；C： + ；C：

14、 + <=<(2出1).2377+1” + 1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式 将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质C + C+C +c： = 2".解：(1) kckn=k- /?!=-厂=".Of =心;k) (k -1)! (- k)l(k -!)!(/? + k)左边=C：_ + +二；=(C3 + C：T + + C：二;)= 2t =右边.(2) -Ck = 1 -=k + i " k + 1 k(

15、n-k)l (J)!(I)!_ _J_.+_ 1 c。n + ik + l)(n-kyn + l ，+1 *左边=_C；J+1 +C；+1 + -+c：i=-(C：r+1 + C3 + -4-C；：i) =工(2加- 1)=右边说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质 求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定 理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例 5：求 29C；： + 28C：o + 27C：o+ - + 2C；o + 10 的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 + 2)1°的展开式接近

16、，但要注意：(1+2严= C；o + C>2 + C；o-22+- + C：o-29+C；21°= l + 2xl0 + 22C;o4- + 29Cfo + 21；J=1+2(10 + 2Cf0 4- - + 28C?0 + 29C；J)从而可以得到：10+2C；° +2SC：o + 29C；： = g(3i° l).例6利用二项式定理证明：32+28-9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明第4一8一9是82的倍数，为了使问题向二项 式定理贴近，变形32"+2=9加=(8 + 1)日，将其展开后各项含有铲，与8?的倍数联系起 来.M：

17、 V32,+2-8/7-9 ¥=9n+1-8n-9 = (8 +1严89= 8m+C38+- + C：；-82+C：38 + l 8 9=8,+1 + C：+1 8" + + C； . 82 + 8(/2 +1) +1 8 9= 8 + C；j+1.8" + - + C；.82=(8/1 + C；,+1 8t + + C；J) 64 是 64 的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.例7展开。工一奈）.分析1:用二项式定理展开式.= 32x5-120x2 + - x135 405 243,+

18、 -x4 8/ 32 产分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2：(收-3)5 32产=3©(4丁)5 + C； (4x)(3) + C；J)"-3尸+或("(3)3 +。；(4/直-3)4 + 以(-3)5(1024/ - 3840/ + 5760x9 - 4320f + 1620F _ 2437)= 32x20八度一当+驾 x x4 8/24332小说明：记准、记熟二项式（。+与”的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将a+y + z）1。展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.A. 11B. 33C. 55D. 66分析：分+y+z)】°看作二项式(x+y)+zT°展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z,按二项式展开，共有11“项