【KS5U解析】开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试（二）数学（理）试题 Word版含解析

1、开卷教育联盟 2020届全国高三模拟考试(二)数学(理科)一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求得集合,再根据并集的定义求解即可.【详解】 ，选b【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的并集运算，是基础题.2.（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用复数的四则运算，直接对所求式子运算即可得答案.【详解】.故选：d.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列

2、结论正确的是（ ）a. 是偶函数b. 是奇函数c. 是奇函数d. 是奇函数【答案】c【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比，我们把有两条边长之比为的三角形称为黄金三角形.则下列结论，正确的个数是（ ）顶角等于的等腰三角形是黄金三角形；底角等于的等腰三角形是黄金三角形；有一个角等于的直角三角形是黄金三角形；有一个

3、角等于的直角三角形是黄金三角形.a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】如图等腰，顶角，做底角的角平分线，可得为底角为的等腰三角形，设，推出，即可求出关系，可判断的真假，再通过解三角形求得，的三角函数，可判断真假.【详解】如图，等腰，顶角，做角的角平分线，与边交于，则为底角为的等腰三角形，为顶角为的等腰三角形，所以，设，化简得，故正确，在中，由余弦定理得，取中点，则，所以不正确.故选:b.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等腰三角形的性质、求三角函数值，考查计算求解能力，属于中档题.5.已知函数，则yf（x）的图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】

4、利用特殊值判断函数的图象即可【详解】令，则，再取，则，显然，故排除选项b、c；再取时，又当时，故排除选项d.故选：a.【点睛】本题考查函数的图象的判断，特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁，属于基础题.6.唐宋八大家，又称唐宋古文八大家，是中国唐代韩愈柳宗元，宋代苏洵苏轼苏辙王安石曾巩欧阳修八位散文家的合称.他们先后掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.在唐宋八大家中随机取两位，则他们来自同一朝代的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出八大家随机取两位的方法数为，再求出两个来自同一朝代的有，即可求解.【详解】在唐宋八大家中随机取两位，则他

5、们来自同一朝代的概率是.故选:a.【点睛】本题考查古典概型的概率，利用组合数公式是解题的关键，属于基础题.7.中，边的高为，若，则（ )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【详解】试题分析：由，可知8. 执行右面的程序框图，如果输入的t1，3，则输出的s属于( )a. 3,4b. 5,2c. 4,3d. 2,5【答案】a【解析】试题分析：此程序为分段函数，当时，当时，所以函数的值域为：，故选a考点：程序框图9.已知数列的通项公式为，则数列（ ）a. 有最大项，没有最小项b. 有最小项，没有最大项c. 既有最大项又有最小项d. 既没有最大项也没有最小项【答案】c【解析】【分析】将化为，其中

6、；结合二次函数的性质和的取值可确定最值的取得情况，从而得到结果.【详解】由题意得：令，则 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增当时，取最小值；当时，取最大值既有最大项又有最小项故选：【点睛】本题考查数列最大项和最小项的求解问题，关键是能够将通项公式化为二次函数的形式，根据二次函数性质求得结果；易错点是忽略数列中的取值的限制及换元后参数的取值限制，造成求解错误.10.如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】长方体外接球的直径为长方体的对角线，与底面所成的角为，从而有，求出即可.【详解】连正四

7、棱柱，平面为与底面所成角，在中，正四棱柱的外接球半径为，其表面积为.故选:a.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，注意直线与平面所成角的几何求法，属于基础题.11.（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】化切为弦，分式通分，引进特殊角，非特殊角相消相约，即可求解.【详解】原式.故选:c.【点睛】本题考查非特殊角求值、三角恒等变换应用，考查计算求解能力，属于中档题.12.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）a 5b. c. 9d. 14【答案】d【解析】试题分析：设，斜率为，则斜率为，且，所以，同理，因此，

8、选d.考点：解析几何定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时，的值为_.【答案】【解析】【分析】求导求出，得，利用基本不等式即可求解.【详解】由题意可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，取最小值为4.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义

9、、基本不等式求最值，属于基础题.14.函数的图象可由函数的图象至少向右平移_个长度单位得到【答案】【解析】【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位.【详解】分别把两个函数解析式化简为：，可知只需把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数图象的平移变换的问题，在解题的过程中，注意正确化简函数解析式，把握住平移的原则是左加右减，以及自变量本身的变化量.15.甲小组有2个男生和4个女生，乙小组有5个男生和3个女生，现随机地从甲小组抽出一名学生放入乙小组，然后从乙小组随机抽出一名学生，则从乙

10、小组抽出女生的概率是_.【答案】【解析】【分析】对于从甲组抽出一名学生分男、女讨论，再结合独立事件同时发生的概率关系，和互斥事件概率，即可求解.【详解】根据题意，分两种情况讨论：从甲小组中取出男生，其概率为，此时乙小组中有6个男生和3个女生，从乙小组中取出女生的概率为，则这种情况下的概率为.从甲小组中取出女生，其概率为，此时乙小组中有5个男生和4个女生，从乙小组中取出女生的概率为，则这种情况下的概率为.则从乙小组中取出女生的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件、独立事件同时发生的概率，合理分类是解题的关键，属于基础题.16.已知双曲线：的渐近线与抛物线相切，则的离心率为_.【答案】【解

11、析】【分析】将渐近线方程与抛物线方程联立，利用相切只有一个实数解，求出，再由关系，即可求解.【详解】把代入得，所以.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题.三解答题(共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.)17.为数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意当时，当时，因为，即可求得通项公式；（2）因为，利用裂项求和法即可求得数列的前项和试题解析：（1）依题意有当时，得；当时，有得，因为，成等差数列，得（2），考点

12、：等差数列的通项公式，裂项求和法18.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点. （1）证明:平面.（2）设二面角为，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连结交于点，连结. 根据四边形为矩形，所以为的中点，为的中点，利用三角形的中位线可得，再利用线面平行的判定定理证明. (2) 根据平面，四边形为矩形，建立空间直角坐标系.设，再求得平面dae， 平面cae的法向量，根据二面角为，利用，解得.，然后利用锥体体积公式求解.【详解】(1)连结交于点，连结. 因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，所以平面. (2) 因为平面，四边形为矩形，所以两

13、两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系.设，则， 所以， 设为平面的法向量，则，可取 ， 又为平面的一个法向量，由题设知即，解得.因为为的中点，设为的中点，则，且，面，故有三棱锥的高为， 三棱锥的体积所以三棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角和三棱锥的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2012年至2018年学生的人均月支出(单位：百元)的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号12

14、34567人均月支出2.93.33.64.44.85.25.9（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该校学生人均月支出的变化情况，并预测该校2020年的人均月支出.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）.（2）2012年至2018年该校学生人均月支出逐年增加，平均每年增加0.5百元. 预测值为6.8百元【解析】【分析】（1）由已知数据分别求出公式中的量，即可求出求解；（2）根据系数的正负，分析月支出增加还是减少，将代入回归方程，即可求出结论.【详解】（1）由所给数据计算得，.所求回归方程为.（2）由（1）知，故2012

15、年至2018年该校学生人均月支出逐年增加，平均每年增加0.5百元.将2020年的年份代号代入（1）中的回归方程，得，故预测该校2020年人均月支出为6.8百元.【点睛】本题考查线性回归直线方程以及应用，考查计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆：的上下顶点分别为，且短轴长为，为椭圆上任意一点，直线，的斜率之积为，依次为左右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）山不会忘记你，河不会忘记你，祖国不会忘记你!南仁东，“天眼”之父，被追授“时代楷模”荣誉称号.24年，8000多个日夜，500米口径球面射电望远镜首席科学家总工程师南仁东心无旁骛，为崇山峻岭间的“中国天眼”燃尽生命，在世界天文史上镌刻下新的高

16、度.“天眼”是世界上最大最灵敏的单口径射电望远镜，它看似一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号.调试期的“天眼”已经发现了多颗脉冲星，成为国际瞩目的宇宙观测“利器”.在党的十九大报告中，“天眼”与天宫蛟龙大飞机等一起，被列为创新型国家建设的丰硕成果南仁东来不及目睹.但他执着追求科学梦想的精神，将激励一代又一代科技工作者继续奋斗，勇攀世界科技高峰.在“天眼”的建设中大量用到了圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点后反射，反射光线必经过另一焦点.(温馨提示：光线射到曲线上某点反射时，法线垂直于该点处的切线)【答案】（1）.（2）答案见解析【解析】【

17、分析】（1）由已知得坐标，设，结合斜率公式，即可求出椭圆方程；（2）设点坐标，根据已知求出切线斜率，进而求出法线方程，利用几何法证明法线是的角平分线即可.【详解】（1）设，直线，的斜率为，由题意知，由，得，整理得.即椭圆的方程为.（2）当为椭圆顶点时结论显然成立，当不是椭圆顶点时，要证结论只须证法线平分，设点坐标，设切于点的切线方程为，与椭圆方程联立，消去得，所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程，令可得法线与轴交点的横坐标为，或（舍去）所以法线平分，结论成立.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，注意几何法证明椭圆的性质，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

18、21.已知定义在的函数满足，且，(，是常数). （1）当时，求在处的切线方程；（2）存在，使，求取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）当时，求出，得到切线的点斜式方程即可；（2）即求时，由已知可得，令，可证恒成立，因此，进而得到单调性，求出的最小值，而，对分类讨论，得到其单调性，进而求出最大值，即可求出结论.【详解】（1）当时，.故，又，所以切线方程为，即.（2）证明：由题意，在时，因为满足，所以，令，则，当时，单调递增，故时，有最大值，所以，在内单调递减，而.当时，在内，单调递增，；当时，在内，单调递减，综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、最值，不等式存在成立与最值之间的转化，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22.在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（