【KS5U解析】江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试数学（理）试题 Word版含解析

1、南昌市ncs20200607项目第一次模拟测试卷理科数学一，选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.己知全集为实数集r，集合a=x|x2 +2x-8>0，b=x|log2x<1，则等于（ ）a. 4,2b. 4,2)c. (4,2)d. (0,2)【答案】d【解析】【分析】求解一元二次不等式化简a，求解对数不等式化简b，然后利用补集与交集的运算得答案.【详解】解：由x2 +2x-8>0，得x-4或x2，a=x|x2 +2x-8>0x| x-4或x2，由log2x<1，x0，得0x2，b=x|log2x&l

2、t;1 x |0x2，则，.故选：d.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.2.在复平面内，复数z=i对应的点为z，将向量绕原点o按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）a b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由复数z求得点z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求.【详解】解：复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点z（0，1），(0，1)，将绕原点o逆时针旋转得到，设(a，b)，则，即，又，解得：，对应复数为.故选：a.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.一个正三棱柱的正（主

3、）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）a. 16b. 12c. 8d. 6【答案】b【解析】【分析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：b【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.4.由实数组成的等比数列an的前n项和为sn，则“a1>0”是“s9>s8”的（ ）a. 充分不必要条件

4、b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】c【解析】【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：若an是等比数列，则，若，则，即成立，若成立，则，即，故“”是“”的充要条件，故选：c.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.5.已知向量，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ）a. 2b. 1c. d. 0【答案】b【解析】【分析】先求出，再利用投影公式求解即可.【详解】解：由已知得，由在方向上的投影为，得，则.故答案为：b.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础

5、题.6.函数的图象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当时，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除b、c当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以a正确，d错误故选：a【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.7.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最

6、大值的估计值是（ ）a. eb. e2c. ln2d. 2ln2【答案】b【解析】【分析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：b.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.8.已知抛物线y2= 4x的焦点为f，抛物线上任意一点p，且pqy轴交y轴于点q，则 的最小值为（ ）a. b. c. ld. 1【答案】a【解析】【分析】设点，则点，利用向

7、量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.【详解】解：设点，则点，当时，取最小值，最小值为.故选：a.【点睛】本题考查抛物线背景下向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.9.已知双曲线c：=1(a>0，b>0)的右焦点为f，过原点o作斜率为的直线交c的右支于点a，若|oa|=|of|，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. 2d. +1【答案】b【解析】【分析】以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），.故选：b.【点睛】本题考查双曲线离心

8、率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形abcd，在点e，f处各放一个目标球，表演者先将母球放在点a处，通过击打母球，使其依次撞击点e，f处的目标球，最后停在点c处，若ae=50cmef=40cmfc=30cm，aef=cfe=60°，则该正方形的边长为（ ）a. 50cmb. 40cmc. 50cmd. 20cm【答案】d【解析】【分析】过点做正方形边的垂线，如图，设，

9、利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，则，因为，则，整理化简得，又，得 ，.即该正方形的边长为.故选：d.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.11.如图，点e是正方体abcd-a1b1c1d1的棱dd1的中点，点f，m分别在线段ac，bd1（不包含端点）上运动，则（ ）a. 在点f的运动过程中，存在ef/bc1b. 在点m的运动过程中，不存在b1maec. 四面体emac的体积为定值d. 四面体fa1c1b的体积不为定值【答案】c【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线

10、、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】a错误由平面，/而与平面相交，故可知与平面相交，所以不存在ef/bc1b错误，如图，作由又平面，所以平面又平面，所以由/，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在c正确四面体emac的体积为其中为点到平面的距离，由/，平面，平面所以/平面，则点到平面的距离即点到平面的距离，所以为定值，故四面体emac的体积为定值错误由/，平面，平面所以/平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，所以为定值所以四面体fa1c1b的体积为定值故选：c【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，

11、中档题.12.已知函数满足=1，则等于（ ）a. -b. c. -d. 【答案】c【解析】【分析】设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，因为，整理得，因为，则所以.故选：c.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.曲线f(x)=(x2 +x)lnx在点(1，f(1)处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.【详解】解：，则，又，即切点坐标为（1，0）

12、，则函数在点(1，f(1)处的切线方程为，即，故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.14.已知(2x-1)7=ao+a1x+ a2x2+a7x7，则a2=_.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x-1)7的展开式通式为：当时，则.故答案为：【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.15.已知函数，则的值为 _【答案】4【解析】【分析】根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.16.两光滑的曲线相切，那么它们在公共点

13、处的切线方向相同如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=_，rn=_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】第一空：将圆与联立，利用计算即可；第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差数列，进而可得.【详解】当r1=1时，圆，与联立消去得，则，解得；由图可知当时，将与联立消去得，则，整理得，代入得，整理得，则.故答案为：；.【点睛】本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.三.解答题：共7

14、0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17.如图，d是在abc边ac上的一点，bcd面积是abd面积的2倍，cbd=2abd=2（）若=，求的值；（）若bc=4，ab=2，求边ac的长【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.（）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.【详解】（），所以所以；（），所以，所以，所以，所以边【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18.如图，三棱柱abc

15、-a1b1c1中，侧面bcc1b1是菱形，ac=bc=2，cbb1=，点a在平面bcc1b1上的投影为棱bb1的中点e（1）求证：四边形acc1a1为矩形；（2）求二面角e-b1c-a1的平面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到，问题得证；（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）因为平面，所以， 又因为，所以，因此，所以， 因此平面，所以，从而，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，平面的法

16、向量，设平面的法向量， 由，由，令，即， 所以，所以，所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.19.已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.【详解】（1），由， 记，由，且时，单调递减，时，单调递增

17、， 由题意，方程有两个不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为， 记，则，因为，所以，所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即函数的极大值不小于1. 解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为， 因为，所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.20.己知圆f1：(x+1)2 +y2= r2(1r3)，圆f2：(x-1)2+y2= (4-r)2（1）证明：圆f1与圆f2有公共点，并求公共点的轨迹e的方程；（2）已知点q(m，0)(m<0)，过点e斜率为k

18、(k0）直线与（）中轨迹e相交于m，n两点，记直线qm的斜率为k1，直线qn的斜率为k2，是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由【答案】（1）见解析，（2）存在，【解析】【分析】（1）求出圆和圆的圆心和半径，通过圆f1与圆f2有公共点求出的范围，从而根据可得点的轨迹，进而求出方程；（2）过点且斜率为直线方程为，设，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理以及，可得，根据其为定值，则有，进而可得结果.【详解】（1）因为，所以，因为圆的半径为，圆的半径为，又因为，所以，即，所以圆与圆有公共点， 设公共点为，因此，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，即轨迹的方

19、程为；（2）过点且斜率为的直线方程为，设，由消去得到，则， 因为，所以， 将式代入整理得因为，所以当时，即时，.即存在实数使得.【点睛】本题考查椭圆定理求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，灵活应用韦达定理进行计算是关键，并且观察出取定值的条件也很重要，考查了学生分析能力和计算能力，是中档题.21.（某工厂生产零件a，工人甲生产一件零件a，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件a，是一等品、二等品、三等品的概率分别为己知生产一件一等品、二等品、三等品零件a给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.（1）试根据生产一件零件a给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；（2）为鼓励工

20、人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件a，如果一方生产的零件a品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件a品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜pi+4（i=4，3，2，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率写出p0，p8的值；求决赛甲获胜的概率【答案】（1）乙的技术更好，见解析（2），；【解析】【分析】（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；（2）直接根据概率的意义可得p0，p8；设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.【详解】（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为10521052所以，所以，即乙的技术更好（2）表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；设每轮比赛甲得分为，则每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率， 所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；所以，所以是等差数列，则，即决赛甲获胜的概率是.【点