15.1.2《分式的基本性质》典型例题

1、分式的基本性质典型例题beac例1下列分式的变形是否正确，为什么?b ab 2 a a例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。(1)a b ()ab2a2b3(2)a2 2a 1不改变分式的值,将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.0.2x 0.3y0.5x 0.02y(2)0.2xTx43y例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.(1) 21 a a231 a a(2)x 3x2 3x 2例5已知不论x取什么数时，分式业卫（bx 5 0）都是一个定值，求bx 5a、b应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的 4倍，将圆台放在桌

2、面上，桌面承受压强为P牛顿/米2，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少?例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含”号:1 1x y不改变分式的值，使分式 丄的分子、分母中的多项式的系数0.5x 0.4y都是整数.判定下列分式的变形是不是约分变形,变形的结果是否正确，并说明理由:(1)a 1；Ob Tb ；(2)a ba2 b21Ob ；(3)x3 2x2 x 2x 2x32x ；a bb2 a2例10化简下列各式:(1)3a 3b；45a2b3 ；(2)4a2 ； 2a b 8b16x2 3x3x2x2 2cx x x x 6参考答案例1分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应

3、该严格地用基本性 质去衡量，M 0是基本性质的生果组成部分，应特别注意解(1)：已知分式b/a中已隐含了 a 0 ,-用a分别乘以分式的分子、分 母，分式的值不变，故(1)是正确的.(2) 因为已知分式a/b中，没限制c，c可以取任意数，当然也包括了c 0，当分式的分子、分母都乘以c 0时，分式没意义，故(2)是错误的.例2分析(1) 式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，a2b3是 由ab2乘以ab得到的，由分式的基本性质，a b也要乘以ab，所以括号内应填 (a b)ab(2) 式中等号两边分子都已知，所以先观察分子， a2 2a 1 (a 1)2除以 a 1得到右边分子

4、a 1，按照分式的基本性质，(a3 1) (a 1) a2 a 1，故 括号内应填a2 a 1 -解：(1)当空?譽ab2a2b3(2) a2 2a 1 a 1(2)32a 1 (a a 1)例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的 基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？(1) 中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.1(2) 中分子、分母中各项系数(0.2丄)是分数，这个数应该是各项系数的5分母的最小公倍数，即5, 2, 4, 3的最小公倍数60.解：(1)法 1:原式 (0.2x 0.3y) 50(0.5x 0

5、.02y) 5025x y法 2：原式(.2x 0.3y) 100(0.5x 0.02y) 10020x 30 y 10x 15y50x 2y 25x y（2）原式1 1(Tx 尹)60 12x 30y(lx |y) 60 15x 40y说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号解：（1） 21 a a231 a a2 2(1 a a ) a a 1(1 a a ) a a 1x 3x2 3

6、x 2x 3x 322(x 3x 2) x 3x 2例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值,而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法解：当x 0时,x 1时,ax 3 bx 5 ax 3 bx 5不论x取什么实数,ax 3 一疋一一bx 5个定值a 33，二 5a 15 3a 15b 553I 5a 3b a -b53把a 3b代入原式，得533bx 5 bx 5bx 553 a、b的关系为5a 3b ;定值为35例6 解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为S1米2，上底面积为S2米2G则p -，S1偲二 G PS, 4PS2当圆台倒放时，桌面受到

7、的压强为：G 4SP 4P件顿/米2)S2S2答：桌面受到的压强为4P牛/米2.说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题(1)卫；(2)坐;(3) 汇；(4)a b .2na6x y2a 3b例7 分析 根据 分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改 变其中任意两个，分式的值不变”.解：(1)同时改变分子和分式的符号，得5m5m .2n2n ；(2) 同时改变分母和分式的符号，得4b 4bG 7 ；(3) 先确定是分母的符号，再变号，得3x3x3x .6x y 6x y 6x y (4) 先确定是分子的符号，然后变号，得2a 3b2a 3b2a 3ba ba ba b说明1 分式中的分

8、数线实际上起到了括号的作用如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如(3)，(4)题,千万不可误解成3x3x或 2a 3b2a 3b .2a 3b 3b 2a2 对于(4)题，也可处理成 2a汇纟的形式.a b a b例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6,分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是 分母同时乘以30.30于是可利用分式的基本性质：分子、1x 解：213y1 x21 y3300.5x0.4y1x225y3015x 10y15x 12y说明1利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了 数学化繁为简的策略，并为分式作进一

9、步处理，提供了便利条件.2操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在.因此不仅要考虑到分子、 分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位.例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式.解：(1)、(2)、(3)题的变形都不是约分，结果都是错误的.(1) 分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，除以一个 整式a ”是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一项进行，就 违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的.(2) 分式的分母是个平方和的形式，不能分解.因此分子、分母没有公因 式，它是最简分式故此题的变形是毫无根据的.(3) 当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这

10、里x3 2x2与x 2 是和的形式，因此不能进行约分.正确的结果解法是：3222 ax 2x x2xx2 x2 x 2 x 12,x 1x 2x 2x 2(4) 此题是约分变形.因此分母化成a b a b的形式，与分子约去公因式a b可得.说明1.对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、 定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2.对(1)、(2)、(3)题的变形错误，实际上也可以举反例说明.如(1)题：当a 2，b 3时,2 313(2)、(3)题同理.例10分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式.解:(1)3a3b45a2b3c2.3a b aa ；2 2 2 3a2b 15b215b2(2)a4 1622a b 8b2 2a 4 a 42b a242b(3)2 2x 3x x 3x 22 2XXX说明1 当分式中