复旦数学分析期末试题

1、(装订线内不要答题复旦大学技术科学类2016-2017学年第一学期数学分析B微分学阶段性考试试卷专业 学号 姓名 成绩题号1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 2-4 3-1-1 3-1-2得分题号3-2 3-3 3-4 3-5-13-5-23-6 3-7 3-8得分题号4-1 4-2 5-1 5-2 总分 得分一、严格表述题(每题3分,共3题 ,共9分注:需给出具体内容,但无需证明1.叙述:函数连续性的Cauchy收敛原理/振幅刻画与区间上一致连续性的定义。2.叙述:可由极限保号性决定的分析结论:Fermat引理、判定极值类别的充分与必要性结论3.叙述:闭区间上连续函数的基本性质,

2、分内部无可导性与内部有可导性二部分。二、判断简答题(判断下列命题是否正确,如果正确的,请回答“是”,并给予证明;如果错误的,请回答“否”,并举反例。(每题3分,共4题,共12分1. 存在极限(0sin sin lim 1sin x x x =;如果(10,sin sin 1,1,1/sin n n x n f x x x xn =-,则仍有(0lim 1x f x =。 注:二个部分都要判定并说明。2. 函数2cos x x 在(0,1上一致连续,在1,+也上一致连续。 注:二个部分都要判定并说明。(装订线内不要答题3. 定义于区间a,b上的单调函数(f x,在任意点一定存在单侧极限(f x&

3、#177;±。4. 设(0f x C B x,且在去心邻域(0B x上可导。若有(limx xdfx Adx= ,则有(f x在x点可导,且导数为A。三 计算题及证明题(每题7分,共8题,共56分1. 设(11,011,02x x x e f x x -=,研究:(f x 在0点的连续性;(f x 在0点的可导性。2. 计算:(1111lim x a x x x a x +-注:式中a 的取值范围可结合分析判定(装订线内不要答题3. 计算:11111lim1nnnn n+-+ +4. 推导:反双曲正旋函数(sinh lnar x x=+在零点的高阶多项式逼近。注:获得一般阶数的表达式

4、5. Darboux 定理(导数的介值性定理:设(f x 在,a b 上可导, 证明:如有(''0f a f b +-<,(*,x a b ,满足*(0df x dx= 证明:对任意('',f a f b +-,此处不失一般性设(''f a f b +-<,则有(,x a b ,满足(df x dx=。6. 设(f x 在(000,B x x x =-+上具有n 阶导数,且有0(0k kd f x dx =,1,1k n =- ,而0(0n n d f x dx。考虑有限增量公式:(0001!p p p d f f x h f x x

5、 h h h p dx +=+,式中1p n <。证明:(10lim 1n n p p h h -=。(装订线内不要答题7. 利用导数研究(1(1x xf x a=+,x+ 的单调性,式中0a>。8. 基于凹凸性,证明:不等式(121211212n nxx xn x x xnx x xx x xn+,12,nx x x+需说明等号成立的条件。四(10分Bernoulli-LHospital 法则与Stolez 定理的内在相似性 证明:设(f x ,g(x 在(0B x 上可导,0x ,设有(00lim li 00m x x x x f x g x = ,且(0'lim 'x x f x l g x = ,则有:(0lim x x f x l g x = 。 证明:设n x 为无穷小量且单调趋于零,n y 为无穷小量,如有11lim n n n nn y y l x x +-=- ,则有:lim n n ny l x =(装订线内不要答题五(12分定性研究