高考新题型巧解点悟专题三 一元二次函数、方程、不等式

1、专题三 一元二次函数、方程、不等式一、新题型内核表解主干知识点知能转化点(1)一元二次函数的图像与性质（包括对称性、顶点、值域及最值、单调性）(2)一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理)、实根分布的充要条件、根的判别式、求根公式(3)一元二次不等式的图像解法与因式分解解法、含参二次不等式的求解及可化为一元二次不等式的其它不等式的求解(1)利用数形结合思想理解方程根分布规律：考虑图象对称轴的范围、最值（或根的判别式）、开口方向、特殊点的函数值(2)重视三个“二次”间的相互转化与关联如根的判别式<0，当它表示的对象为方程时，方程无实根；对象为不等式时，解集为R或（视开口方向而定）；对象为

2、函数时，图象与横轴无交点，函数值恒正或恒负解题关键点常见障碍点(1)掌握化归思想，一元二次不等式可化为不等式组，分式不等式可转化为整式不等式(2)熟练掌握一元二次不等式的解法(3)熟练掌握判别式的运用：判定方程有无实数根、函数值恒正恒负、不等式恒成立与恒不成立等问题(4)熟练掌握并运用二次函数在实数集及其真子集上的图象解决有关问题(1)忽视不等式中“<”与“”的区别，对解在区间端点的情况分类往往会出现错误(2)容易忽视参数所在不等式中的位置对结果的影响(3)容易忽视判别式使用的条件为二次的限制(4)列二次方程实根的分布的充要条件时，往往遗漏一些条件(5)画图粗糙马虎，常带来负面影响(6)

3、惧怕含参数的问题二、新题型巧解点悟1等价转化法【例1】已知集合A=t|使x|x2+2tx-4t-30= R，集合B=t|使x|x2+2tx-2t=0，其中x，t均为实数（1）求AB；（2）设m为实数，g(a)= -sin2+mcos-2m，求M=m|g(a)AB【分析】（1）集合A表示使不等式x2+2tx-4t-30对xR恒成立的实数t的取值范围，亦即方程x2+2tx-4t-3 = 0无实根，因其二次项的系数为非零定值，故只须直接使用判别式<0即可；集合B表示使方程x2+2tx-2t=0的解集为非空集的实数t的取值范围，故其根的0，由此可求出AB（2）先可对三角函数进行换元，化为一元二次

4、函数，分情况求函数g(a)的值域 【解】（1）因x|x2+2tx-4t-30=R Û方程x2+2tx-4t-3 = 0无实根Û<0，于是 = (2t)2-4(-4t-3)<0，即t2+4t+3<0，解得-3<t<-1，从而 A=t|-3<t<-1因x|x2+2tx-2t=0 Û方程x2+2tx-2t=0有实数解Û0，于是 =(2t)2+8t0，解得t0或t-2，从而 B=t| t0或t-2故有：AB=t|-3<t<-1t| t0或t-2=t|-3< t-2（2）g(a)= -sin2+mcos-

5、2m = cos2+mcos-2m-1，令cos=x，则由，得x-1,0，且g(a)= h(x)=x2+mx-2m-1，于是由g(a)AB可得-3<x2+mx-2m-1-2（x-1,0）由h(x)= (x+ )2- -2m-1(-3，-2，x-1，0 ，可得当 - 0，亦即m0时，h(x)在-1,0上单调递减，于是hmin(x)=h(0)= -2m-1，hmax(x)=h(-1)= -3m，故-2m-1>-3，-3m-2，此种情形下m无解；当 - <- <0，亦即0<m<1时，则h(x)在-1，- 上为减函数，在- ，0上为增函数，于是hmin(x)=h(-

6、 )= - -2m-1，hmax(x)=h(-1)= -3m，故 - -2m-1>-3，且-3m-2，解得m<2-4；当 -1<- - ，亦即1m<2时，h(x)在-1，- 上为减函数，在- ，0上为增函数，于是hmin(x)=h(- )= - -2m-1，hmax(x)=h(0)= -2m-1，故 - -2m-1>-3，且-2m-1-2，此种情形下m无解；若- -1，亦即m2时，则h(x)在-1，0上为增函数，于是hmin(x)=h(-1)= -3m，hmax(x)=h(0) = -2m-1，故 -3m >-3，且-2m-1-2，此种情形下m无解综上所述，

7、所求集合M=m| m<2-4【点悟】解题关键点：准确理解集合A与B及M的意义，正确地对参数m按函数h(x)的单调性进行分类讨论解题易错点：换元时容易忽视变形的等价性，也就是容易扩大函数g(a)的取值范围；对h(x)按那一个参数进行分类不清楚；不会比较2-4与1的大小2待定系数法【例2】设二次函数f(x)= ax2+bx+c(其中a>0，bc0，a、b、cR)（1）已知| f(0)|= | f(1)| =| f(-1)|=1，试求f(x)的最小值；（2）已知| f(0)|1，| f(1)|1，| f(-1)|1，求证：当|x|1时，| f(x)| ；（3）设f (x)为函数f(x)的

8、导数，且f (1)=0，f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2，试问是否存在实数a，使得函数y=lgf(x)-2x在区间(-，3上是单调函数？【分析】（1）将已知中的条件用a、b、c的式子表示出来后，平方去绝对值，再求解系数a、b、c；（2）将a、b、c用|f(0)|、|f(1)|、|f(-1)|表示后，利用绝对值不等式的性质进行放缩，转化为二次函数加以求解；（3）根据导数公式及已知f (1)=0可得到a与b的关系，利用根与系数的关系写出弦长，判断出c的符号后，再利用函数的单调性及二次函数图象的对称性，探求a的存在性【解】（1）由| f(0)|= | f(1)| =| f(-1)|=1，得，

9、|c|=|a+b+c| =|a-b+c| =1由|a+b+c| =|a-b+c|，得 (a+b+c)2- (a-b+c)2=0于是，4b(a+c) = 0因bc0，故b0，从而a+c =0又a>0，故c<0，于是c = -1，a=1，|b| = 1故f(x)=x2 +bx 1，其最小值为 （2）由条件得 解得 结合条件|x|1，得| f(x)|= | x2+ x+ f(0)| =| f(1) +f(-1) +f(0)(1-x2)| | f(1) | + | f(-1) | + | f(0)(1-x2)| | | + | | + |1-x2|= + +1-x2= |x|+1-|x|2

10、= -(|x|- )2+ （3），于是2a+b =0设f(x)=0的两根为m,n，则m+n= ，mn= 故弦长为|m-n| = 2，故 0因a>0，且bc0，故c<0令g(x)=f(x)-2x=ax2 (2a+2)x +c若存在实数a，使得函数y= lgax2 (2a+2)x +c在区间上是单调函数，则x= 3，且g(3)= 32a3(2a+2) +c0即0a，且3a-6+ c0由于c<0，故上两式不能同时成立从而，满足条件的a不存在【点悟】解题关键点：第（2）小问中，将待定系数a、b、c转换为关于|f(0)|、|f(1)|、|f(-1)|的表达式，这样可直接使用已知条件这里

11、的放缩法、整体思想、配方法等均有体现解题技巧：两边都含有绝对值的恒等式，去绝对值的常用办法是两边同时平方解题易错点：第（3）中，易忽视函数定义域的限制，即不考虑g(3)>03分类讨论法【例3】已知aR，试解关于x的不等式：（1）x2+2ax+1 >0；（2）ax2+4x+4>0【分析】两小题均是含有参数a的不等式，但参数的位置不同，因而须按不同标准进行分类不等式（1），恒为一元二次不等式，故只须联想二次函数的图象与x轴交点的情况，分别讨论其判别式与0的大小；不等式（2），未必是二次不等式，故首先必须讨论a是否为0，即考虑原不等式是一次不等式还是二次不等式，当是二次不等式时，还

12、须讨论图象的开口方向，因为不同的开口方向其解集的表示形式亦是不同的，一个是在两根之间，一个是在两根之外【解】（1）= 4a2-41°当a>1或a<-1时，>0，方程x2+2ax+1=0有两不等实数根：x1= -a+ ，x2= -a - ，从而不等式的解为x>-a+ 或x<-a - ；2°当a=1时，=0，方程x2+2ax+1=0有等根x= -1，从而不等式的解为x-1；3°当a = -1时，=0，方程x2+2ax+1=0有等根x= 1，从而不等式的解为x1；4°当-1<a<1时，<0，方程x2+2ax+1=

13、0无实根，从而不等式x2+2ax+1 >0恒成立，解集为R故原不等式当a>1或a<-1时，解集为x| x>-a+ 或x<-a - ；当a=1时，解集为x|xR，且x-1；当a = -1时，解集为x|xR，且x1；当 -1<a<1时，解集为R（2）（）当a=0时，原不等式即为一元一次不等式：4x+4>0，显然x>-1；（）当a<0时，=16-16a>0方程ax2+4x+4=0有两个不等实根x1= ，x2= 从而不等式的解为<x<；（）当a>0时,1°当a>1时，<0，方程ax2+4x+4=0

14、无实根，不等式恒成立，其解为xR；2°当a=1时，=0，方程ax2+4x+4=0有等根x = -2，从而不等式的解为x-2；3°当0<a<1时，>0，方程ax2+4x+4=0有两个不等实根x3= ，x4= ，从而不等式的解为x>或x<于是原不等式ax2+4x+4>01°当a=0时，其解集为xx>-1；2°当a<0时，其解集为x<x<；3°当a>1时，其解集为R；4°当a=1时，其解集为xxR，且x-2；5°当0<a<1时，其解集为xx>或x&

15、lt;【点悟】解题关键点：正确比较两个含参不等式的异同，掌握正确的分类原则与标准解题规律：不等式（1），不论a值如何变化，它总是二次不等式，因而分类依据仅须根据判别式与0的大小分三种情况，逐个讨论该分类标准与一元二次方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、无实数根的情形相一致，也与二次函数的图象与x轴的交点为两个不同的交点、一个公共点、无交点的情形一致而对于不等式（2），参数a在二次项的系数前，因而须首先对 a是否为0分二种情形进行讨论，它决定了不等式的次数是一次的或是二次的；然后对a不为0的情况，分别讨论其判别式与0的大小及开口方向，得到各种情形下的解集这是一个两次分类问题，其分类的层次

16、可表示为解题易错点：容易忽视对二次项系数的讨论，另外，第（2）小题的（）中，容易误认为 < 4建模法【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用图1中a图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图1中b图的抛物线段表示 （1）写出图a表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)； 写出图b表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）【分析】这是一道2000年全国高考试题，重点

17、考查考生读图识图用图的能力可根据图象给出的有关信息，写出满足条件的函数关系式在求函数最大值时，可依据二次函数的性质及函数的单调性解之【解】（1）由图a可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= 由图b可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)= (t-150)2+100，0t300（2）设t天上市的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)-g(t)，即 h(t) = 当0t200时，配方得h(t)= ，所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当200<t300时，配方得，h(t)= 所以，当t=300时，h(t)取得区间上的最大值87.5综上所述，由100&

18、gt;87.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【点悟】解题规律：定义在闭区间a,b上的二次函数f(x)= mx2+nx+p(m0)一定有最大与最小值，且它们一定在区间的端点或抛物线的顶点处取得，具体解题时可结合二次函数的图像分析得到解题技巧：一元二次函数特别是其最值的性质，在实际问题中有极为广泛的应用应掌握二次函数包括带有定义域限制或含有参数问题的值域的求法解题易错点：容易忽视实际问题中变量的实际意义，从而扩大变量的取值范围另外，不能读懂图形语言，不能正确地理解题中所给的信息以及对分段函数的概念掌握不清5数

19、形结合法【例5】设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间0，l(a)上，不等式| f(x)|5都成立问a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论【分析】由函数式知，函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右边，顶点坐标为（- ，3- ），显然3- >3，故必须讨论3- 与5的大小当3- >5时，l(a)(0，- )；当3- 5时，l(a)> - 分别画出它们的图形，根据图形回答问题【解】将f(x)配方得：f(x)=a(x+ )2+3- ，由于a<0，于是f(x)max=3- Oxy35(甲)x

20、Oy3-5(乙)图2（1）当3- 5，即-8a0时，如图2（甲），有l(a)(0，- )，且f(l(a)=5令ax2+8x+3=5，于是方程有两不等实数根由于函数y= f(x)=ax2+8x+3的图象关于直线x= - 对称，故方程的一根大于- ，另一根小于- ，l(a)只能取方程ax2+8x+3=5的较小根，于是l(a)= = < （2）当3- 5，即a-8时，如图2（乙），有l(a)> - ，且f(l(a)= -5令ax2+8x+3= -5，于是方程有两不等实数根又由于函数y= f(x) = ax2+8x+3的图象关于直线x= - 对称，故方程的一根大于- ，另一根小于- ，l(

21、a)必须取方程ax2+8x+3= -5的较大根，于是l(a)= = ，当且仅当a = -8时，取“=”因> ，故可取l(a) = 为最大，此时a = -8【点悟】解题关键点：分情形画出满足条件的示意图，将条件|f(x)|5进行合理的转化解题规律：对于二次函数与二次方程及二次不等式相结合的问题，常常画出示意图，利用图形的直观性进行问题的等价变形，直至问题的最终解决解题易错点：容易误认为第（1）种情形下方程的最小根为，第（2）种情形下方程的最大根为【例6】实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求 的取值范围D(1,2)-1-2-3121ACab

22、图3B【分析】由根的分布，可作出满足条件的示意图，写出a、b所满足的条件；另外，由的形式，可联想斜率公式，利用解析几何的办法加以求解【解】因方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，故函数y=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间（0，1）及（1，2）内，于是也就是 (a，b)所表示的平面区域如图3的阴影所示由解得A（-3，1）；由解得B（-2，0）；由解得C（-1，0）由于表示连接点(a，b)和点D（1，2）的斜率，故由图3易知：kAD< < kCD因kAD= ，kCD= ，故 <<1【点悟】解题关键点：由根的分布规律准确写

23、出a与b所满足的条件，并由此准确作出点（a，b）所在的区域，联想直线斜率的几何意义解题规律：对于方程根的分布问题，常利用数形结合法，从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值等方面进行考虑；对于求比例的形式的问题，常常可联想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解6反证法【例7】已知a、b、cR，f(x)=ax2+bx+c（1）若a+c=0，f(x)在-1，1上最大值为2，最小值为 - ，试证明：a0且|<2；（2）若a>0，p、q是满足p+q=1的实数，且对任意的实数x、y均有 pf(x)+qf(y)f(px+qy)试证明：0p1【分析】（1）对于证明“a0”，只须使用反证法而待

24、证结论中的，容易使我们想到二次函数图象的对称轴，二次函数的单调性，并利用它们进行求解（2）先将f(px+qy)展开变形化简，后利用作差比较法比较大小【证】（1）由a+c=0，得 c= -a于是，f(x)=ax2+bx a假设a=0或|2由a=0，得 f(x)=bx，此时必有b0在-1，1上，f(x)的最大值为|b|，最小值为-|b|依题意有相互矛盾若|2，于是|- |1且a0所以，f(x)在-1，1上的图象必在对称轴x= - 的一侧，从而f(x)在-1，1上为单调函数由于f(1)=b，f(-1)= -b，故f(x)max= |b|，f(x)min= -|b|依题意有相互矛盾由可知，假设不成立，

25、因而命题得证（2）pf(x)+qf(y)- f(px+qy) =p(ax2+bx+c)+q(ay2+by+c)- a(px+qy)2+b(px+qy)+c =apq(x-y)20由于a >0，且(x-y)20且不恒为0，故pq0，即p(1-p)0，解得0p1，命题得证【点悟】解题关键点：正确假设问题的反面，准确掌握二次函数的图象解题规律：比较两个数的大小常用作差比较法；对于象证明某个变量不可能等于某个数的诸如此类的问题，常采用反证法解题易错点：写“p且q”命题的否定常常易犯错误，事实上，它的否定为“非p或非q”本题中“a0且|<2”的否定为“a=0或|2”三、新题型变式训练1已知函

26、数f(x)=ax2+(1-3a)x+a在区间1，+)上递增，则a的取值范围是 （ ）A1 B（- ,1 C1，+) D0，12如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(t+2)=f(2-t)，那么（ ）Af(2)<f(1)<f(4) Bf(1)<f(2)<f(4)Cf(2)<f(4)<f(1) Df(4)<f(2)<f(1)3若xx2+mx+n0=x2x4，则实数m， n的值分别为 4若集合A=xx2+mx+10中只有一个元素，则实数m的值为 5解不等式： x2+3ax<18 a2，其中aR6已知函数y = ( m2+4m-5)

27、x2+4(1-m)x+3的图象都在x轴上方，求实数m的取值范围7若方程x2+2ax+3a+10=0，x2-ax+4=0，及x2+(a-1)x+16=0中，至少有一个方程有实根，求a的取值范围8对任意实数x，不等式|x2-3x-4|a2-3a- 4都成立，则实数a的取值范围为 9若不等式0x2-ax+a1只有唯一解，则实数a的值为 10已知一元二次函数y = ax2+bx+c的图象过点（-1，0），试问是否存在常数a、b、c，使xy(1+x2)对一切实数x都成立？证明你的结论 11已知关于x的不等式 （kR，且k0） （1）若x=3为不等式的一个解，试求k的取值范围； （2）若不等式的解集为xx

28、>3，试求k的值12汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了事发后现场测得甲车的刹车距离没有超过17.5米，乙车刹车距离超过10米，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/小时）之间分别有如下关系：S甲=0.01x2+0.15x，S乙=0.005x2+0.05x试问超速行驶应负主要责任的是甲车还是乙车？13对于任意实数x，关于x的不等式(m-1)x2-mx+m-1<0恒成立，求实数m的取

29、值范围14若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a1)在-1，1上的最大值为14，求实数a的值四、参考答案点拨1D（若a=0，显然满足题意；若a0，则a>0且 - 1）2A（由f(t+2)=f(2-t)知，函数f(x)图象关于直线x=2对称另一方面，函数的图象开口向上，故由图像的对称性、单调性知：f(2)最小，且f(1) = f(3) < f(4)，答案选A）3-6、8（可利用根与系数的关系求解，-m=2+4，n=24）4±2（= m2-4=0）5当a=0时，解集为；当a>0时，解集为x-6a<x<3a；当a<0时，解集为x3a <x&

30、lt;-6a 61m <19 (考虑m2+4m-5=0及m2+4m-5>0两种情况若m2+4m-5=0，此时应有1-m=0，于是m=1(m = -5，y = 24x+3，不满足题设)；若m2+4m-5>0，则由于图象在x轴的上方，故<0，解得1<m<19)7a-2或a4（问题的反面是三个方程都没有实数根，从而三个方程的根的判别式都小于0，即1= 4a2 -4(3a +10)<0；2 = a2-16 <0；3= (a -1)2-64<0，联立求解三个不等式得-2<a<4，于是所求的a满足：a-2或a4）8-1a4(因 |x2-3x-4|= | (x- )2 - |，故其最小值为0，于是不等式|x2-3x-4|a2-3a- 4恒成立，等价于a2 -3a - 40，解之即得)92（因函数y= x2-ax+a的图象开口向上，故存在无穷多个x的值使不等式x2-ax+a0成立，于是由原问题成立，必须x2-ax+a1只有唯一解，于是=