椭圆地定义与性质

1、椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1) 第一定义：平面内与两个定点Fi, F2的距离之和等于常数(大于| F1F2I)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(2) 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数 e(0 eb0)22 右+彩=1(ab0)图形rr:rAL竝10fl.I 1沪Ar,性质范围aw xw a b yb0)相交于A, B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆 C的离心率等于 解析设 A(X1, y , B(X2, y2)，则2X12 +a2甞=1,2X21 +a2b= 1,X1 X2X1+ X22 +a=0,y1 yb2X1 + X2

2、 = 一 2 X1 X2av + y2 y1 v 1b21孑=2X1； =-2 X1+X2=2, y1+y2=2,2c2e i 222222、2_ 2C V 2 r 宀, a = 2b .又 b = a c，二 a = 2 (a c)，二 a = 2c-.答案a 2提知能典例探究|心捉闯与考向1椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014 全国大纲卷改编)已知椭圆C：2 2x y亍+含=1( ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 誓，过F2的直线I交C于A B两点若 AFB的周长为4筋，则C的方程为.(2)(2014 苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为x= 4,则该椭圆

3、的方程为 解析(1)由条件知厶AFB的周长=4a= 4 3, a=3. 2 2 e= C 二匕3, c2+ b2= a2,： c= 1, b= 2. 椭圆 C 的方程为 X + y = 1.a 3*322.a22(2) T椭圆的一条准线为 x= 4,：焦点在 x轴上且-=4，又2c = 4,： c= 2,： a = 8, b = 4,2 2 2 2 2 2该椭圆方程为 x8+y=1.答案(1) x+y=1(2)+y=1,【规律方法】(1) 一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.(2) 求椭圆的标准方程有两种方法 定义法：根据椭圆的定义，确定a2, b2的值，结合焦点位置

4、可写出椭圆方程. 待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a, b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2 + By2= 1(A0, B0, AmB _ _ 1 【变式训练1】(1)(2013 广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于,则C的方程是2 2x y(2)(2014 苏州质检)已知椭圆的方程是 二+= 1(a 5)，它的两个焦点分别为F, F2,且厅丘|= 8,a 25弦AQ椭圆上任意两点的线段)过点冃，则厶ABF的周长为 解析(1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在 x轴上；c=

5、 1.c 1222x2 y2又离心率为舌=2 故a= 2, b = a c = 4 1 = 3,故椭圆的方程为 +舌=1.(2) a5,.椭圆的焦点在 x 轴上,T | F1F2| = 8, c = 4, a2= 25 + c2=41,则 a= . 41.由椭圆定义,| AF| + | A冋=| BF + | BF| = 2a,2 2 ABF 的周长为 4a = 4 ,41.答案(1)中+ y = 1(2)441考向2椭圆的几何性质2 2x V【典例2】（1）（2013 江苏高考）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的标准方程为 孑+含=1（ab0）,右焦点为F,右准线为I ,短轴的一个端点为

6、B.设原点到直线 di,则椭圆C的离心率为BF的距离为di, F到I的距离为d2,若d2=飞点P在椭圆上，且满足| PF| = 2| PFJ , / PFF2解析(1)依题意，d2= C c=g 又 BF=WVE= a,所以beb2l beld1 =石.由已知可得c = &石，所以；6c2= ab,即6c4= a2(a2 c2)，整理可得a2= 3c2,所以离心率en（2）在三角形PFF2中，由正弦定理得 sin / PFR= 1，即/ PF=2,设|PB|= 1，则|PF|= 2, |F2F1| =护，离心率e = H3.答案 普 申,2a3【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称

7、为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF| + |PF| = 2a,得到a, c的关系.2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法:c（1）求出ac，代入公式e=a；（2）只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2= a2 c2转化为a, c的齐次式，然后等式（不a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.2 2（1）（2013 课标全国卷n改编）设椭圆C： X2 + y2= 1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1,a b等式）两边分别除以【变式训练2】F

8、2, P是C上的点,P F1F2,/ PF1F2 = 30,贝U C的离心率为（2014 徐州一中抽测）已知R、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FPFa= 60 .则椭圆离心率的范围为解析(1)如图，在 Rt PFH 中，/ PFR= 30, | PF| = 2| PF，且 | PR| 二申厅冋,又| PF| + | PF| = 2a,. | PF =a,于是| F1F2| =穿a，因此离心率e=:二斗弓二申.（2014 扬州质检）已知Fi、F2是椭圆C的左、右焦点, =30,则椭圆的离心率为2y 法一：设椭圆方程为 孑 + b,= i(ab0)，|PF| = m I PF = n，

9、则n = 2a.2222在厶 PFF2 中，由余弦定理可知，4c = m+ r 2mrcos 60 = (m+ r) 3mr22m n=4a 3mri4a 3 222 2c2 ii=4a 3a = a (当且仅当m= r时取等号)云4，即卩e又0e1 , e的取值范围是12，i .法二：如图所示，设O是椭圆的中心,A是椭圆短轴上的一个顶点,由于/ FiPF2= 60,则只需满足60，所以 2 cos / FiF2A1，FiAF 即可,又厶FAF2是等腰三角形，且|A冋=|AF2|，所以0 /FiF2Ab0)，由 e=知a=，故 02=2由于 ABF的周长为 |AB + I BB| + |AFJ

10、 = (| AF| + | AB|) + (| BF| + | BF|) = 4a = i6,故 a= 4. b2= 8.2 2椭圆C的方程为x6+= i.答案2 2x y+ = i16 822x y2. (20i3 四川高考改编)从椭圆二+ 2= i( ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点Fi，A是椭a b圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/ OPO是坐标原点)，则该椭圆的离心率是解析设P( c, y)代入椭圆方程求得cy，从而求得kp,由kF= kAB及e=-可得离心率 e.a2222222x ycy。22 c 2 a 一 c由题意设R c,y)，将P( c,

11、y)代入2+p= i,得2+p= i,则y= bi 2= b ta ba baab4b yo= a或yo=a(舍去)， p c, a, kO=ac.A(a,O),B(0 , b)，二 kAB=皋0 ab又AB/ OPkAB= kop,ab= c.c二 e=-a答案3. （2014 辽宁高考）已知椭圆C:2 2x y9 + 4 = 1,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为a B,线段MN的中点在C上,则I AN + I BN =.2 2x y解析椭圆9 + 4 = 1中，a= 3.如图，设MN的中点为D,则|DF|+ |DF|= 2a= 6.D, F1 , F2分别为 MN AM

12、 BM的中点, | BN| = 2| DF| , | AN = 2| DF| , | AN + | BN = 2(| DF| + | DE|) = 12.答案122 24. (2014 南京调研)如图，已知过椭圆X2+ y2= 1( ab0)的左顶点 A a, 0)作直线l交y轴于点P,交a b椭圆于点Q若厶AOP是等腰三角形，且PQ= 2QA则椭圆的离心率为 .t t解析AOP为等腰三角形， OA= OP 故 A a,0）, P（0 , a）,又 PQ= 2QA2a a4 a2b2 1/b2/1 2j5 Q 壬,3 ,由Q在椭圆上得9 + 9?= 1,解得孑=5， e=1 a2=1 5=.答

13、案2 ,5515. （2014 南京质检）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆C: x2+ y2 2x 15=0的半径，则椭圆的标准方程是 .22 c 1222解析 由 x + y 2x 15= 0,知 r = 4= 2a? a= 2. 又 e = - = 2 , c= 1,贝U b = a c = 3.a 22 2 2 2 因此椭圆的标准方程为 x +卷=1.答案x+卷=12 2x y6. （2013 辽宁高考改编）已知椭圆C: -+ 2= 1（ab0）的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于a bA, B两点，连接 AF, BF若|AB = 10 , | BF = 8 ,

14、 cos / ABF= 5,则椭圆C的离心率为 5解析在厶 ABF中，由余弦定理得, |AF2=|AB2+ |BF2 2|AB | BFcos / ABF12222II AF = 100+ 64 128= 36,.| AFJ = 6，从而 | AB = | AF| + | BF，则 AF丄 BF./ c= | OF =日 AB=5,利用椭圆的对称性，设 F为右焦点，贝U |BF | =|AF = 6, 2a=|BF + | BF | = 14, a= 7.C 55因此椭圆的离心率 e=-.答案-a 772 27.已知F1, F2是椭圆P为椭圆C上的一点，且PF1丄PR.若厶PF1F2X y云+

15、缶=1( a b 0)的两个焦点,的面积为9,贝U b =f f解析由定义，|PF| + | P冋=2a,且 PF丄 PF |PF|2+ | PF| 2= | FF2| 2= 4c2,- (| PF| + |PF|) 2 2| PF| PFJ = 4c2,119999119 2| PF| P冋=4a2 4c2= 4b2,. | PF| PFd = 2b2. M PFF = -| PF| P冋=-X 2b2= 9,因此b= 3. 答案38. (2013 大纲全国卷改编)已知F1( 1,0) , F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过 F2且垂直于x轴的直线交C于A, B两点，且|AB = 3，则C

16、的方程为.2 2x y解析依题意，设椭圆 C： a?+ = 1( ab0).3过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线 C截得弦长I AB = 3,点A 1, 2必在椭圆上，由联立，得b = 3, a = 4.1922孑+ 49?=1.又由C =1得1 + b = a.2222故所求椭圆c的方程为+y = 1.答案+y = 14343二、解答题2X 29. (2014 镇江质检)已知椭圆C: - + y2= 1,椭圆C2以C的长轴为短轴，且与 C有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点，点代B分别在椭圆C和2 2y x解(1)设椭圆C2的方程为2+= 1(a2),a 4f

17、 fG上, OB= 2OA求直线AB的方程.其离心率为-2故亠1巳二；3,解得a = 4.a 22 2故椭圆c的方程为16+x = 1.(xb, yB),(2)法一：A B两点的坐标分别记为(xa, yA),f f由OB= 2OA及(1)知，O A、B三点共线且点 A、B不在y轴上，因此可设直线 AB的方程为y = kx.2将 y= kx 代入冷 + y2= 1 中，得(1 + 4k2)x2= 4,2所以XA=2 2y x将y= kx代入16+ 4= 1中，得(4 + k)x? = 16,所以 xB=162.4+ k又由 0B= 20A 得 xB= 4xA,刚 1616即 4+ k2 = 1

18、+ 4k2，解得k= 1.故直线AB的方程为y = x或y = x. 法二：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA) , (xb, yB),f f由0B= 20A及(1)知，O A B三点共线且点A B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y = kx.2x 2将y= kx代入+ y = 1中,得(1 + 4k2)x2= 4,所以 xA41+ 4k2.f f由 OB= 2OA 得 xB216216k1 + 4k2, yB= 1 + 4k2.将xB,2 2yB代入和+ x = 1 中,4+ k2=1,即 4 + k2 = 1 + 4k2，解得 k= 1.故直线AB的方程为y = x或y = x.

19、10. (2014 安徽高考)设F1, F2分别是椭圆2 2x + ya2+b2=1(ab0)的左、右焦点，过点F的直线交椭圆E于 A, B两点，| AF| = 3| FB(1) 若|AB = 4, ABF的周长为16,求|A冋;3(2) 若cos / ARB=，求椭圆E的离心率.5解(1)由 |AF| = 3| FB| , |AB = 4, 得 |AF| = 3, | F1B = 1.因为 ABF的周长为16,所以由椭圆定义可得 4a = 16, |AF| + | A冋=2a = 8. 故| AFF = 2a | AF| = 8 3 = 5.(2)设| FB| = k,则 k0且| AF|

20、= 3k, | AB = 4k.由椭圆定义可得|A冋=2a 3k, |BF = 2a k.在厶ABF中，由余弦定理可得| AB 2= | AR| 2+ | BR| 2 2| AR| | BR|cos / ARB,即(4k)2= (2a 3k)2+ (2a k)2 6(2a 3k) (2a k),化简可得(a+ k)( a 3k) = 0.而 a+ k0,故 a= 3k.于是有 | AF?| = 3k = | AF | , | BF?| = 5k._ 2 2 2因此 | BR| = |F2A| + | AB，可得 F1A RA, 故厶AFF2为等腰直角三角形.从而c= 2a,所以椭圆E的离心率e

21、= C =2a 2椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1) 第一定义：平面内与两个定点Fi, F2的距离之和等于( 大于IF1F2I)的点的轨迹叫做椭圆，这两个叫做椭圆的焦点，两个 的距离叫做焦距.(2) 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数 _(亠eb0)2 2y x孑+左=1( ab0)图形yrrLfl.I 1r 一f.性质范围 x y x yb0)相交于A, B两点，若 M是 FAB的面积是.5. (2014 江西高考)过点M1,1)作斜率为一2的直线与椭圆线段AB的中点，则椭圆 C的离心率等于 .提知能典例探究I析軸1探求规律考向1椭圆的定义与标准方程2 2x y【典例

22、1】(1)(2014 全国大纲卷改编)已知椭圆C：亍+詁=1(ab0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 誓，过F2的直线I交C于A B两点若 AFB的周长为4羽，则C的方程为.(2)(2014 苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=- 4,则该椭圆的方程为 【规律方法】(1) 一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.(2) 求椭圆的标准方程有两种方法 定义法：根据椭圆的定义，确定a2, b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. 待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况

23、讨论，也可设椭圆的方程为Ax2 + By2= 1(A0，B0, Am D .一 1【变式训练1】(1)(2013 广东高考改编)已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为F(1,0)，离心率等于， 则C的方程是.2 2x y(2)(2014 苏州质检)已知椭圆的方程是 -T= 1(a 5)，它的两个焦点分别为F，F2,且厅冋=8,a 25弦AQ椭圆上任意两点的线段)过点冃，则厶ABF的周长为 .考向2椭圆的几何性质2 2_x y【典例2】(1)(2013 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的标准方程为+ 2= 1(ab0),a b右焦点为F,右准线为I ,短轴的一个端点为 B.设原点到直线

24、BF的距离为d1, F到I的距离为d2,若d2=.6d1,则椭圆C的离心率为.（2014 扬州质检）已知Fi、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF| = 2| PF2| , / PFR=30，则椭圆的离心率为 .【规律方法】1. 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF| +1 PR| = 2a,得到a, c的关系.2. 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法:c（1）求出a, c,代入公式e=-；a（2）只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，

25、结合b2= a2-c2转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.2 2【变式训练2】（1）（2013 课标全国卷n改编）设椭圆C： X2 + y2= 1（ab 0）的左、右焦点分别为 Fi,a bF2, P是C上的点，P F1F2,Z PFF2 = 30，贝U C的离心率为 .（2）（2014 徐州一中抽测）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FPFa= 60 .则椭圆离心 率的范围为.课堂达标练习一、填空题1. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 F1, F2在x轴上，离心率为 半.过F的直线l交C于A, B两点，且 ABF的周长为16,那么椭圆C的方程为 2 22. （2013 四川高考改编）从椭圆笃+1（ ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1, A是椭a b圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交