九师联盟2021届高三2月联考理科数学试题(含答案解析)

1、理科数学试膻第2页（共6页）2021.2高三理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L已知a,bWR,复数Zj =4 + 1,0 = 2-加(i为虚数单位)，若马=22,则a+b=A.lB.2C.3D.42.已知全集 U=R，集合彳二x|x3二x|/-6x + 5SO,则(6«/)c8 =A.l,3B.(3,5C.3,5)D.l,3)3,若双曲线Y 一片=> 0)的虚轴长为瓜则其渐近线的方程是 bA.y=±3x B.y - ±5Ax C.y = ±-.v D.y = ±

2、-x 224 .下列说法正确的是A12> 1 "的否定为F/ >1,<1 "x/B “ A>B ”是“ sin 4 > sin 8 ”的必要条件C.若X<1,则f < 1的逆命题为真命题D.若“x > a ”是f og? x > 2 ”的充分条件，则a<45 .已知以)是定义域为R的奇函数，当x>0时,/(x) = 2工-1.若/(.%) >-1 ,则%的取值范围是A.(-2,+oo)B.(3,2)C.(-1,+w)D.(-oo,-1)6 .为了计算S=3+33+333+3333+33333,设计了如图

3、所示的程序框图则和处的框内可以分别填入A. 5 = 5 + 3乂101和1=+2C.S=Si3xl0i 和 i=i+3(开,_L *1第6图3.5 = 5+(10'-1) + 3和1=1+1D.S = S + Q()i-l) + 3和 i=i+lB 、期二长逐渐受大第7图7 .,看雨惊春清谷天，熨满芒熨署相连，秋处露秋寒翔降，冬,牛斤冬小大对，这首二十四节气歌，记录了中国古 代劳动人民在田间桥作区期经验的积累和智.馥'二四节气”巴经被列入联合国教科文组织人类非物质文化 遗产代表作名录6我国古代天文学和数学著作周牌算经中记载:一年花二十四个节气，每个节气的警长 损益相同伊是按照日

4、影测定时刻的仪器用长即为所测fit影子的长度）。二十四甘气及例长变化如图所示, 相邻两个节气瑾长减少或增加的枇相同，周而夏始已知每年冬至的轻长为一丈三尺五寸.夏至的昌长为一 尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则科长为七尺五寸时,对应的节气为A.春分、秋分B雨水、处暑C立春、立秋D.立冬、立身8,函数/（X）=函|X+11r 2 -射的图象大致为先在AABC中,NC= g,AC=3,BC=4,点D,G分别在边AC,BC上，点E,F在AB匕且四边形DEFG为矩形（如 Ju图所示）,当矩形DEFG的面积最大时，在aABC内任取一点,该点取自矩形DEFG内的概率为10.已知函数/任）=小加（8 +

5、 3）+ />（4>0,®>0,|夕|V，的部分图象如图所示,给出下列结论：A三2,（0三1耳三； A=s=2,b=l：点（会,T）为图象的一个对称中心；心）在卜等，-詈上单调递减.其中所有正确结论的序号是A.B.C.皱D.11 .已知抛物线。二/ = 2Px（p >0）的焦点为F,准线为I,过F的宜线与抛物线C交于点A,B,与1交于点D, 若丽=4而JAFI-4,则p-A.2B.3C.4D.612 .九章算术卷五商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P-ABCD（如图）TAL平面ABCD9PA=AB= I,AD=3,A

6、E,F分别在AB,BC二当空间四边形PEFD的周长最 小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为/拽B,叵cM D.2出552二、填空题:本即共4小题,每小题5分，共20分。13 .已知向量a、b,满足|a|=l,|b|=2,当|2一6|=26时,向量a.b的夹角为.14 .已知（1 + 幻（2-1）9 =劭 + %X+ a2x2 + +。产'°,则% + +。9 =.15 .已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,底面半径为行,，高为1,E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面 展开图的圆心角为一；APEF面积的最大值为.（本小题第一空2分,第二空3分）16 .己知数列缶“是公差

7、为d的等差数列，设c= 2% + 2g + 2q+ 2%,若存在常数码使得数列% + 为等比数列，则m的值为一.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题:共60分。17 .（本小题满分12分）ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,已知 a=2,b=V5 ,B=2A.求sinA的值；（2）求4ABC的面积.18 .（本小题满分12分）下图是M市旅游局宣传栏中的一幅标题为“20122019年我市接待游客人次”的统计图。根据该统计图提供 的信息解决下列问题：（1

8、）求M市在所统计的这8年中所接待游客人次的平均数和中位数；（2）在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为X,求X的分布列和数学期望 E（X）；（3）从该统计图上看，从2016年开始,M市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测 到2021年M市接待游客的人次.参考公式:对于一组数据（演,乂）,区,乃），,（乙,丹）,其回归直线£ = /；x + £的斜率和截距的最小二乘法 计分别为nRZ七乂一盯 _ _b = R.ay-bx .力区-可£演2-疗J=!i-参考数据：xT=x-2016012371 = y-630-300-

9、1209033019 .（本小题满分12分）如图，在四极锥P-ABCD中,四边形ABCD是梯形,ABCD,CD=2AB,点E是楂PC上的动点（不含端点）,F,Q 分别为BE,AD的中点.理科数学试题第4页（共6页）(1)求证:QF平面PCD;(2)若 PD_L平面 ABCD,AD±DC,PD=AD=AB= 1, PC = 3PE9 求二面角 P-BD-E 的余弦值.20 .(本小题满分12分)q已知点A(2,0),B(2,0卜动点S(x.y)满足直线AS与BS的斜率之积为-一.记动点S的轨迹为曲线C.4(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么样的曲线；(2)设M,N是曲线C上的两个动

10、点，直线AM与NB交于点P,且NMAN=90。.求证:点P在定直线上；求证:直线NB与直线MB的斜率之积为定值.21 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) = ex- 2ae-x-(2+a)x(ae R).(1)讨论函数*x)的单调性；21(2)求证:当a< -时，函数*x)有且只有三个零点52(参考数据:“2.72,e2 工 7.39,e3 « 20.01)(二)选考题:共10分。请考生在第22,23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线1过点P(4,0),倾斜角为a.以直角坐标系

11、的坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P =8sin0.(1)写出直线1的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线1与曲线C交于不同两点M ,N，求|PM|十|PN|的最大值.23.(本小题满分10分)选修4- 5:不等式选讲设不等式|x-l|+2|x+*x+7的解集为M.求集合M;(2)设m是M中元素的最大值，正数a,b,x,y满足a + = %,x + y = 求证:、而+ yfby <品.3高三理科数学参考答案、提示及评分细则1 .C 由句=劭.得a+i=2+历所以a=2d）= 1 ,所以。+=3.故选C.2 .B 因为 A=（ - 8

12、.3.8=1.51,所以（&A）口3=（3.51.故选 B.3 . D虚轴长为24=点,解得g率则渐近线方程为尸士多.即尸士隼t,故选D.4 .C 对于A. V<E>1的否定为故A错误：对于BJAA5”是飞in A>sin B”的既不充分也不必要 *TXq条件，故B错误;对于C,若“VI,则/VI的逆命题为若合VI,则VL因为公VI时一 1<zV1,所以x<l成立，故C 正确;对于D,由log2j>2得/>4,若是log>2的充分条件则q4 .故D错误.故选C.5 .C由题意得/Cr）在0.+8）上忌增函数.因为/Cr）是奇函数,所以/在

13、R上是堆函数.又/=1 则/（-1）= _/（1）= _1 .所以/、（飞）所以与>一1即与的取值范围是（T.+oo）.故选C.6 .B i为计数变量，由i>5?得执行了 5次运算，且是逐步进行的.所以i=i+l,可排除A和C; 乂因为第一次求和为 S=3则可排除。故选B.7 . A 设从夏至开始到冬至.各节气的唇氏分别为,生明,阳则夏至时息长为小一 15（寸）,冬至时咎氏为135寸）.由每个节气科长损益相同可知,储/为等差数列,设公差为乩则而=8+ 123=15+1"=135.解得/=10所 以a产15+（-1）乂10=10+5,由6,=75,得=7,即皆长七尺五寸对应

14、的节气为从夏至开始的第七个节气即秋分； 设从冬至开始到夏至，每个节气的曲长为为，则儿=135+6 - 1） （-10） = 10+145由儿= 75,得=7,即暑长七 尺五寸对应的节气是从冬至开始的第七个节气,即春分.所以号K为七尺五寸时对应的节气为春分和秋分.故选A.8 .D /Cr） = ln |/十1| 一二一2/=ln |/+11一（工+1）2+,外的图象是由函数目（虫=已一"十1的图象向左平移 一个单位长度得到由于gCr）= ln |"一V + 1为偶函数故人足的图象关于直线1=-1对称.乂工>0时速（储= Iny ? + ll（z） = -J- - 2a=

15、 -衿,所以在（0# ）上 / Q>>0在（g,+oo）上（£）V0,所以 g（«r）在 （0.+8）存在极值点,所以fj）在（-1,+8）上存在极值点.综上可知只有选项D符合条件.故选D.丝_9 .A由题意知:AX=5A3边上的高为专设OE=i.O«E ,因为DG力,所以与一= T毕所以DG= 5（12；5公，所以矩形def<的面积为三虱爷返=此缪工区寻乂 0I u16141 乙（12二号+五广二3（当且仅当12f =52,即/=|时等号成立）又A/WC的面积为6.故所求的概率为卷=十.故 选A.10 . D由图象可知.八=匕二2= 2,= 串

16、二2=一 1.再由千一吉=4*在，得3=2,收不正确正确；由于 44314 4g（et）为/Q）图象的一个对称中心，又/的最小正周期为代故其全部的对称中心为（+竽，T）aez）,当 k=l时,对称中心为（餐一1） .故错误;由于金莘为/Q）的单调递减区间,/的最小正周期为兀.故/的 单调递减区间为令十为r节+ar（VZ）.当=-2时即为:一智一要.故正瑜 故选D.11.B如图,设准线与3轴的交点为K 作垂足分别为则84FKAA .又法=4诉所以 |明| = |所| =!| DB |,设/D% =a则cos 0=.因为叫 AA所以NFAA】="叫=仇所以882凡44尸十,所以|1<

17、;尸| = |八人|一!|/3|=41=3即P=3.故选B.12 . A 把平面PAB展开到与平面ABCD共面的P'AB的位置（如图）.延长DC到。'使得CD' = 1,则DF=D'F,因为 PD的长度为定值，故只需PE+EF+FD=P'E+EF+F。最小,只需P,E.RD'四点共线,因为P'D=4,DD' = 2, 恶=晶所以CF=2.【高三2月理科数学参考答案第】页（共6页）】过点A作4ZLFD,垂足为G.连接PG,则F2L平面PAG,所以平面PAG,平面PFD,过A作AH,PG,垂足为H. 则AH_L平面PFD,故/APG即

18、为直线PA与平面PF。所成的角.因为aAF。的面积为算力。=而，所以石X wUAG="|，所以AG=¥所以加叱4*嗡=挈.故选A.13 .与 谀的夹角为 J则|2a= V（2a b）2 = /4<?4a 计庐=，4-8cos 9+4 =2 ",解得 cos 8=J，乂JN04Kx,所以0=综V14 . -509 令1=1,得即+小+生+%+. = 2,令I=0.得%=矛=512.由二项式定理知力的系数为一1.所以 Gi +做+。+。9 = 2-512-（1） =-50915 .焉M2分）2（3分）设仰面展开图的圆心角为a则=如图,PE和PF都是圆锥P0的母线

19、,则PE=PF=2,设网推P0经过P0.PE的截面 为在直角三角形P0E中./OPE= 60°,可得PAE的顶角为120°,所以 PEF面积的最大值为得XPEXPFsin 90'= 2.16 .任Q 当4=0时q=2' +/+/+-+/= Zk若存在常数m.使得数列忆+力为等比数列9则（。+）2= （。_+切）£+a）0>2）记杂=则有（皿+加=b一”+司5+1”+句,化简得#=0,这与2-1 >0矛盾. 故此时不存在常数加，使得数列（q+m）为等比数列.当dWG时+2 +妖+2% =2、1 +厅+2"+ 2，1力=2,一穿了

20、1=。尸一（其中仁留 ）.因为数列忆十知为等比数列.对任意“WN,，恒有六著=C （C为常数且。六0），即"咚，所以6+l6=C2赤+所以，小（厂-C）+/-6）万一 C=0,fm=.（C=2J>（10=0对任意正整数恒成立.所以解得彳 ,或（舍），所以数列忆十6为等比（加一）（1一0=0,1c=2,， lc=l数列时，加=黄，.17 .斛：（1）由正弦定理及B=2A,得总=系十 2分即言a = 2sin£osA' 4 分解得cqsA=E 5分又 AW （0,。所以 sin 八=，l-cos&A =4. 6 分4（2）法一：由余弦定理，得屋=+c2-2

21、次cos A. 7分即 4=/+5-2cX/SB义李, 4解得2,或9分当c=2时=°=2,所以A=C,所以B=2A=2C,所以A=45°,这与cos八=4矛盾.应舍去， 10分所以ABC的面积$斗陞"二呆疗X+X#=嗜. 12分法二"inB=sin 2A=2sinAcosA=2X磔乂咚=卒，8分*40cos B=2cos2 A-1 =2X ( )2 -1 = 1 10分所以 sinC=sinG4+3)=sinAcosB+cos八sinB=4x( 一9)+专义噂=穹. 11分4' o z 4 o It所以AABC的面积sTmMC=+x2X'

22、;令。噜.12分1分18 .斛平均数为110+L5吐吐+25”邠计51。+?2。+”。=4“ 25（万人次3O中位数为侬/3,9=290（万人次）.2分（2）不低于平均数的有3年.X=0.1.2.则 P(X=0>=1=/；P(X=D=；P(X=2)=*.X012P5141528328所以X的分布列为故 E(X)=0X鲁+ 1X|+2X磊=技=* X2016201720182019y330510720960简化变址:*'=力-20160123y'=y630-300-120903301 = 1 5 )/=(), Xrty = l O5O»SX2 = 14. 8分/-

23、1i-1*1/一疗丁_050-210=y-x/ = 0-210X1,5 = -315.y=2107-315. 10 分当 1=2 021 时,/=5.舅=735,所以 &-630=735所以 y= 365. 即2021年接待的游客约为1 365万人次. 12分19 .(1)证明：取BC的中点M,连接MF.QM因为点FM为BE.BC的中点，所以FM/CE. 又CEU平面PCD.FMQ：平面PCD,所以FM平面PCD. 2分同理QM平面PCD. 又QMnFM=M,QM,FMU平面QFM,所以平面QFM平面PCD. 3分又QFU平面QFM. 所以Q尸平面PCD. 5分解;由题意知DP,DA,

24、DC两两垂直，以D为坐标原点，以直线DA,DC,DP为仔工.”弁轴建立空间宜角坐标系(如图)，则 D(00 () K1 1 .0) eC(0.2 .() .PIO.0.1) , 6 分/ | 所以茵=(1,1,0),笳=5? +法=防 + "|育=(0,0,l)+g(0,2, 1)=/(0,|4)=<0>0.1). 7 分(/n-DB=0> 产+m=。，设平面EBD的法向量m = 5，»,勺)，则-> 即22Im DE=0, "yyi +令”=一1，则，%=(1 11); 9分n DP=0.(/=0,n DB=0< 以+及=0，令火=

25、一1则 =(1，- 1,0), 11 分所以2"> =偏对舄义您=季由图知二面角P-BD-E为镜二面角，故二面角P-BD-E的余弦值为第.12分3设平面PBD的法向量n =(w，的)，则1 一 即彳20 .解:由题意,得洋 士 = 一等(/#±2). 2分化简，得?+*=lGW±2), 3 分所以曲线C为中心在坐标原点.焦点在x轴上的椭圆，不含A.B两点.4分(2)证明：由题设知,直线MA.NB的斜率存在且均不为0. 设直线AM的方程为才=<y2(f#0),由AAUAN,可知直线NA的斜率为23=一£,方程为工=一!一2. 5分p=-U-2.

26、由彳 t得(4尸+3):/ + 12。=0, 6 分13/2+城=12,解得必一品'则"一十.(一1)-2=需即N(谭，一品).8分-4-o直线NB的斜率为为刖=飞竺/一 =* 9分47+3-2【高三2月理科数学参考答案第4页(共6页”则直线BN的方程为了=泵z2） 格产金l2）代人-2,解得i=-14.故点P在直线z=-14上.10分由（D,得 .MK = 幻比=一" 11分所以人, % 八=（一告）x（一看）=得.结合小阳=一1，得人人=一看，为定值.即直线NB与直线MB的斜率之积为定值.12分21 .解：/（n）二d十勿（2+。）=*（2+,*+2=（式2）产

27、一口） 1 分ee若aWO由d一2=0,得/=1。2；由/"Cz）VO得.矛卜2；由八外>0得z>ln2, 所以/Cr）在（一8, In 2）上单调递减在（In 2,+8）上单调递增； 2分若 a>0由 /（才）=0,得.r=In 2 或 or=ln a.当 0VV2 时由 /（外V0,得 In qVhVIh 2；由 /7/）>0,得 >ln 2 或 x<na.所以fCr）在（In an 2）上单调递减.在（-8.括a）.（In 2,+8）上单调递增；3分当a=2时，r6>>0在R上恒成立,所以/Gr）在（-8,+8）上单调递增； 4分

28、当 aA2 时,由 /G）V0得 In 2<r<n a；由 /（力>0,得 jr>ln a 或 r<ln 2.所以在In 2,lna）上单第递减，在（-8,h 2），In a,+g）上单词递增.5分(2)证明£由(1)知.当春4式1时.八>)在(片。，旧2)上单调递威,在(-8. In d).(ln 2,+8)上单调递增，所以/(幻悔如=/(ln a)小m =/(ln 2),/("微大值=/(In d)=a2(2+a)ln a.令 g(d)=a2(24-a)ln，则 4(a) = 一 2土"与令 ?(a) = 2+aln a (

29、告.则 “() = l + ln al + ln -|- = ln -y>ln 1=0,所以m(a)在,刃上单调递增 6分所以""a)nt(W)=2+gn g = 2一-1->2|-ln e=-z->0. 0 D0 LOO所以/(a)VO,从而g(a)在看.y 上单调递减，所以gQ)沁(十)一1一1卜+=§号二'J 32” J。,即/如0)>0, 7分又当看时,一l=ln 觉 V1n<ln a&ln ,vO即 In a £( 1,0),又/(-2) = /2一为1+2(2+。)=2(1 /)° +-

30、2+4.该式关于4单调递减.所以2(l-e2)a+eT+442(lT)xV+e+4='年金+占V?4qJ +得=25年.式3 36 OOO所以-2）（。， 8分因为八1）在（一8,卜a）上单调递增.且/（-2）/（In a）<0>所以函数/（外在区间（-8,1n公上有且只有一个零点.9分/（力楂力6=/（ln 2）=2-a-（2+a）ln 2=-（l+ln 2）«+2-21n 2.令ft（a） = -（l + ln 2）.+221n 2）,显然人单调递减，所以“a）W2一看一（2+卷）片2=9（1 一等ln2）=卷（1一岛符卷（1一g）=0【高三2月理科数学参考答案第5页（共6页）】所以/(ln2)V0.因为/(为在(In a,In 2)上单调递减,且/(In a)/(ln 2X01所以函数/(外在区间(In a,In 2)有且只有一个零点. 10分/(2)=¥一加厂一(2+4)乂2 = 2(厂+ 1