7-4多元复合求导6308162820100319223211

1、第四节/无复合蕩數的戏导族餌一元复合函数 y = /()，u =(px)求导法则 3 =型.屯dx du dx微分法则 dy = f'(u) du= f(u)(pr(x)dx 本节内容：一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分、链式法则 定理:Z是通过中间变量所生刪关于X,的复合函数， 已知Z对中间变量可微分,中间变量舷可偏导，贝!Jz；等于z对所有中间变量的链导t和。证明：见板书例：=u2 +uv +v2u = 2xv =sinx2dwdx解1： w =4x2 +2xsinr2 +(sinr2)2,= 8x + 2sinx2 +4x2cosx2 +2xsin2x2 dx

2、解2:dw .=w：dx=(2u + v)-2 + (w + 2v) - (2x cos x2) = (2-2x + sinx2) 2 + (2x + 2sinx2)-(2x cos x2)= 8x + 2sinx2 +4x2cosx2 +2xsin2x2例1:设z = g"siny, 卜 dzdz求亍和dx dy初 dzdz dudz dv解：+dx du dxdv dx= e11 smv y + e11 cosv -1 =M(jsinv +cosv)3zdz 加dz= + dy du dydv dy= eMsinv-x + ewcosv-l =w(xsinv+cosv).特殊地

3、z = f(u,x,y)其中 u = 0Cr,y) 即2 = /0(兀),兀,刃，dzdf dudzdf du |dfdxdu dxdxdu Oy把 z = f(u,x,y) 中的u及丿看作不 变而对兀的偏导数区别类似把复合函数Z = /(X,j),x,j 中的y看作不变而对v的偏导数2： z = uv sint, 而眈=R, y=cos(,求全导数dt解:dzdz du dz dv dz= 11dtdu dt 8v dtdt= vef 一眈sinf+ cos(=el cost 一 d sin/ + cost=el (cost sinf) + cost.例 3：设W = f(x + y+z，w

4、), /具有二阶 ,、dw 宀 d2w 连续偏导数,求无和般解：令 w = x + j + z, v = xyz;du同理有f；, f：v Az-V £,_"()厂,=西如2, 记几=厂"，712 dudv型=虻.理+坐岂=人+皿;dx du dx dv dxd2w _dxdz帥+皿）ozozSfl dudf2 dv=fll + #22； du dzdv dz于是d2wdxdz=/ii + xyf；2 + yfl+ yfii + xyf)=fn+y(x+z)冗 + xyV22 + xf；例4：解:(2)d2u d2udx2 + dy2 *由 x =rcos j =

5、rsin设u = f(x,y)的所有二阶偏导数连续， 把下列表达式转换为极坐标系中的形式:函数w = / (x)换成极坐标丫及e的函数:U = f(x,y) =/(rcosrsiii0) = F(r,0)反之u = f(x,y)也可看成由u = F(r,0)及2、匚巧""说吋复合而成.r = A/x2 +j2, 0 = arctan du du dr du dO X (1) =Hdx dr dx dd dx_ du x du ydr r dO r2duSydu dr du dO F dr dy dO dy（自己完成）dudu j du sm =COS0dr90 rdu v

6、du x =1ydr r dO r2du .du cos0=sm& +drdO r(du一 +10二、全微分形式不变性设函数z = f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分az =du 7 dv；du dvdzQz当眈=0(兀)、v = i/(x,y)时，dz = -dx + -dy.oxoy(8z du dz 5v V+dx +dx dv dx Jdzdudzdv1+ay l 加dydvdy)du , Ou .、dzfdvdx Hdy hdx hdy八dy )dx dy ) dz .u + 亍ovdvdx全微分形式不变性的实质无论Z是自变量“、"的函数或中间变量M、V 的函数

7、，它的全微分形式是一样的.可以利用一阶全微分形式不变性和下列微分运算法则求全微分或偏导数d(u±v) = du±dvd(uv) = vdu + udvd(Cu)-Cdu一耽、vdu - udv例5：= wv+sin, Ww = eS v =cost9dz求全导数丝.(利用一阶全微分的形式不变性)dt解：dz =d(wv+siirf) = vdu+udv +d sin/=cos 加'+eld cost + cos tdt=cosc'df + H(+ cos fdf=(仑 cos一，sin+ cos()力=> =仑 (cost 一 sin/) + cost

8、 dt例6：设z=e"sin”，Ww = xy y v = x + y 9求 子和£(利用一阶全微分的形式不变性) dx dy解:dz = d(eMsinv) = sinvde11 +eud sinv= sinv eudu + eu cosvrfv= eXJsin(x + j)drj + cos(x + j)rf(x + j)= exysin(x + y)(ydx + xrfy) + cos(x + j)(rfx+rfy)= eXJjsin(x + j) + cos(x + j)ctr+e xy x sin(x + j) + cos(x + j)rfyexjsin(x +

9、j) + cos(x + j)rfcc +e xy x sin(x + j) + cos(x + y)dyJ = dxsin(x + j) + cos(x + j)= XJxsin(x + j) + cos(x + j) Sy例7：利用一阶全微分的形式不变性求函数 z =卩(与)+ ()的全微分必.解：XX Xdz=d(p(xy)+dy/(-) = 0(卩)(与)+ ©'()(一)小结1、链式法则2、全微分形式不变性注：多元复合函数求导较复杂，要注意(1)搞清复合关系，哪些是自变量，哪些是中间变量(2) 对某个自变量求偏导数时，要经过一切与其有关的 中间变量，最后归结到该变量(3) 求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一切一阶 偏导函数来说其复合关系图仍与原来函数的复合关 系图相同(4) 为了理清复合关系，可在求偏导数前先画出变量 关系图思考题 设z = f(u,v,x),而眈=0(兀)，v = y<(x),Of du df d