热传导方程及其定解问题的导出

1、第一章热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程一热传导方程，在研究热传导，扩散等物理现象时都会遇到这类方程 1 热传导方程及其定解问题的导出热传导方程的导出物理模型在三维空间中，考虑一均匀，各向同性的物体，假定它内部有热源，并且与周围介质有热交换，需要来研究物体内部温度的分布和变化以函数u（x，y，z，t）表示物体 在位置（x，y，z）及时刻t的温度. .物体内部由于各部分温度不同，产生热量的传递，它们遵循能量守恒定律. .能量守恒定律物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热 量的总和. .在物体内任意截取一块D. .现在时段鮎鮎，t2上对D使用能量守恒定律.

2、.设u u（x，y，z，t）是温度（度），），c是比热（焦耳/度千克），）， 是密度（千克/ /米3），），q是2热流密度（焦耳/ /秒米），），fo是热源强度（焦耳/ /千克秒）. .注意到在dt时段内通过D的边界D上小块dS进入区域D的热量为q ndSdt（n是D的外法向），），从而由能量守恒律，我们有在一定条件下，热流向量与温度梯度成正比q k u，(梯度u gradu )x y z这里负号表明热量是由高温向低温流动，k是物体的导热系数c (u |t t2u |t t,)dxdydzDt2tldt:：: q ndsDt2dttifodxdydz，()大家知道，热量流动的原因是因为在物体内

3、部存在温差. .依据传热学中的傅立叶实验定律()q n kun k，从而式可改写为称为热传导方程 为了具体确定物体内部的温度分布的边界受周围介质的影响. .初始条件u(x,y,z,0)(x,y,z), (x,y,z)边界条件有三类：1.1.已知边界上的温度分布c (u It t2u It ti)dxdydzDt2udU kdSt1Dnt2tldtf0dxdydz假设u(x, y,乙t)在柱体(0,)内具有连续微商2u2x2 2u-u. .则应用散度定z理( (或高斯公式) )立得: :t2dttiDudxdydztt2dttiD(ku)f0dxdydz, ,由于被积函数在(0,)内连续，以及t

4、1,t2, ,D的任意性 , ,又由于物体均匀，各向同性，c,k都是常数 , ,立得: :(ku)u)x2uxy2u2y2u2z令a2,fc是三维 LaplaceLaplace记为算子, ,则a2uu)()当f 0时表示热源0时表示热汇. ., ,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体u g(x,y,z,t),0,). .这里特别当g常数时，称物体的边界保持恒温2.2.已知通过边界的热量g( x,y,z,t),（n为 上的单位外法向量）, ,g 0表示流入, ,g 0表示流出,特别当g 0表示物体绝热. .定解问题设是空间R3中的有界开区域. .第一初边值问题(x,y,z,t)(0,)u

5、(x,y,z0)(x,y,z),(x,y,z) u g(x,y,z,t)第二初边值问题(x,y,z,t)(0,)u(x,y,z0)(x,y,z),(x,y,z)g(x,y,z,t)第三初边值问题u(x,y,z0)(x,y,z),(x,y,z)g(x,y, z,t)初值问题（或称 CauchyCauchy 问题）3 3 已知通过边界与周围介质有热交换 ogoU，或-ng( x,y,z,t),这里go表示周围介质温度,k00表示热交换系数. .为了具体确定物体的温度场, ,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题f, (x,y, z,t)(0,)(x,y,z,t) R3(0,)3u(x,y,z0

6、)(x,y,z),(x,y,z) R什么是定解问题的解（解说一下）222U2U验证u1u( x,t) 2a t x是方程a2t x在推导出方程之后，求出方程的解 然而求出一个偏微分方程 的精确解一般是困难的附注 1 1 方程a2U f虽然通常称为热传导方程，但绝不只用来表述热传导现象. .事实t上, ,自然界还有很多现象同样可用这个方程来刻划，一个重要的例子是考虑某类分子在介质（如空气，水，）中的扩散 浓度U的不均匀产生分子运动（扩散）, ,它遵循质量守恒定律 根据 NernsNernst t实验定律：分子运动速度与浓度的梯度成正比：v D U，D称为扩散系数. .从而同样可导出分子浓度u适合

7、的方程 十a2u f, ,这里a2是一个与扩散系数成正比的常数，f表 示反应项. .因此人们通常把方程 a2u f称为扩散方程，而a2u称为扩散项. .t附注 2 2 对某些三维问题，如果根据问题的某些性质，适当选取坐标系，可以化归为或近似地化 归为一维或二维问题来处理 这样的简化对于求解定解问题，特别是求问题的近似解带来方便 例 1.1.如果物体可看成一根细杆，它的侧表面绝热，它与周围介质的热交换只在杆的两端x 0,l进行；如果在任意一个与杆的轴线垂直的截面上，初始温度和热源强度的变化很小，那么我们可以近似地认为杆上的温度分布只依赖于截面的位置 因此如果取杆的轴线为轴，那么方程可改写为0的一

8、个解; ;U2(X,t)20( (是参数) )是方程U Ua2Ut x20的一个解. .数学物理方程的主要问题22Ua2xut我们称它为一维热传导方程 同样，如考虑薄片物体上的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程 例 2 2 考虑一半径为R的球体，它通过球表面与周围介质有热交换 如果在球面上所有各点所受周围介质的影响都相同，且球内任意一点的初始温度和热源强度只依赖于它到球心的距f ( x,t)()离而与它的方位无关，那么如果我们选择以球心为坐标原点并引进球坐标, ,从而球内的温度f(r,t)这是由于uu(x,y, z,t)v(r,t),rx2y2z2. .uv rvxxr xrJr22

9、22 2 2 2uv xv xvxv xrx v2xxrr2 2r rr x r2 2r r3rr22222同理uvyryv2223yrrrr22222uvzrzv22235zrrrr222十曰uuu于是u222xyz2222c 2 2 2 2v xyz3rx y zv223rrrr2v2 vrrr我们称它为球对称问题的热传导方程例 3 3 考虑一高为H, ,半径为R的圆柱形物体 引入柱坐标系，取柱体的轴线为z 0平面上，假设在柱体的侧表面和上下底上给出的边界条件只分别依赖于z和r( (点到轴线的距离),),且柱体初始温度和内部热源亦只是r,z的函数 这样在柱体内温度u u( r,z,t)适合2 . 2方呈丄a2口 韦f(r,z,t)tr r r z这是一个二维轴对称问题的热传导方程这是由于u u(x,y,z,t) v(r,z,t), rx22y222 2 2uv xrxv223xrrrr222 2 2uv y r yv223yrrrru u(r,t)适合方程z轴, ,下底落在222.uuv1 v222xyrrr若进一步假设柱长无穷, ,且通过柱体侧表面受周围介质的影响是相同的， 又若柱体的初始温度的内部热源只依赖于r, ,这样在柱体内温度u u(r,t)适合方程附注 3