概率统计-习题及答案

1、63习题二2.1 从装有 4 个黑球，8 个白球和 2 个黄球的箱子中，随机地取出 2 个球，假定每取出 1 个 黑球得 2 分，而每取出 1 个白球失 1 分，每取出 1 个黄球既不得分也不失分。以X表示我 们得到的分数，求X的概率分布。2.2口袋中有 5 个球，分别标有号码 1, 2， (1 )设X是取出球中号码的最大值，求3，4，5,现从这口袋中任取 3 个球。X的概率分布，并求出X 4的概率;(2)设丫是取出球中号码的最小值，求Y的概率分布，并求出Y .3的概率。2.310 个灯泡中有 2 个坏的，从中任取 3 个，设X是取出 3 个灯泡中好灯泡的个数。(4)写出X的概率分布和分布函数

2、。(5)求所取的 3 个灯泡中至少有 2 个好灯泡的概率。某种电子产品中，合格品占3 4，不合格品占1 4，现在对这批产品随机抽取，逐个测 试，设第X次才首次测到合格品，求X的概率分布。已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有 99%勺把握获得一个就业机会？已知 1000 个产品中有 100 个废品。从中任意抽取 3 个，设X为取到的废品数。(1 )求X的概率分布，并计算X=1 的概率。(2)由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取 3 次”每次取到废品的概率都是 0.1,因此取到的废品数服从二项分布。试

3、按照这一假设，重新求X的概率分布，并计算X=1 的概率。一个保险公司推销员把保险单卖给5 个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。根据保险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活30 年的概率是 2/3。求：5 个人都能活 30 年的概率；至少 3 个人都能活 30 年的概率；仅 2 个人都能活 30 年的概率；至少 1 个人都能活 30 年的概率。一张答卷上有 5 道选择题，每道题列出了 3 个可能的答案，其中有一个答案是正确的。 某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？52.9 设随机变量X、丫都服从二项分布，Xb(2, p)，Yb(3, p)。已知PX一1=，649试求PY -1的值。

4、2.10 设在某条公路上每天发生事故的次数服从参数=3的普阿松分布。65（1 ）试求某天出现了 3 次或更多次事故的概率。（2）假定这天至少出了一次事故，在此条件下重做（1）题。2.11 某商店出售某种商品，据以往经验，月销售量服从普阿松分布 要库存多少此种商品，才能以 99%的概率充分满足顾客的需要。2.12 考虑函数f（x）2x-x3）I 0能否作为随机变量的概率密度？如果能，试求出常数2.13 已知随机变量X的概率密度为求：（1）系数A；（2）概率PX乞0.5；（3）随机变量X的分布函数。2.14 已知随机变量X的概率密度为f（x）=Ae劭，（旳vxv+n）。求：（1）系数A；（ 2）随

5、机变量X落在区间（0, 1）内的概率；（3）随机变量X的分布函数。12.15 函数F（x）2是否是连续型随机变量X的分布函数，如果X的可能值充满区间1+x（1）；（2）（匚-,0）。2.16设连续型变量X的分布函数为：0 x ： 0F（x）=Ax20Exc11x求：（1）系数A；（ 2）X的概率密度：（2）；（ 3）P -0.： X : 0.7。P（3）。问在月初进货时0 ： x 2/5其他C 的值。Ax fg 0：x 1其他662. 17 （柯西分布）设连续型随机变量X的分布函数为F （x）二A B arctan x， （- ： ： ： x ：），求：（1）系数A、B；（ 2）（-1,1）的

6、概率；（3）X的概率密度。2.18 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过。乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。2.佃 假定一个新的灯泡的寿命X(单位：小时)服从以，=1/100为参数的指数分布。求:灯泡的寿命在 50 到 200 之间的概率；设F(x)是的分布函数，已知F(Xp)二p，0：:p：:1，求Xp。2.20 修理某机器所需时间(单位：小时)服从以 =1/2为参数的指数分布。试问：修理时间超过 2 小时的概率是多少？若已持续修理了 9 小时，总共需要至少 10 小时才能修好的条件概率是什么？2. 21 设随机变量XN(1,22)，求：(1)PX

7、 2.2;(2)P1.6MX 5.8; 3)P| X |兰3.5; (4)P X R 4.56。2. 22 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布N(72,匚2),且 96 分以上占学生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 至 84 分之间的概率。2. 23 在电源电压不超过 200V，在 200240V 之间和超过 240V 的三种情况下，某种电子元 件损坏的概率分别为0.1, 0.001 和 0.2。假设电源电压XN(220, 252)，试求：该电子元件损坏的概率；该电子元件损坏时，电源电压在 200240V 之间的概率。22. 24 假设测量的随机误差XN

8、(0, 10 )，试求在 100 次独立重复测量中，至少有 2 次测 量误差的绝对值大于 19.6 的概率。2. 25 已知离散型随机变量X的概率分布为-2-101367PXi3a13aa11630求：(1)常数a；(2)Y=X2的概率分布。2. 26 设随机变量X服从0,1上的均匀分布U (0,1),Y。求随机变量 Y 的概率密度。2. 27 如果随机变量XE(1),Y = In X。试求随机变量的概率密度。682. 28 分子运动速度的绝对值X是服从麦克斯威尔分布的随机变量，其概率密度为:12求分子动能Y mX（m为质量）的概率密度。2习题二2.1 因为P取到 1 白球 1 黑球 =P =

9、1 = CC4二32C1491所以， 的概率分布为匕2-10124P取到 2 白球 =P= -2CfC42891P取到 1 白球 1 黄球 = P：=-1二c8c；Cl241691P取到 2 黄球 = P = 091P取到 1 黄球 1 黑球 = P =2c2c4cl旦91P取到 2 黑球 = P=49120 x 069PE=Xi28/9116/911/9132 918 916912.2610(1 )从 5 个球中取 3 个球，最大号码为k，相当于先取 1 个号码为k的球，再从号码小于k由此求得 的概率分布为匕345PE = Xi0.10.30.6P _4 =P：=3 P：=4 =0.1 0.

10、3 =0.4；(2)从 5 个球中取 3 个球，最小号码为k，相当于先取 1 个号码为k的球，再从号码大于k由此求得 的概率分布为n123Pyj0.60.30.1P 3 -0。2.3( 1)可能的取值为 1，2，3。从 8 个好灯泡和 2 个坏灯泡中任取 3 个，恰好取到k个好灯泡和3 - k个坏灯泡的概率 为由此求得 的概率分布为123P=Xi1/157/157/15的分布函数为0 x v 1疋PE =1 =1/151兰xc 2F(x) = P x：P =1 P二2 =8/152乞x：3P =1 P =2 P =3二1 x_3(2)P3 个灯泡中至少有 2 个好灯泡=P_2) =P=2 *

11、P=3 =14/15的k -1个球中取 2 个球，所以P =k=C1CNC53CL(k =3, 4, 5)的5-k个球中取 2 个球，所以P二k二C1C25_k10(k =1,2,3)C8kC310(k =1, 2, 3)。6112.4显然这是一个独立试验序列。测到合格品为止所需要的测试次数服从的几何46123分布，即 g(),的概率分布为4P =k =0一p)kp寸(k =1,2,)。2.5 设n是为了要有90%的把握成功，预计所需的求职次数的上限，是到成功为止，实际所需的求职次数，显然g(0.4)。根据题意，要有0P _n =1 P _n 1 =1一、0.6kJ0.4 =1 0.6(n 1

12、)=1 - 0.6n_ 0.9,即要有0.6n兰0.1,n启log0.60.1-4.5076，取整可得n =5,即预计最多求职5 次，就能有90%的把握获得一个就业机会。CkC3k2.6(1)用超几何分布计算，的概率分布为P = k1003900(k =0,1,2,3),C1000(2)至少 3 人能活 30 年的概率P忙1348555389-0.24346。(2)用二项分布近似计算,的概率分布为PF： =k0.1k0.93A(k = 0,1,2,3),PE =1 =c30.T X0.92= 0.24300。2.7 设是 5 个人中未来能活 30 年的人数，显然有(1) 5 人都能活 30 年

13、的概率b(5, |)。3P -5 -(|)532243(3)仅 2 人能活 30 年的概率P =2(2)2Q)33340243(4)至少 1 人能活 30 年的概率C31000=Cf(|)3(3)2613P _ 3二P = 3 P = 4 P = 5192243Pf-1=Pr=0-(3)5= 2432432426141设是 5 道题中能答对的题数，显然有b(5,)。3P3 4 =P 4 +P5 =C：“1）4汉| +（1）5112.10 设是每天发生事故数，P(3)。(1)发生 3 次或更多次事故的概率为223k17P _3=1-、P =k=1e3=1e-0.57681；k=0kk!2(2 )

14、在已知至少发生 1 次事故的条件下，发生 3 次或更多次事故的概率为2.11 设月初要进货a件，是月销售量，P(3)。要满足顾客需要，必须有 a, 根据题意，要有aa nkP乞a二 P = k二 乞e一0.99。k =0k=0k !直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得：73k83k e-0.988 ：0.99, e-0.996 0.99。k=0k!k =0k!由此可见，月初至少要进货8件，才能以99%以上的概率满足顾客的需要。2.12 它不能作为随机变量的概率密度。例如，当X= 1时，：(1) = C(2 1-13)=C，当2542.9 由P _ 1 =1一P = 0 =1一（1

15、一p）可解得1IV+2 - 3+-11 -p o,舍去负值，得到1 - p二一，即有p二。3313所以P _! =1 _P =0 =1 _（1 _ p）382719272.8243 P X1卫e21 -e-0.60703。615x =2时，(2) =C(2 2 -23)=-4C，不管C 0或C0,：(1)和：(2)中总有一个是负值，这就与(x) -0发生矛盾，如果C=0，则与：(x)dx=1矛盾，所以，它不能716作为随机变量的概率密度。xOdt =02=x1xOdt o 2tdt彳0dt = 1函数性质F(v) =1发生矛盾，所以它不可以成为某个随机变量的分布函数连续，且有F(：)=0,F：

16、)=1，可以成为某个连续随机变量的分布函数。2.13(1)因为 1 =1(x)dx = i AxdxAx2所以A=2 ；(2)P 0.5二0.5_:(x)dx0.502xdx0.5= 0.25(3)0Odt 2.14(1)因为1(x) dx Ae J、dx=20Aedx =2A，所以(2)1 11 1P0 c1= 0(x)dx = -edx =-0.31606；(3)x当x ： 0时，F(x)(x)dxx1】exdx当x一0时，F(x)=x._J(x)dx二】exdx二：2-x-e=1-丄e；2即有F(x)二xe2彳1丄1 e2:0-02.15( 1)如果F(X)汗则有F C：)二lim1 x

17、2=0，与分布(2)如果F(x)二定义在(：，0)上，可以设F(x)二1 + x21x ： 0 x 0，它单调非降,717216(1)因为连续，在 ，有F(1-0)=F(1)，而F OTim ADA,F(1)=1，所以必有A =1;710 =0 x: 0 d2(2) (x) F(x)二(x ) =2x 0(x)=0乞x ：1lim (A Barctanx)=x_.31A1 = F ( ： ：) = lim (A B arctanx) = A B, 址2nAB =0即有/2，解此方程，求得HA J2B =1n(2)P一1 ： ：1二F(1) F(1)r1 arctan(l)1arctan(-1)

18、-嘗 卜20.5；(3)(X)罟F(X)=(1.氓门dx21二(1 x2)2.18设表示乘客的候车时间，根据题意可知U (0,5),的概率密度为:(x)其它乘客候车时间不超过 3 分钟的概率为:Pf 0F (x)=P50辽 乞200 = F (200) - F (50)200 10050/100、二/2-2724 56 1_4 56_1一讥4；)讥； I)=1_十(1.78)讥_2.78)一：(1.78) 1：(2.78) =10.96251 0.9973 = 0.0402。2. 22设.是学生外语成绩，N (722)，已知*96 7224P 96=1-门()=1-：()=0.023,CJ02

19、42424即有 门(竺)=0.977，查表得1.9954,12，于是有*1.9954P60乞 乞84=十(84_72)_(60_72)；.：(84-72)一 ：(60-72)(2)Xp100t tD由p =F(Xp) =0e dt二-expXp10=1 - e2. 20设是修理时间,1E(),的分布函数为F(x)二x1 -e20 x 0。x 91-(1 e2)1 -(1 _e2)10 109=9e21e2-0.606531。2. 21因为N(1, 22)，参数=1，二=2，所以有:(1)(2)2 2 1P : 2.2= ：()=：(0.6) =0.7257；581_16 1= ：(2.4)1一

20、 ：(1.3)=0.991 81 0.9032 0.8950；(3)P訂兰3.5 = P3.5兰E兰3.5=C31) _(_3： j)= (1.25) 门(一2.25) = (1.25)1一：(2.25)=0.8 9 4 41 0.9 8 78 0.8822；P | =4.50=1 - P E:4.56 =1一P 4.56： ：4.56-1=173cr1212=：(1)一：(一1)=门(1)一1亠处(1)=0.8413 1 0.8413 = 0.6826。742. 23 设A=电子元件损坏,B1=乞200,B2工200：乞240,B3工. 240。因为 N(220, 252)，所以B20022

21、0P(BJ = P乞20C=：()=1- ：(0.8) =1 - 0.788仁0.2119,25疋240 220200 220P(B2)=P200 ：乞24C=心()-门()：(0.8)-门(-0.8)2525二(0.8) 1(0.8) =0.7 8 8 110.7 88 10.5762,240 _ 220P(B3)= P 240=1-：门()=1-：(0.8) =1 -0.7881 = 0.2119,25P(ABJ=0.1,P(AB2)= 0.001,P(A|B3)=0.2。(1)由全概率公式得3P(A)P(BJP( ABJ =0.2119x0.1 +0.5762x0.001 + 0.2119x0.2-0.0641；