数论余数问题优质课教学设计完美版

1、教案教师:王鑫学生：刘竞琰上课时间：学生签字：Sc数论（五）余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1. 带余除法的定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（0）,若有a* b=q, r，也就是 a= bxq+ r, 0 ? rvb;当r =0时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商当r =0时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商2. 和余数相关的一些重要性质：（以下 a,b,c 均为自然数）性质 1:余数小于除数性质 2：被除数二除数商余数除数（被除数-余数）“商商（被除数-余数）“除数性质 3：a 与 b 的和除以

2、 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余数等 于 4,即前两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23+19=42 除以 5 的余数等 于 3+4=7除以 5 的余数，即 2.性质 4： a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积 除以 c所得的余数。例如：23, 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以（23

3、16）除以 5 的余数等于3 1 =3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数例如：23, 19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以(23 19)除以 5 的余数等于3 4=12除以5 的余数，即 2.【注】对于上述性质 3, 4,我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4,对于我们求一个数的 n 次方除以一个数的余数时非常的有用。二、数的同余1.同余定义若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为： a= b ( mod m )同余式读作：a 同余于 b,模 m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若

4、两个数 a, b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a, b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为：如果有 a= b ( mod m ),那么一定有 a b= mk,k 是整数，即 m|(a b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。例如：(1)15三365(mod7)，因为365-15 =350 =7 50(2)56三20(mod9)，因为56 -20 =36=9 4(3)90三0(mod10)，因为90-0=90=9 10由上面的 式我们可以得到启发， a 可被 m 整除， 可用同余式表示为a二0(mod m)例如，我们表示 a 是一个偶数，可

5、以写为a三2(mod2),表示 b 为一个奇数，可以写为b三1(mod2)我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同, 在某些性质上相似。2.同余式的性质(其中 a、b、c、d 是整数，而 m 是自然数。)性质 1: a= a (mod m(反身性)性质 2：若 a= b ( mod m ),那么 b= a ( mod m )(对称性)性质 3:若 a= b ( mod m ) , b = c( mod m )，那么 a= c ( mod m ) (传递性) 性质 4： a= b( mod m ),c = d ( mod m ),那么 ac= b d ( mod

6、m ) (可加减性) 性质 5:若 a= b ( mod m ), c= d ( mod m ),那么 ac= bd ( mod m ) (可乘性)性质 6:若 a= b ( mod m )，那么 an= bn(mod m),(其中 n 为自然数)性质 7：若 ac= be ( mod m ) , (c, m) = 1,那么 a= b ( mod m )三.弃九法在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失 而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898

7、18922 678967178902 =8899231234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质，即如果这个等 式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边 和除以 9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算， 只要计算这个自然数的各个位数

8、字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就 是一个 9 一个 9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和， 再求这个和被 9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加、相减，对于检验相乘、相 除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式5 6 7 853时，5 除以 9 的余数为 5, 6 除以 9 的余数为 6, 7 除以 9 的余数为 7, 8 除以 9 的余 数为 8, 9除以

9、9 的余数为 0,余数的和为 26，除以 9 的余数为 8,等式右边的和 53 除以 9 的余数也为 8,虽然余数相同，但是很容易发现5 6 7 8 35,所以弃 九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理1. 中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之， 剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为

10、中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信 答说，每 3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人,，。刘邦茫 然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人 一列都剩 3 人，则兵有多少？首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质 的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加 3,得 9948 （人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋 朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发

11、现得比西方早，所以这个 问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Ch in ese Remai nderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下 面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问 物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3, 5, 7 后，得到三个余数分别为 2，3, 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3 余 1,并且还是 5 和 7的公倍数。先由5 7 =35 ,即 5 和

12、 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2,不符合要求， 那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数35 2 =70是否可以，很显然 70 除以 3 余 1类似的，我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然 21 可以符合要求。最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3, 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2 70 3 21 2 45_k3,5,7 = 233 - k3,5,7，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制, 那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题

13、加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算2 70 3 212 45一2 3,5,7 =23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”，我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可，即 23+105=128.【习题精讲】【例1】（难度级别丿一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数。【例2】（难度级别丿有一个整数，除 39, 51，147 所得的余数都是 3,求这个数【例3】（难度级别丿求 478X296X351 除以 17 的余数。【例4】（难度级别探）求64431219的余数【例5】（难度级别丿用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是 16.被除

14、数、除数、商、余数的 和是 933,求这 2 个自然数各是多少？【例6】（难度级别丿用弃九法检验乘法算式 5483X9117= 49888511 是否正确【例7】（难度级别丿已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10,那么这样的自然数共有多少个?【例8（难度级别丿号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是 他们号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？【例9】（难度级别探）一个小于 200 的自然数，被 7 除余 2,被 8 除余 3,被 9 除余 1,这个数是多少?【例10】（难度级别丿一堆糖果，如果

15、每 2 块分一堆剩 1 个，每 3 块分一堆剩 1 个，.每 10 个分一堆也剩 1 个, 且这堆糖果的个数在 99-5000 之间，求这堆糖果的个数？【例11】（难度级别丿求自然数2100- 3101- 4102的个位数字【例12】（难度级别丿自然数 2 2 2 . 2 -1 的个位数字是多少？67 个 2【例13】（难度级别丿若有一数介于 300 与 400 之间，以 3 除剩 1,以 8 除剩 5,以 11 除剩 4。问此数为何?【例14】（难度级别丿有一个自然数,用它分别去除 63,90,130 都有余数,3 个余数的和是 25.这 3 个余数中最 大的一个是多少？【例15】（难度级别

16、探）一个数去除 551,745,1133,1327 这 4 个数,余数都相同问这个数最大可能是多少？【例16】（难度级别丿将 1,2,3，, ,30 从左往右依次排列成一个 51 位数,这个数被 11 除的余数是多少？【例17】（难度级别丿已知三个连续自然数，它们都小于 2002,其中最小的一个自然数能被 13 整除，中间的一个自然数能被 15 整除，最大的一个自然数能被 17 整除。那么，最小的一个自然数是多少？【例18】（难度级别丿已知 n “9191919.1919，求 n 被 9 整除后所得的商的个位数字是几?1919 个 1919【例19】（难度级别丿对于任意 7 个不同的整数，证明：其中一定存在 2 个数的和或差是 10 的倍数【例20】（难度级别丿有 2 个三位数相乘的积是一个五位数， 积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和 是10,第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和【作业】1、求 199 纟000十 7 的余数2、被除数、除数、商与余数之和是 2143,已知商是 33,余数是 52,求被除数和除数。（四中小升初选拔试题）3、用弃九法检验算式运算是否正确：1144192613- 28997= 394594、有一个大于 1 的整数，除 45, 59