二次函数全集汇编

1、二次函数全集汇编一、选择题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c (a0)过原点O,与x轴另一交点为 A,顶点为B, 祥OB为等边三角形，则 b的值为()0A.-8【答案】B【解析】【分析】C. -3.3D. -4.3根据已知求出2a人2人2),由、OB为等边三角形，得到 E-=tan60x(-4a4ab、一)，2a即可求解；【详解】解：抛物线y = ax2+bx+c(a0)过原点O,c= 0,2a 4a AOB为等边三角形，b2b = tan60 x(),4a2a . b = - 2 33 ；故选B.【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三 角形的

2、边关系是解题的关键.2. 一列自然数0, 1, 2, 3, , 100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是()A.原数与对应新数的差不可能等于零B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C.当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D.当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解.【详解】12解：设原数为m,则新数为m2 , 100设新数与原数的差为 y12m 10012m m , 100易得，当m=0时，y = 0,则A错误1100b2a12 -10050时，y有最大值.则B错误

3、，D正确.,12当 y=21 时， m m = 21100解得=30, m2 = 70,则C错误.故答案选：D.【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字 规律转化为数学符号.3.如图是抛物线y=ax2+bx+c （a*Q的部分图象，其顶点坐标为（1, m）,且与x铀的 一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，则下列结论： abc0;a - b+c0;b2 = 4a （c- m）；一元二次方程ax2+bx+c= m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（）A. 1B. 2C. 3D, 4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和

4、与坐标轴的交点及对称轴可判别a, b, c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在 x轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m的交点可判定方程的解.【详解】.函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴a0,c0抛物线的对称轴为直线x=- -b- =12a.b0;正确；.抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1,，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.，当 x=-1 时，y0,即a-b+c0时，x的取值范围是（）A. - 1x1B. - 3x - 1C. xv 1D. - 3x0时，x的取值范围是-3vxv1.所以答案为：D.【点

5、睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.5.二次函数y= x2+bx的对称轴为直线x= 2 ,若关于x的一元二次方程 x2+bx- t= 0 （t为实数）在-1vx4的范围内有解，则t的取值范围是（A. 0t5B. - 44V5C. - 44V0D.4【答案】B【解析】【分析】先求出b,确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx-t = 0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，-1vxv4时-4或5,进而求解；【详解】解：对称轴为直线 x= 2, b = - 4, . y= x2- 4x,关于x的一元二次方程 x2

6、+bx-t=0的解可以看成二次函数 y=x2- 4x与直线y=t的交点, 1x4,，二次函数y的取值为-4或5,- 44V5;故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数26.如图是二次函数 y ax与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键.bx c的图象，其对称轴为 x 1.下列结论：abc 0；2ab0；9a 3bc0；若32，y1 ,10T,y2是抛物线上两点，则yy2.其中正确的结论有（）C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a0,由抛物线与y轴的交点位置得到 o0,则可对进行判断；由b=-2a可对进

7、行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线 与x轴的另一个交点为（3, 0）,则可判断当x=3时，y=0,于是可对进行判断；通过 二次函数的增减性可对 进行判断.【详解】解：.抛物线开口向下，a0,2a;抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0,2 .abc0时，抛物线向上开口；当 a0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0时，抛物线与 x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；加2-4ac v 0时，抛物线与x轴没有交点.7,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）c0;b2- 4ac0;当x 1时，y随x的增大而减小.A. 4个B. 3个C

8、. 2个D. 1个【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判 断.【详解】解：由图象可知，a 0,故 正确；抛物线与x轴有两个交点，则 b24ac0,故 错误；:当x=-1时，y0,即a-b+c0,故 正确；由图象可知，图象开口向下，对称轴 x-1,在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对 称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故 错误.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a0时，抛物

9、线向上开口；当 a0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； tb2-4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.一 1c8.如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x- -x221刻回，斜坡可以用一次函数 y=x刻画，下列结论错误的是 ()2A.斜坡的坡度为1： 2B.小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距 O点水平距离为7米D.当小球抛出高度达到 7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C;根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B;求出当y7.5时，x的

10、值，判定D .解:1 2y -x24x解得,X 0 x2 7y1 0, y2 三7 ： 7=1 ： 2, A 正确;2小球落地点距 O点水平距离为7米，C正确;1 2y 4x - x 22(x 4)2 8,则抛物线的对称轴为 x 4,当x 4时，y随x的增大而减小，即小球距。点水平距离超过 4米呈下降趋势，B正确，rr L 一，12当 y 7.5时，7.5 4x -x2，整理得x2 8x 15 0,当小球抛出高度达到 7.5m时，小球水平距 O点水平距离为3m或5m, D错误，符合题 意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的

11、关键.9 .如图，已知将抛物线 y x2 1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有 5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点 M叫做整 2点”）.现将抛物线y a x 12 a 0沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（【答案】D彳 1C. 1 a -2D. 1 a画出图象,【详解】利用图象可得m的取值范围解:，该抛物线开口向下，顶点（-1, 2）,对称轴是直线 x=-1.点（-1,2）、点（-1 , 1）、点（-1,0）、点（-1,-1）、点（-1, -2）符合题意，此时 x轴.上的点（-2, 0

12、）、（0, 0）也符合题意，2将（0, 1）代入 y a x 12 a 0 得到 1=a+2.解得 a=-1.2-1将。，0）代入 y a x 12 a 0 得到 0= 4a+2.解得 a=-2.有11个整点，.点（0, -1）、点（-2,-1）、点（-2,1）、点（0, 1）也必须符合题意.1综上可知：当-1 a-时，点（-1, 2）、点（-1, 1）、点（-1,0）、点（-1, -1）、点（-1, -2）、点（-2,0）、（0, 0）、点（0, -1）、点（-2, -1）、点（-2, 1）、点（0,1）,共有 11 个整点符合题意，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物

13、线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.10.若用“*表示一种运算规则，我们规定：a*b= ab - a+b,如：3*2 =3X2- 3+2= 5.以下说法中错误的是（）A.不等式（-2） * （3-x） 0,由此即可判定选项 C;24题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】-.1 a* b= ab - a+b, (- 2) * (3-x) = (- 2) X(3-x) - (- 2) + (3-x) =x- 1, ( - 2) * (3 - x) 2,.x- 12,解得x 0,24在实数范围内，无论 a取何值，代数式 a* (a+1)的值总为正数，故选项 C正

14、确；. (x-2) *3 = 5,( x-2) X 3- (x-2) +3=5,解得，x=3,故选项D错误；故选D.【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键C ,11. 一次函数y=ax+b与反比仞函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如左图所不，则 x【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a0,再由反比例函数图像性质得b出cv 0,从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：x- 0,即在y轴的右边,2a与y轴负半轴相交，从而可得答案 .【详解】解：:一次函数 y=ax+b图像过一、二、四，.a0,c 一又.反比例 函数y=图像经过一

15、、四象限，xcv 0,b -二次函数对称轴：x 0,2a2.，二次函数y=ax+bx+c图像开口向下，对称轴在 y轴的右边，与y轴负半轴相交， 故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出 a、b、c的情况是解题的关键.12.二次函数y=ax2+bx+c (aw。中的x与y的部分对应值如下表:x-3-2-101234y1250-34-305A. 0【答案】BB. 1C. 2D. 3给出以下结论：(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为- 3； (2)当-gvxv 2 时，y0;

16、 (3)已知点A (xi, yi)、B (x2, y2)在函数的图象上，则当- 1vxiv0, 3V x2y2.上述结论中正确的结论个数为()根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：(1)函数的对称轴为：x= 1 ,最小值为-4,故错误，不符合题意;一一一，1,(2)从表格可以看出，当- -vxv 2时，y0,符合题意;2（3） - 1xi0, 3vx20时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴 x=-B0,且a0,则b 0, b0,排除B.故选C.214.已知抛物线y

17、 2x 4x c与直线y 2有两个不同的交点.下列结论：c 4;当x 1时，y有最小值c 2;方程2x2 4x c 2 0有两个不等实根；若连接5这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角二角形，则 c ；其中正确的结论的2个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据 抛物线y 2x2 4x c与直线y 2有两个不同的交点”即可判断；根据抛物线的对称轴为直线 x=1即可判断；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断.【详解】解：.抛物线y 2x2 4x c与直线y 2有两个不同的交点，2x2 4x c 2有两个不相等的实数根，即2

18、x2 4x c 2 0有两个不相等的实数根，故正确，16 4 2 (c 2) 0,解得：c 4,故正确；抛物线的对称轴为直线 x=1,且抛物线开口向上，当x=1时，y c 2为最小值，故 正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点(1, c-2)至ij直线y=2的距离等于两交点距离的一半，顶点(1, c-2)到直线y=2的距离为2- (c-2) =4-c,，两交点的横坐标分别为 1- (4-c) =c-3与1+ (4-c) =5-c，两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入 y 2x2 4x c 中得：2(c 3)2 4(c 3) c 2解得

19、：c 7或c 42c 4,c 2,故错误，正确的有，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握 函数与方程之间的联系.15.已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数y m x 3 x 9及y n x 2 x 6图象，将二次函数 y m x 3 x 9的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠()A.向左平移2个单位长度B.向右平移2个单位长度C.向左平移10个单位长度 D.向右平移10个单位长度【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离.【

20、详解】解：y= m (x+3)( x+9) =mx2+12mx+27m,y=n(x 2)( x6) =nx2 8nx+12n,，二次函数y=m(x+3)( x+ 9)的对称轴为直线x= 6,二次函数 y= n(x 2)( x6)的对称轴为直线 x= 4,4 ( 6) = 10,，将二次函数y=m (x+3) (x+ 9)的图形向右平移 10个单位长度，两图象的对称轴重叠.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个 二次函数的对称轴是解题的关键.16,已知二次函数y (x h)2 (h为常数)，当自变量x的值满足2 x 5时，与其对应的函数值

21、y的最大值为-1,则h的值为()A. 3 或 6B. 1 或 6C. 1 或 3D. 4 或 6【答案】B【解析】分析：分hv2、2Whw和h5三种情况考虑：当 hv2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2Whw时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当 h5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论.综上即可得出结论.详解：如图，当 h5 时，有-(5-h) 2=-1,解得：h3=4 (舍去)，h4=6.综上所述：h的值为1或6.故选B.点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h5三种情 况求出h值是解

22、题的关键.17.如图1, AABC中，/ A=30,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线 A一C-B运动， 点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P, Q两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 x (s) , AAPQ的面积为y (cm2) , y关于x的函1数图象由G, C2两段组成，如图2所不，有下列结论： v= 1;sinB=;图象C23段的函数表达式为 y= - -x2+ x;AAPQ面积的最大值为 8,其中正确有(33B.C.A.D.【答案】A【解析】【分析】 根据题意列出y= - AP?AQ?sinA,即可解答2根据图像可知 PQ同时到达B,

23、则AB= 5, AC+CB= 10,再代入即可1把sinB= -，代入解析式即可3b5一，25 根据题息可知当 x= 时，y最大= 2a212【详解】 11O 当点 P在 AC上运动时，y= AP?AQ?sinA= X 次?vx= vx2,22，1 m当 x= 1, y=-时，得 v= 1,2故此选项正确； 由图象可知，PQ同时到达B,则AB=5, AC+CB= 10,当 P 在 BC上时 y=1?x? (10-2x) ?sinB,2一 .4 1当x=4, y=-时，代入解得 sinB=-,33故此选项正确；小 一 1SinB= 一 ,3当 P 在 BC上时 y= ?x (10 2x) x- = - - x2+勺 x,23331 - 5图象C2段的函数表达式为 y=- -x2+-x,33故此选项不正确;53x,wb当x=-2a故此选项不正确;故选A.525万时，y最大=,【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解18.下列函数(1) y=x (2) y=2x-1 (3) y= (4) y=2 - 3x (5) y=x2-函数的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解：(1) y=x是一次函数，符合题意；(2) y=2x- 1是一次函数，符