年高考数学理试题分类总汇编：圆锥曲线

1、实用标准文案2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数）解析一、选择题 .1二、填空题 .3三、大题 .5一、选择题【浙江卷】 2椭圆 x2y21的离心率是94A13B5C 2D 53339【解析】 e9453，选 B.3【全国1 卷（理）】 10.已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l 2 与 C交于 D、E 两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为 （）A16 B 14C 12 D 10【解析】设 AB 倾斜角为作 AK 1 垂直准线， AK 2垂直 x 轴AFcosGFAK1（几何

2、关系）易知AK1AF （抛物线特性）GPPPP22 AFcosPAF同理 AFP，BFP1 coscos1 AB2P2P12sin2cos又 DE 与 AB 垂直，即 DE 的倾斜角为 2DE2P2 P2 2sincos2文档实用标准文案而 y24x ，即 P 2 AB11sin2cos244DE 2Pcos24sin2cos2sin2 cos21sin2224sin1616 ，当sin2 24取等号即 ABDE 最小值为 16 ，故选 A【全国卷（理）】 9. 若双曲线C : x2y21 （ a0 ， b0 ）的一条渐近线被圆a2b2242，则 C 的离心率为（x 2y2所截得的弦长为）A

3、2B3C2D 2 33【解析】 取渐近线ybbxay0 ，圆心2 ，0到直线距离为2bx ，化成一般式3b2aa2得 c24a 2 ， e24 ， e 2 【全国 III卷（理）】 5.已知双曲线C: x2y21(a 0, b 0) 的一条渐近线方程为a2b2y5 x , 且与椭圆 x2y21 有公共焦点，则C的方程为 ( )2123x2y2x2y 2C.x2y21x2y28101 B.154D.1A.4543【解析】双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 2a2又椭圆 x2y21 与双曲线有公共焦点，易知 c3 ，则 a 2b 2c29 1235 ，则双曲线 C 的方程为 x2y2由解

4、得 a2,b1，故选 B.45【全国 III卷（理）】 10. 已知椭圆 C： x2y21，（ a b）的左、右顶点分别为12A，A，a2b2> >0文档实用标准文案且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bxay2ab0 相切，则 C的离心率为 ( )6B.32D.1C.3A. 333【解析】以 A1 A2 为直径为圆与直线bxay2ab 0相切，圆心到直线距离d 等于半径， d2aba2ab2又 a0,b 0 ，则上式可化简为a 23b2 b2a2c2 ，可得 a23a2c2，即 c22a23c6e，故选 Aa3【天津卷】（ 5）已知双曲线 x2y21(a0, b 0)的左焦点为

5、F ，离心率为2 .若经过a2b2F 和 P(0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y2144884884【解析】由题意得ab, 41c4, ab 22x2y21 ，故选 B.c88二、填空题【全国 1 卷（理）】15. 已知双曲线 C： x2y21（ a，b）的右顶点为 A，以 A 为圆心，a2b2>0>0b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于M、 N两点 . 若 MAN=60°，则 C的离心率为 _.【解析】如图，OAa ， ANAMb文档实用标准文案 MAN60

6、，AP3 b ， OP22a23 b2OAPA24AP3b tan2OP3a 2b 24b ，3 bb ，解得 a2又 tan23b 2aa232a4b e1b21123a233【全国 2卷（理）】 16. 已知 F 是抛物线 C : y28x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点，则FN【解析】2p4 ，焦点为 F2 ，0，准线 l : x2 ，y 8 x 则如图， M为F、N中点，故易知线段 BM 为梯形 AFMC 中位线， CN2， AF4 ， ME 3又由定义MEMF ，且MN NF，NFNMMF6lyCNBMAOFx2【北京卷】（

7、 9）若双曲线x2y1的离心率为3 ，则实数 m=_.m文档实用标准文案【解析】 .1m3m21【江苏卷】8. 在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线 x2y21 的右准线与它的两条渐近线分3别交于点 P, Q，其焦点是 F1 , F2, 则四边形 F1 P F2 Q的面积是.【 解 析 】 右 准 线 方 程 为 x331 0331 03 010， 渐 近 线 为 yx ， 则 P(,) ，1031 01 0Q(3 10 ,30)， F1(10,0) ， F2 ( 10,0) ，则 S210302 3.101010【山东卷】 14. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2y21 a0,b0

8、的右支与焦点为 Fa2b2的抛物线 x22 px p0交于 A, B 两点，若 AFBF4 OF ，则该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国 I 卷（理）】20.（ 12分）已知椭圆： x 2y2），四点12），C2（）， （0,1ab2 =1a>b>0P1,1PP3（ 1，3 ），P4（ 1，3 ）中恰有三点在椭圆C上 .22（ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B 两点 . 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 .20. 解：（ 1）根据椭圆对称性，必过P3 、 P4文档实用标准文案又 P4 横坐标为1，

9、椭圆必不过P1 ，所以过 P2 ，P3 ，P4 三点11b2将， ，3代入椭圆方程得，解得 223a4， b 1P201 P3 1214122ab椭圆 C 的方程为： x2y21 4（2）当斜率不存在时，设l : xm，A m，yA，B m ， y AkP2 AkP2 ByA1yA121mmm得 m2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设lykxb b1A x1 ，y1 ，B x2 ，y2联立ykxb，整理得 14k2 x28kbx4b240x24 y240x1 x28kb2 , x1x24b2414k14k2则 kP2 AkP2 By1 1 y21x2 kx1b

10、x2x1 kx2bx1x1x2x1 x28kb28k28kb8kb8k b114k21，又 b 1b2k1 ，此时64k ，存在 k44 b1b14b214k2使得0 成立直线 l的方程为 ykx2k1当 x2 时， y1所以 l过定点2，1【全国 II 卷（理）】 20.（ 12分）设 O为坐标原点，动点M在椭圆 C： x2y21上，过 M2做 x 轴的垂线，垂足为N，点 P满足 NP2NM .(1) 求点 P的轨迹方程；(2) 设点 Q在直线 x=-3 上，且 OP PQ 1 . 证明：过点 P且垂直于 OQ的直线 l 过 C的左焦文档实用标准文案点 F.解：设P(x ，y) ，易知 N

11、(x ，0)NP (0 ，y) 又 NM1 NP0 ， y22 M x， 1 y ，又 M 在椭圆上2 x2y21 ，即 x2y22 22设点 Q( 3， yQ ) ， P( xP ，yP ) ， ( yQ0) ，由已知： OPPQ(xP ，yP ) (3 yP ，yQyP ) 1 ，2OPOQOPOP OQOP1，OP OQ21 3 ，OP xP xQyP yQ3xPyP yQ3 设直线 OQ ： yyQx ，3因为直线 l 与 lOQ 垂直 kl3yQ故直线 l 方程为 y3 ( xxP )yP ，yQ令 y0 ，得yP yQ3( x xP ) ，1yyxx，3PQP x1yPyQxP ，

12、3 yP yQ33xP ， x1(33xP )xP1 ，3若 yQ0 ，则 3xP3 ， xP1， yP1 ，直线 OQ 方程为 y0 ，直线 l 方程为 x1 ，直线 l 过点 ( 1 ，0) ，为椭圆 C 的左焦点文档实用标准文案【全国 III卷（理）】 20. （ 12 分）已知抛物线：y2=2 ，过点（ 2,0 ）的直线l交与 ,CxC A B两点，圆 M是以线段 AB为直径的圆 .（ 1）证明：坐标原点 O在圆 M上；（ 2）设圆 M过点 P（ 4， -2 ），求直线 l 与圆 M的方程 .解:(1)显然，当直线斜率为0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设 l : x my2 ，

13、 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，联立：y 22 x得 y22my40 ，xmy24m216 恒大于 0 ， y1y22m ， y1 y24 uuruuurOA OBx1 x2y1 y2(my12)( my22)(m21)y1 y22m( y1y2 ) 4uuruuur4(m21)2m(2m)40，即O在圆M上 OAOBuuuruur0(2) 若圆 M过点 P，则 APBP(x14)( x24) ( y12)( y22) 0(my12)( my2 2)( y12)( y22)0(m21)y1 y2(2m2)(y1y2 )80化简得 2m2m10 解得 m1或 121当

14、my40 圆心为 Q(x0 , y0) ，时， l : 2x2y0y1y21 ， x01 y029 ，22249212半径 r|OQ |42则圆 M : ( x9 )2( y1 )2854216当 m1时， l : xy20 圆心为 Q(x0 , y0) ，y0y1y21 ， x0y02 3 ，2半径 r|OQ |3212则圆 M : ( x3)2( y 1)210【北京卷】（ 18）（ 14分）已知抛物线C： y2=2px 过点 P(1,1).过点 (0,1 ) 作直线 l 与抛物线2C交于不同的两点,，过点作x轴的垂线分别与直线、交于点, ，其中O为原点 .M NMOP ONA B（）求抛

15、物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： A 为线段 BM的中点 .（18）解：（）把P（ 1,1 ）代入 y2=2Px得 P= 1 C: y2=x，2文档实用标准文案焦点坐标（114， 0），准线： x=- .41， A（ x1， y1）， B( x2， y2) ， OP：y=x， ON：y= y2 x ，（）设 l ： y=kx+2x2由题知 (1，x1)， (1， x1 y2 )A xB xx2y kx1k2x2+（ k-1 ） x+ 1 =0， x1+x2= 1k ， x1· x2 =12.y2x4k 24k 2x1kx11x1 y212x1x2y1kx12kx1,

16、x22x22 x2由x1+ 2=1k ，1x2= 1，xk 2x4k21k上式2kx1k 22kx11k 2x12x1 A 为线段 BM中点 .2x14k2 x1【江苏卷】 17.（ 14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 E :x2+y21( a b0)a2b2的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为18. 点 P 在椭圆 E 上，且位，两准线之间的距离为2于第一象限，过点F1 作直线 PF1 的垂线 l 1, 过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l 2.（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l 1， l 2 的交点 Q在椭圆 E 上，求点 P 的坐标 .文档实用标准文案17.

17、 解 :（ 1）椭圆 E 的离心率为 1， c1 . 两准线之间的距离为8，2a28 .2a2c联立得 a2, c 1， b3 ，故椭圆 E 的标准方程为 x2y21 .43yx01( x1)xx0y0（2）设 P( x0 , y0 ) ，则 x0 0, y00 ，由题意得，整理得1 x02 ，x01yy1)y0( xy0点 P(x0 , y0 ) 在椭圆 E 上， x02y021 ， y02(1x02 )2， x0216 , y029，故点4333y0277P的坐标是 (4 7,3 7).77【江苏卷】 B. 选修 4-2 ：矩阵与变换 （本小题满分10 分）已知矩阵 A= ，B=.(1)

18、求 AB;(2) 若曲线 Cx2y2C求 C的方程 .=1 在矩阵 AB对应的变换作用下得到另一曲线，1;228 2B. 解 : （ 1）AB=.（2）设 P( x1 , y1 ) 是曲线 C1 上任意一点，变换后对应的点为x02x1，y10y文档实用标准文案x2 y1 ，即x1y22所以，因为P( x , y ) 在曲线 C上，所以 xy82yx1y11 x即曲线 C 的方1112程.【山东卷】（ 21）（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E ： x2y21 a b 0 的离心率为2 ，焦距为 2.a2b22（）求椭圆E 的方程；（）如图，动直线l ： y k1x3交椭圆

19、 E 于 A, B 两点， C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的2斜率为 k2 ，且 k1k22， M 是线段 OC 延长线上一点， 且 MC : AB 2:3 ， M 的半径为4MC ， OS,OT 是M 的两条切线，切点分别为S, T . 求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率 .（21）解：（ I ）由题意知c22 ，e， 2ca2所以a2, b1，文档实用标准文案2因此 椭圆 E 的方程为xy21 .2（）设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，x2y21,联立方程23yk1x,2得 4k122 x24 3k1 x 1 0 ，由题意知0 ，23k1, x1

20、x21，且 x1 x22122k122k1122所以 AB1 k12 x1 x221 k12 1 8k1 .2k11由题意知 k1k22，42所以 k24k1由此直线 OC 的方程为2yx .4k1x2y21,联立方程22 x,y4k128k1221得 x1 4 k12 , y1 4k12，因此 OCx2y218k12.14k12文档实用标准文案由题意可知SOTr1，sinr OCOC21r18k122OC14k1而2 2 1 k12 1 8k1 2r3212k132122k1，41 4k1221k1令 t1 2k12，则 t10,1，1,t因此OC3t31311 ，r22t2t 1 21 1

21、221 192t t 2t24当且仅当 11 ，即 t2 时等号成立，此时k12，2t2所以 sinSOT1 ，22因此SOT，26所以SOT 最大值为.3综上所述：SOT 的最大值为，取得最大值时直线l 的斜率为 k12.23【天津卷】（ 19）（本小题满分14 分）设椭圆 x2y21(ab 0) 的左焦点为 F，右顶点为 A ，离心率为1. 已知 A 是抛物线a2b22y22 px( p0) 的焦点， F 到抛物线的准线l 的距离为1.2文档实用标准文案（I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设 l 上两点 P ， Q 关于 x轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （ B 异于点 A ），直线BQ 与 x 轴相交于点 D . 若 APD 的面积为6 ，求直线 AP 的方程 .2（19）（）解：设F 的坐标为 (c,0) . 依题意， c1 ， pa ， a c1 ，a222解得 a1， c1， p2 ，23于是 b2a2c