二次函数全章导学案(史上最全!)

1、导学案二次函数(第一课时)一.预习检测案一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中x是,a是, b是, c是.二.合作探究案：问题1:正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关 系。问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系提示：多边形有n条边，则有几个顶点从一个顶点出发，可以连几条对角线问题3:某工厂一种产品现在的年产量是 20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的 产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎 样表示问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点小组交流、讨论得出结论：经化

2、简后都具有 的形式。问题5:什么是二次函数形如。问题6:函数y=ax2 +bx+c,当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数 (2)它是一次函数 (3)它是正比例函数 m 2 m例1:关于x的函数y (m 1)x是二次函数，求m的值.注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。三.达标测评案：1 .下列函数中，哪些是二次函数(1)y=3x-1;(2)y=3x 2+2;(3)y=3x 3+2x2;(4)y=2x 2-2x+1;(5)y=x 2-x(1+x);(6)y=x -2+x.2 .若函数y = (a 1)x2+ 2x + a21是二次函数，则()=1= 1 wl 半一13 .一定条件下，

3、若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s=5t2+ 2t,则当t=4秒时, 该物体所经过的路程为米 米米米4 . 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5 . 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径R之间的关系式。6、n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。7、已知二次函数y=x2 +px+q,当x=1时，函数值为4,当x=2时，函数值为-5,求这个二次函数 的解析式.二次函数y=ax2的图象与性质(第二课时).预习检测案：画二次函数y = x2的图象.【提示：画图象的一般步骤：列表；描点；连线(用平

4、滑曲线)x一 4-3一2一-101234w-1 V2 -2 x _-2 _. 一-1一0 .一 1 _一 2 c一 c 2 y = 2xi,9ti由图象可得二次函数y = x2的性质:1.二次函数y=/是一条曲线，把这条曲线叫做2.二次函数y=x2中，二次函数 a =,抛物线y=x2的图象开口3.自变量x的取值范围是4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于,对称,从而图象关于对称.2 .5.抛物线y = x与它的对称轴的交点（2 .）叫做抛物线y = x的因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的6.抛物线y = x2有点（填“最高”或“最低”）二.合作探究案:

5、例1在同一直角坐标系中，画出函数y= 2x2的图象.x-32101232 y = xy = x2的图象刚画过，再把它画出来.1归纳：抛物线 y = 2 x , y=x , y = 2x的二次项系数 a 0;顶点都是 对称轴是 ;顶点是抛物线的最 点（填“高”或“低”）.2 .若二次函数y= ax2的图象过点（1, 2）,则a的值是3.二次函数y = （m1）x2的图象开口向下，则 m归纳：抛物线y = 2x2的二次项系数a对称轴是,顶点是抛物线的最点（填“高”或“低”）总结：抛物线y=ax2的性质1.抛物线丫 = *2与丫 = *2关于对称，因此，抛物线 y= 2*2与y = ax2关于对称，

6、开口大小2.当a0时，a越大，抛物线的开口越当a0当x = _日,y有取_值，是.a0时，当x =时,y 有最值为;a v 0时，当x =时,y 有最值为.增减性2.抛物线y = 2x2向上平移3个单位，就得到抛物线 ;抛物线y = 2x向卜平移开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值4个单位，就得到抛物线 .2y= xy = x2 1因此，把抛物线 y = ax2y = x2+ 1向上平移k(k 0)个单位，就得到抛物线;把抛物线y= ax2向下平移m(m 0)个单位，就得到抛物线 .就得到抛物线y=x2+1;把抛物线y=x2向平移 个单位，就得到抛物线y = x2- 1.3.抛物线y= x2,

7、y = x2 1与y= x2+ 1的形状3.抛物线y = - 3x2与y=- 3x2+ 1是通过平移得到的，从而它们的形状 由此可得二次函数 y = 2*2与y = ax2+k的形状.三.达标测评案：1.填表函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性C 2y = 3xy= 3x2+1y= - 4x2 52.将二次函数y= 5x23向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为 .3.写出一个顶点坐标为(0, 3),开口方向与抛物线y= x2方向相反，形状相同的抛物线解析式4.抛物线y=- 1 x 2 2可由抛物线 y = 1 x 2+ 3向 平移 个单位得到的335.抛物线y= 4x2 1与y

8、轴的交点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 .二次函数y = a(x-h) 2的图象与性质(第四课时)教学目标：会画二次函数y=a(x-h) 2的图象，掌握二次函数y=a(x-h) 2的性质，并要会灵活应用。一.预习检测案： 1C 1回出二次函数y= 2 (x+1)2,y2 (x1)2的图象，并考虑它们的开口万向.对称轴.顶点以及 一 12 ,一先列表：描点并回图.请在图上把抛物线y= 2 x也回上去(草图).抛物10101线 y=- (x +1) ,y = -3x y = 一2 (x 1)的形状大小.把抛物线y=： x 2向左平移个单位，就得到抛物线y=(x +1)2 ；1c 1c把抛物线y=5

9、x 2向右平移个单位，就得到抛物线y=- (x +1)2 .总结知识点：1._ 2 y = axy= ax2+ k/1 、2y = a (x-h)开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧)3.对于二次函数的图象，只要| a |相等，则它们的形状，只是不同.对称轴右侧的增开口顶对称I函数关系式图象(草图)1最值方向点轴减性12y=2 xy= 5 (x +3)2y = 3 (x -3)2标测评案：1 .抛物线y = 4 (x 2)2与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 .2 .把抛物线y= 3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 .3 .将抛物线y=-1 (x 1)2向右平移2个单位

10、后，得到的抛物线解析式为 . 34 .抛物线 y = 2 (x +3)2的开口；顶点坐标为;对称轴是当x 3时,y;当x= 3时,y有/是.二次函数y = a(x h)2 + k的图象与性质(第五课时)一.预习检测案：1回出函数y= 2 (x +1)2 1的图象，指出它的开口万向.对称轴及顶点.最值.增减性.列表.合作探究案开口 函数顶点r对称轴最值增减性方向y=-2 (x +1)2-11c. 2 .把抛物线y=- x2向平移个单位，再向平移个单位，就得到抛物线y=1 (x +1)21.总结知识点：1、填表(a0)y=一之(x +1)2 1-zx-4321012，位置y=a (x 坨2 +卜与

11、 y = ax2形状.达标测评案:1、填表一一22122性质y = 3x y= x+1 丫 = 2 (x+2)y= 4 (x 5) 3草图开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左 =侧)6乂2+3与丫 = 6 (x 1)2+10相同，而同.12 ,3 .顶点坐标为(一2,3),开口万向和大小与抛物线y=2 x相同的解析式为()101o1010=2 (x 2)2 + 3 =2 (x +2)2-3=- (x +2)2+ 3 =飞(x +2)2+34 .二次函数y=(x1)2+2的最小值为.5 .将抛物线y = 5(x 1)2+ 3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线解析式为 06 .

12、若抛物线y=ax2+ k的顶点在直线y= 2上，且x= 1时,y = 3,求的值.7 .若抛物线y=a (x1)2 + k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A的坐标为()8 .将抛物线y = 2 (x +1)23向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得抛物线表达式二次函数y=ax2+bx + c的图象与性质(第六课时)一.预习检测案：一 ，一10一一 - 一10一 1.回二次函数 y =- x 6x + 21的图象.(解:y = 1 x 6x + 21配成顶点式为例4 已知二次函数y = x2+kx + 9.2.用配方法求抛物线y = ax2+ bx+ c（a丰0）的顶点与对称轴当k

13、为何值时，对称轴为y轴；当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点一 2y= axy = ax2+ ky = a(x h)22y=a(x h) + ky = ax2+ bx+ c开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）.课堂探究案：（a0）.知识点应用例1 求y = x2 2x 3与x轴交点坐标.例2求抛物线y = x2 2x 3与y轴交点坐标.以及= b2 4ac对图象的影响.（1）a决定：开口方向.形状 （2）c 决定与y轴的交点为（0,c）山x轴有两个交点（3）a与一*共同决定b的正负性（4） = b2- 4ac山x轴有一个交点2a0与x轴没有交点四.

14、达标测评案： 1 2 ，一一1 .用顶点坐标公式和配方法求一次函数y=1 x 21的顶点坐标.2 .二次函数y=2x2+ bx + c的顶点坐标是（1, 2）,则b=,c =.3 .已知二次函数y= 2x2 8x 6,当 B寸,y随x的增大而增大；当x =时,y有/是.4 .二次函数y= x2+mx中，当x = 3时，函数值最大，求其最大值.5 .求抛物线y=2x2 7x 15与x轴交点坐标，与y轴的交点坐标为 .6 .抛物线y = 4x2 2x+ m的顶点在x轴上，则.用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）教学目标：1.会用待定系数法求二次函数的解析式；2.实际问题中求二次函数解析式.一

15、.预习检测案：1 .已知二次函数y = x2+ x + m的图象过点（1,2）,则m的值为.2 .已知点 A（2,5）,B（4,5） 是抛物线 y = 4x2+bx + c上的两点，则这条抛物线的对称轴为例3如图，由图可得:a.0,b0,c0, 3 .将抛物线y= （x1）2+3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析 式为.1 .4 .抛物线的形状.开口方向都与抛物线y=2 x2相同，顶点在（1, 2）,则抛物线的解析式为二.合作探究案：例1已知抛物线经过点A(1,0),B(4,5),C(0,3),求抛物线的解析式.例2已知抛物线顶点为(1, -4),且又过点(2, 3).

16、求抛物线的解析式.例3已知抛物线与x轴的两交点为(一1,0)和(3,0),且过点(2, 3).求抛物线的解析式.归纳：用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1 .已知抛物线过三点，设一般式为y = ax2+bx+c.2 .已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y = a(x h)2 + k.3 .已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:y =a(x x1)(x x2).(其中是抛物线与x轴交点的横坐标)实际问题中求二次函数解析式：例4要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高

17、，高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长三.达标检测案：1 .已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10) 三点，求这个二次函数的关系式.2 .已知二次函数的图象的顶点坐标为(2, 3),且图像过点(3, 2),求这个二次函数的解 析式.3 .已知二次函数y = ax2 + bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0) 两点，与y轴交于点C(0,3), 求二次函数的顶点坐标.4 .如图，在ABC+, /B= 90 ,AB=12mm,B24mm初点P从点A开始沿边 AB向B以2mm/s的 速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果分别从同时出发，

18、那么 PBQ 的面积S随出发时间t如何变化写出函数关系式及t的取值范围.用函数的观点看一元二次方程(第八课时)教学目标：1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax2+ bx+c = 0根的判 别式= b2 4ac判断二次函数y=ax2+ bx+c与x轴的公共点的个数.一.预习检测案：1.问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条 抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h = 20t 5t2.考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到15m如能，需要多少飞行时间球的飞行高度能否达到

19、20m如能，需要多少飞行时间一(3)球的飞行高度能否达到为什么(4)球从飞出到落地要用多少时间2.二次函数y=ax2+ bx + c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2+bx + c = 0的根的判别式= b2 4ac.(1)当=日一4ac0时 。抛物线y= ax2+bx+c与x轴有两个交点；当= b2 4ac=0时u抛物线y = ax2+bx+c与x轴只有一个交点； 当=尸一4ac抛物线y = ax2+bx+c与x轴没有公共点.八.课后训练1 .已知抛物线y=x2 2kx + 9的顶点在x轴上，则k=.2 .已知抛物线y= kx2+ 2x 1与x轴有两个交点，则k的取值范围.2.观察图象：

20、八 / 二次函数y = x2+x2的图象与x轴有个交点，则一元二次飞程x2 + X=g0 配啖U别式;0;/二次函数y = x26x+9的图像与x轴有个交点，则一元二次方程x-6x+9=0的根的判别式=0；(3)二次函数y = x2 x+1的图象与x轴 公共点，则一元二次方程x2x+1 = 0的根的判别式0.二.合作探究案：1.已知二次函数 y = x2 + 4x的函数值为 3,求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 .反之，解一元二次方程x2+4x=3 又可以看作已知二次函数的函数值为3的自变量x的值.一般地：已知二次函数y = ax2+ bx + c的函数值为m,求自变量x的值，可以看作解

21、一元二次方程 ax2+ bx + c = m.反之，解一元二次方程ax2 + bx + c= m又可以看作已知二次函数 y = ax2+ bx+ c 的值为m的自变量x的值.实际问题与二次函数-1 (第九课时)教学目标：几何问题中应用二次函数的最值.一.预习检测案：1 .抛物线 y= (x + 1)2+ 2中，当x=时，y有值是:1 .2 .抛物线 y=5 x x+1中，当x =时，y有值是:3 .抛物线 y = ax2+bx+c (a*0)中，当 x =时,y 有值是.二.合作探究案：(P22的探究)用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地

22、的面积S最大.达标测评案:1.已知直角三角形两条直角边的和等于 8,两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少5.如图，点E、F、G H分别位于正方形ABCD勺四条边上，四边形EFG他是正方形.当 点E位于何处时，正方形EFGH勺面积最小2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：mj）与小球运动时间t （单位：s）之间的关系式是h=30t5t2.小球运动的时间是多少时，小球最高小球运动中的最大高度是多少3.如图，四边形的两条对角线 AG BD互相垂直，AC B又10,当AG BD的长是多少时,四边形ABCD勺面积最大4. 一块三角形废料如图所示，/ A= 30 ,

23、 / C= 90 , A氏12.用这块废料剪出一个长方形CDEF其中，点D E、F分别在AG AB BC上.要使剪出的长方形在何处点E应造CFB实际问题与二次函数-2 （第十课时）一.预习检测案：1 .二次函数 y=a（x-h） 2+k的图象是一条，它的对称轴是, 顶点坐标是2 .二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是,顶点坐标是当 a0时，抛物线开 口 向,有最 点，函数有最 值,是;当 a0 时,抛物线开 口 向, 有最点，函数有最 值,是。3 .二次函数 y=2（x-3） 2+5的对称轴是 顶点坐标是。当x=时,y的最值是。4 .二次函数 y=2x2-8x+9 的对称轴是, 顶点坐标是. 当x=时，函数有最值,是。三、合作探究案:某商品现