材料力学作业参考解答

1、2-1试绘出下列各杆的轴力图。2F2F2-2 (b)答：Fn IHlfT2-3答：以B点为研究对象，由平面汇交力系的平衡条件FnrrnrrnnTSUftllFab =97.14kNFbc = 12.12kN2-2求下列结构中指定杆内的应力。已知Fab2=A2=1150mm ;(a)图中杆的横截面F BC解：(1)分析整体，作示力图Z MB(Fi) =0:(2)取部分分析，示力图见(b)Z Mc(Fi)=0 :毋 一 1111 LN.'iiiW暑 Fcx(3)分析铰E,示力图见(C)送 Fix =0 :Fn2 Fn1 sin P =02-3求下列各杆内的最大正应力。(3)图(C)为变截面

2、拉杆，上段AB的横截面积为Fa240mmFeyF下段BC的横截面积为杆材料的P =78kN/m3。解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处AB段最大轴力在A处杆件最大正应力为400MPa,发生在B截面。2-4 一直径为15mm,标距为200mm的合金钢杆,(b)号Fn22f 30mm，F N212.0B12.0比例极限内进行拉伸试验，当轴向N)_3荷载从零缓慢地增加 58.4kN时，杆伸长了 0.9mm，直径缩小了 "0.O22mm，确定材料的弹性模量E、泊松比V解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为线应变：® =听=0.9心“厂忖10弹性模量：E 似=330.48

3、MP%i 10*73.4：103 MPa侧向线应变：，= o.0%".®10泊松比：卩= 0.326截面尺寸为200X200mm2。当柱顶受2-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100X100mm2;下段为铝制，长300mm,F力作用时，柱子总长度减少了 0.4mm，试求F值。已知 E 钢=200GPa，E 铝=70GPa。解：柱中的轴力都为 F，总的变形2-7图示等直杆AC，材料的容重为P g，弹性模量为E,横截面积为A。求直杆B截面的位移.4解：AB段内轴力Fni = -F - PgAxBC段内轴力F N2 = 2 F PgAxB点位移为杆BC的伸长量:2

4、-8 图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积Ai=500mm2,弹性模量Ei=200GPa；CG为铜杆，面积 A2=1500mm2，弹性模量 E2=100GPa； BE为木杆，面积 A3=3000mm2,弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移解:（1）求、杆轴力由平衡方程可以求出：J WWWW X X 川 br、s （2）求杆的变形1-40咒103 咒 1= 1 = 200总500：10"10'm （压缩）rrr二迟二一=1m （拉伸）E2A2100勺09勺500天10320X103 X1=钛=冷总話十.67占m （压缩）2 1（3）

5、由几何关系：%=企-创l3=6.810"4m （下降）3 32-9答：任一截面上轴力为 F ，由花得面积为伸长量为2-11图示一挡水墙示意图，其中 AB杆支承着挡水墙,AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力m =iiMpa部分，试K寸均已示于图中。若j x< Ab杆所需的直径。解：(1)求水压力的合力:(2)作示力图(a)由平衡方程求轴力(3)由强度条件，设计截面尺寸:2-10答：对水塔Z：Ma=0,1001 +400 1 +F 3 咒 2=0ZFix=0,100 +F2 咒 J2/2 =0送 Fjy =0, Fj +F2% 72/2+F3 +400 = 02FN1 /a &l

6、t;% , A >500mmFn2 /A2 <bc , A2 釘414mm22FN3/A3 <bc, A3 > 2500mm2-12图示结构中的 CD杆为刚性杆,AB=160MPa,弹性模量 E=2.0X 105MPa。解：(1)求AB杆的轴力FnS Mc(Fi) =0 :(2)由强度条件求F】2-14图示AB为刚性杆，长为3a。壁上，在C、B两处分别用同材料、2m3mN疔kN1»卜 II杆为钢杆，直径试求结构的容许荷载A端铰接于d=30mm，容许应力刃F。墙同面积的、两杆拉住，使AB杆保持水平。在D点作用荷载F后，求两杆内产生的应力。设弹性模量为E,横截面面

7、积为A。解:1 .本题为超静定冋题,见图（a）,设AB杆产生角位移护，则U =aW il2 =3ai半,2 .由Hooke定律:EAFni =AhaEA苗2a3.由平衡方程:Z MA（Fi） =0:4.由Hooke定律:= 0.3636 %巨=2Fn2 =凶2 =1.5EAiWFn% =0.5454%2-15两端固定，长度为l，横截面面积为 A,弹性模量为E的正方形杆，在 B、C截面处各受一 F力作用。求B、C截面间的相对位移。解:1. 本题为超静定冋题解除A截面处约束，代之约束力Fna,见图（a）IIA截面的位移为杆件的总变形量A =Iab + 心IbC +aCD=FnaI/3 十（Fna

8、-F）l/3 十（Fna-2F）I/3EAFnaIFlEAEAtFFnaEA EA2.由约束条件 M=0得:3.见图（b）,求BC段轴力由平衡条件可知:所以B,C截面相对位移为=0ABCFnI/3EA(b)Fna3-1试作下列各杆的扭矩图。2500N-ni/m90 啰】f f3-2/ 端受外力偶矩E=2kNm面上1,2, 3点处的切应力和最大切应变，并在此三珥 解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径、 x丄 应力增大了百分之几？：的心丿砧! Mx 16m解：头心轴Tmax 空(心轴isx! WpixId36('最大切应力增大了Wz

9、4 kNin'52 kN*in扭转。试求1 kN'111的作用而发为空心轴，问最III出切应力的方II横截GPa)。良大切/16Mx 16Mx幼00% = Hd瓦些迪0% =観厂100% = 6.67%16Mx兀d31003-4 一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示(空心处有两段，内 径10mm，外径30mm)试求：(1)轴的最大切应力。 两端截面的相对扭转角解：(1)作扭矩图，AB段中最大切应力-6071(G=80G Pa)。Jrtrr N-ni lOflju N-m 40? N'Tti1 切 I inn inn i *)nn i150T max=

10、 35.56MPa3、一 c-6兀 3_x31016CD段中最大切应力所以轴中，Tmax =35.56MPa(2)相对扭转角分四段计算3-2 一变截面实心圆轴，受图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力 解：作扭矩图，可见最大切应力发生在AB段3-5 一圆轴AC如图所示。IAB段为实 径为35mm。要使杆的总扭转角为。冉。，试确定BC 解：(1)作扭矩I图丨(2)杆件A、C截面相对扭转角分两段计算AC = 申 BC + 川 BA_Mxa+Mx(0.9-a)GIP (1 -Ct4 )GI P3-8传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P2=200kW，P3=300kW。已知T =70MPa，

11、0 :(1) 确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。(2) 若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径 d。解：(1)由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图30030 J!40 JIo60 JB、，直径为50mm:段300畀；BC段为空心，外径为50mm,内 的长度a。设I G=80GPa。lOONui /C=1A°帀，G=&)a。Mx100N mPi=500kW，从动轮2、3分别输出功率re'9WTiT2T3500-9.55=9.55kN m500200= 9.55=3.82kN m500c LL 300= 9.55500= 5.73kN m由强度条件:max由刚度条

12、件:&max=M xmax < jWP =匹2竺< 日GI PC)0.47751,91M xmax < k M xmax 1.91kNm,-Wp为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm； BC段的直径d取80mm。(2)若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。3-7图示传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输入的功率是80kW，由1、2、4、5轮分别输出的功率为 25、15、30和10KW。设T =20Mpa(1)试按强度条件选定轴的直径。若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。解：1.由输入和输出功率计算等效力偶1.912.作扭转图( 1(2) d

13、；d取79mm，适用于全轴。J6X1.19375X103d；20 X106 兀3J6X0.4775X10g =67mm适用于1, 2轮之间20X106 兀ds = 50mm适用于4, 5轮之间两端受0.2kN的力偶矩作用。设G=80GPa,求此杆3-14 工字形薄壁截面杆，长2m, 的最大切应力及杆单位长度的扭转角。解：T =70MPa。2-16 试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力若强度不够，应改用多大直径的销钉解：FT =2 A 2x9 兀/4X10120 X10_= 84.88 MPa 不满足强度条件3-10(b)F=40kN, d=20mm

14、解：中心c位置Xc =80/3等效后:M =F( 200-80 / 3)咒 10°mi-4- WTt= 693kL80F120由F引起的切应力由M引起的剪切力满足解得FC 39.8kNC铆钉切应力最大2-17:钢板塔接，铆钉直径Qc V50+ 飞 Q C、M50i|e25mm，排列如图所示。已知T =100MPa, cs :=140 MPa,求拉力第二排是三个=280M Pa,板的容许应力门=160 MPa,板的容许应力" F的许可值，如果铆钉排列次序相反，即自上而下，第一排是两个铆钉, 铆钉，则F值如何改变？解：1 铆钉强度,求F 21 Ilk抗剪强度: 挤压强度F ；5

15、cTbs =丄 < tbs = 5咒 2.5咒 1.6咒10"咒 280咒 106 Ab-560kN2.板的抗拉强度条件求f ,A的截面0 OOOOw二;；二1JB截面：综合上述结果，F的许可值取245.4kN （最小值） 3.改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。h B3F/5Fn3-6 答:3-10铆钉为图（a）所示托架，受力F=40kN,铆钉直径d=20mm, 险铆钉上的切应力的大小及方向。解：将F等效移至铆钉群中1.2.Fi由F引起的切应力 （每个铆钉大小相同，方向向下） 先求由M引起的各 铆钉剪力，见图（b） 解 得 ：= 33kN, F2=11kN 上部和底部铆钉中卜

16、-心，得力偶,T2= % =3.最大切应力A-2试求图形水平形心轴解：分三块计算 形心轴位置A-3试计算（b）图形对y,220F2(a)Op0卄 I?= 105.04MPa (水平方向)x210"4-0B切应力最大(b)z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩S。（C）z轴的惯性矩和惯性积。5'U'l?<>解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：'4'4h = 200mm, Iz = 2370cm , Iy = 158cmA21J_故 Iz =lz+2 |咒0.1勺.4310(+0.10.0140.1072 忘112-T丁100 >

17、14Z2.zA3LTLOOT由对称性，lyz=0a-8计算图示(a图形的形心主惯性矩。 解：1.首先求形心位置：2.求惯性矩4-1解:(C)4-2求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。6 kN(b)自右向左分析：1-1截面Fq1 =2F，弯矩MK kN' rn rn -2FI 厂2-2截面Fq2 =2F，弯矩M1兰凯Ziri支座反力FA=ykN (铅直向上)，自左向右分析:1-1 截面 Fq1 = -6kN，弯矩 Mj =-12kN -m ；2-2 截面 FQ2=2/3kN，弯矩 “2=-12kNm写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。53解：支座反力F-ql， Fql，自

18、左向右分析：弐“5剪力方程：Fq(x) =5ql -2qx(0 <x <21)Fq(x) =0(21 CX v3l)I jFaIFb '5ql/25弯矩方程：M(X)=?qlx -qx2(0 <x <2I)Fq由方程作图。注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。4-3禾用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图o3ql/2 解：(a)自左向右分析(这样不需要计算固定端反力M 梁分3段，5个控制面1.251Fq0,M-3FI ； Fq2 =0,M2 =3FlFq3 =FM =3.5FI ； Fq4 =0,M4 =-3.5Fl(b)支座反力 Fa

19、=29/3kN, Fa =13/3kNFq12一25ql / L f ,竹61Y I, I I I n I； I I; II u in ii u ： 卜/7卜FHl 2 im梁分3段，6个控制面Fqi =0, M 1 =4kNm ； Fq2 = -6kN, M 2 = -2kN mfFq3 =11/3kN, M3=-2kN mM max =169/36kNrn位置距离右端13/ 6m厂 J kN / m -2lkN / m1 "書45 i t J 6L J4FlFb3FI iTirnrrnTT -m 4 kN m5-1图(a)所示钢梁(E=2.0X 105 MP a)具有(b)、(c

20、)两种截面形 梁的曲率半径，最大拉、压应力及其所在位置。11/3Fa出两种截面形式下13Fq/kN解：(b)截面Mmax =Wz310T4.81M Pa (上拉下压)1 2 XO.1XO.186ht(c)截面形心位置:28"5"25+18"5"140 =82册口5-4求梁指定截面b cmax °2x180x50a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力btmax和最大压应力解：1.求弯矩支座反力：FA=kN310 ka-a截面弯矩,2仙r="J1h(二:'0zBX1 m最大弯矩：M max2.求形心轴截面 a-a上指定点 D

21、: CT max =-36.67X102x(20-7.512.91 )<10=0.0754MPa 36252.7X10 旦 '*4- 5 解：5- 5图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa,试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几？解：设工字形截面腹板上最大正应力5,其承受的弯矩h/2 Xbq2 f - 25dx 吠=1041666.7円0 h/21翼缘上最大正应力5,C2,其承受的弯矩h/2O" *1 *1，故腹板上承受总弯矩的百分比为即翼缘上承受总弯矩的百分比为84.12%400-(b)5-6排。(a)整体；(b

22、)两块上、一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。下叠合；(C)两块并解：最大正应力位于该截面(b)根据变形协调，上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2(C)两块并排时两块梁上作用的分布荷载集度均为q/25-8 一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用求 面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。- 5叫正应少(a)固定端弯矩最大Gtbtbt距固定端为 0.5m处的截规律Z X y z> z呗 I 60 1»ZIMRJ揚:，f，0应力分布规律解:根据切应力公式=空蛍，需确定横截

23、面剪力、面积矩、形心惯性矩Izb(1)剪力 Fq =5x5.5=27.5kN形心位置、形心惯性矩，如图 b-b处切应力a-a处切应力由于a-a位于对称轴y轴上，故ta二=05-9 一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体，如图所示。在梁的a-a截面上，剪力为18kN、 弯矩为55kN m，求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。解：b-b截面的剪力、弯矩分别为18B号槽钢的几何性质h =180mm ,C4I千. TI 冬=1369.9cm， b = 70mm， t =10.5mm, d = 9m _心'b '由正应力公式-业=382卫沁4=55.77M PaIzc 13

24、69.9x2x10上切应力公式5-10 一等截面直木梁，因翼缘宽度不够，在其左右两边各粘结一条截面为 50X 50mm的木 条，如图所示。若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN，解：求中性轴位置和Iz5-11图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷用，其横截面尺寸为b、h，长度为I。试求粘结层中的切应力。弭 I ICO I 5« I(1)证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力 TA的3叭17Z"nC-Zcf载作合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力 司A的合力偶矩等于该截面上的弯矩。(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部， 如图所示。问截开面上的切应力 规律如

25、何？该面上总的水平剪力解：(1)取X截面左边部分，S Fjy =0，- TdA-qx = 0，、AFq'有多大？它由什么力来平衡? 由其平衡jdA qx=FQXqx2送 Mi =0， (bdA y +qx ”5 = 0， JdA j =- = M(2)沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁， 因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，T沿梁长度的变化由切应力互等，截开面上的切应力 T沿梁长度是线性分布。沿梁长度剪力方程Fq(x) = -qx，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为也=薯，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力2尸。'(艸山辭"辛，它由固定端约束力平

26、衡。5-12试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力Fq的方向竖直向下。*1 解：向下5-14 图10m4。解：(1)计算支座反 校核强度(该， C截面正弯矩最大D截面负弯矩最大* * 符合强度要多rrzMPay2530kNB央:知64X儉纭n0小huh 示铸铁梁若;埜乍弯矩图 亥梁截面中性轴不!Rll|4-13b =8.5MPa，求满足强度条件的最小FminF5-i5解一矩形截面简应力发生由定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比5-16 截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=03m牝冷汙:迅注症布料锯成。曲7kNm8kN6监q/b，以及m锯成此梁所需要木料的

27、最1.2m。20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力刃=10MPa。试确刃=160MPa,试求容许均布荷载q。解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题 (1)对于BC拉杆3qx15 =9q-49qx4-十A 45X0.022所受轴力Fn =由强度条件bmax得 q <22.34kN/m(2)对于AB梁其剪力弯矩图如图工字钢横截面中性轴对称， 危险截面为弯矩绝对值最大的截面 由强度条件得 q 兰 15.68kN/mBMB0.28125qA；0.75mFq0.75q1.25q0.5q从而确定容许均布荷载4-13 解解 2 Ma=0，30x1.8+ F 48-Fb 36 =0,Z Fiy =0

28、, Fa +15+-F -30-F =0，= y3FaFb =15+ F3= 15F3C截面下部受拉：B支座负弯矩，上部受拉：4-18用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。EI为已知。在图(d)中的E=2.0X105MPa, I=1.OX 104cm4。解:(a) (1)支座反力计算2FAy = qa， M A = 0.5qa(2)列弯矩方程2M1(x) =qax0.5qa ， (0<x<a)MAA屮rv-qcau2 2M2(x) = qax 1.5qa 0.5q(xa) ， (a<x<2a)(3)将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程2Elw1(x) =-qax+0.5

29、qa ， (0 < x < a)2 2Elw2(x) =-qax+1.5qa +0.5q(x-a) , (a<x<2a)(4) 积分一次122E1(x) -qax +0.5qa C1， (0<x<a)1 2213El日2(x) =一qax +1.5qa x+x0.5q(x-a) +C2， (a<x<2a)2 3(5) 再积分一次13122Elw1(x) =-qax + -xo.5qa x + Gx +D1， (0<x<a)6 21312214EIw2(x) =-qax +-x1.5qa x +xo.5q(x-a) +C2x + D2，

30、 (a<x<2a) 6 2 12(6) 边界条件、连续光滑条件由 X = o,q =0得 0=0 ； X =0, w1 =0得 Dj =0由 X =a,q =日2 得 C2 = -qa ； X =a,W1 =W2得 D24= 0.5qa3qax- ； Wc =W1(X)6EI4二 qa心 12El6-1用积分法求下列各梁指定截面处的转角和挠度。设 解：(1)支座反力计算El为已知。FAy =0，Fb =F(2)列弯矩方程卜'aFb_ Fa2-12（7）从而日c =q（x）X 為；wc 訓(X)Fa312EIMx) =0 , (0 <x <a)M 2(x) = F

31、(X - a) , (a <x < 2a)（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程Elw1(x)=0, (0<x<a)Elw2'(x) =F(x-a) , (a<x<2a)（4）积分一次Eiq(x) -Cj , (0 <x <a)El日2(x) =lF(x-a)2+C2 , (a<x<2a)(5) 再积分一次EIw1(xC1D1, (0 <x <a)I3Elw2(x) = F(x-a) + C2x + D2, (a<x<2a)6(6) 边界条件、连续光滑条件由 X =0,W1 =0 得 Dr = 0 ；

32、X =3, =日2 得 C =C2由 X =a, Wr = W2得 D2 = Dj =0 ； X =2a, W2 = 0;得C26- 2对于下列各梁，要求：（1）写出用积分法求梁变形时的边界条件和连续光滑条件。（2）根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。 解：（a）（ 1）边界条件和连续光滑条件汀正弯矩，下（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为部受拉）EAFQ Al（d）（ 1）边界条件和连续光滑条件x=0,wi=0 ； X =21 ,w2 =也1 =2EA（2）梁的挠曲线的大致形状如图6-3用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。 解：（a）查表得F

33、单独作用下li32(町 K/n Mmwd(F)=箸,wbCFHXT)Fl单独作用下|22 2WD(Fl)雷,WB(FI2 罟F叠加得到27FI343FI3Wd = 2EI ，wB = 2EI（C）外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加） 简支梁上查表悬臂梁上查表&1 = -qEI l，故日B =Tb1 + 日D23q|312EI4- 18 (b)求wD, 0 BqA.何怖B B ih9 厂ab:- - 七/、J"I2叽=阴；/2 C =qa日WDM傘/38E|)=qa3 /(3 E|) Wd=M (2 a)2 /(16 EI)=qa4 /(8EI )3 /(2EI )t

34、uAcqIIgDP qi21、L f新L小i图示悬臂梁，容许许应力二丸严=»60MI截面两W严=1/ 槽钢的型号。设E=20OGPa 解：（1）根据强度条件选择 槽钢横截面中性轴为对称轴 悬臂梁弯矩图如r 查钢|组A'T1 pI 金EI1 2 kN/m容许:諭4/46Ei亠选择峑表,2个10号槽钢截面小fkCi"33WZ =39.7 X2 =79.4cm3 满足要求。（2）刚度条件自由端挠度近似看作最大挠度，则由叠加法M II /kN?m '2 m从而由刚度条件 Wmax兰W =1/400 =0.01m厶2 0X105.* '年2二 *，= 10 m

35、2得 w=20丁01<0 01 I>查表，2个14a号槽钢截面Iz =563.7咒2 = 1727.4cm 4满足要求44m2 =1000cm； = m%e综合看选择2个14a号槽钢。4-22（a） 求内力（超静定）q=F/lnrrmFBM=FI*B约束条件.B4-23图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB梁的惯性矩为li,CD梁的惯性矩为12,试求AB梁中点的挠度WC。X解：超静定问题，设CD梁与AB梁之间相互作用力为F ',由于CD梁C端挠度与AB梁中点挠度相等，即Wc(cd)=WC(AB)|3匚，2FIiF =2Ii+I2(F-f|3d = Fl3

36、r 3EI2 48Elir48EI124(2Ii+I2)E 7-1单元体上的应力如图所示。试用解析公式法求指定方向面上的应力。解：由平面应力状态斜截面应力公式(a) bX =-20MPa , by = -50MPa /-70MPa / a =60。从而!tI 60k6Oo m+cosIZO0 +70sin120o =18.12MPaI 6022n12O0 -7Ocos12O0 =47.99MPa2(d)bX=-20MPa，口y = Y0MPa /= 0 , a = -60°卜血=B+20cos(-120°) =35 MPa从而2220h “。=-sin(12O0) =8.6

37、6MPa-60° 7-3单元体上的应力如图所示。试用应力圆法求单元体的主应力大小和方向，再用解析公 式法校核，并绘出主应力单元体。解:( C)CTX =80MPa , CTy = 20MPa / xx = 30MPa其应力圆绘制：在Oc坐标系里描出Di ( C, T)、D2 ( C, T),连接Di、D2两点与C 轴交点C,以C为圆心，C Di或C D2为半径，做圆即为该点应力状态的应力圆。从图上可知 S =88.31MPa , b2 =0 , b3 =28.31公式校核:(d) bX =10MPa /by =10MPa，TX = T0MPa其应力圆绘制： 轴交点C,以C为圆心，C

38、Di或C D2为半径20Di(80,30)(O在o C坐标系里描出L TMPa 0 o=T5.480的应力圆。(TC、D2 (y/Ty),连接 Di、D2 两点与 C艮哄该点应力状10 MPaIO MPsIGMPiiD2(1O,1O)(T从图上可知 W =20MPa , c2 =0 , b3 =0 , a0 =45°6+6 J -by 2 2 10+10 /10 -10 22公式校核：W+ （-）2+Tx2 =-+J（-）2+102 =20M Pabx+by Bx-cr2 10+10 L10-10、2 +2 c-卞一）"x10 =07-5图示A点处的最大切应力是0.9MPa

39、,试确定F力的大小。 解：A点所在截面剪力为F、弯矩M=0.2F,丄二)-200-由切应力公式、正应力公式彳该点主应力分别为CT _crmax从而最大切应力 %ax =、3 =187.5F =0.9x106，得 F =4.8kN5-6A点处横截面和纵截面上的应力？7-7解:求图中两单元体的主应力大/小及方向。 用应力圆法在0 o坐标系里描出(%0Z30A）、D2 （ct却。，T _30O ），从Dl面转到02面，单元体逆时针转了 240°则在应力圆上逆时针转480°,即它们所夹圆心角120 0,其应力圆如图T 1由图可知，cr3F/A , CT2 F 0 , CT3=_f/

40、A , «5-7（b）5-13受力物体内一点处的应力状态如图所示，试求密度。设 E=2.0X 105MPa, v =0.3。0解：CTx =120MPa , CTy =60MPa , cr30MPaO即即为2图中单元体x方向。体积改变能密度和形状改变能D02M囲）5-8 在物体不受力的表面上取一单元体A，已知该点的最大切应力为3.5 MPa,与表面垂直的斜面上作用着拉应力，而前后面上无应力。"（1）计算A点的ox, by及Tx,并画在单元体上。求A点处的主应力大小和方向。 解：见A点的应力单元体（a）:固有：w =2Tmax =7.0 MPac7左而12()边尺I都是甲皿M

41、P1由A点应力单元体（b）和（c）:7-9在一体积较大的钢块上开一个立方槽，其各“，_块，它的尺寸是0.95X 0.95X 1cm3（长X宽X高）：当铝块受到压力F=6kN的作用时，假设钢 块不变形，铝的弹性模量 E=7.0X 104MPa, v =0.33,试求铝块的三个主应力和相应的主应 变。（b）1cm,在槽内T入一铝质 立方F-6X103解: F沿高度方向作用，6=厂0.95“.95勺0, 一66.48M PaF1cm0.95cm0.95cm若铝快的变形填充整个立方槽则1乞= (bx -vby -vcz) =0.005/0.95=0.0526 由广义胡克定律EI1名y =E(by vb

42、x -vbz) =0.005/0.95=0.0526得到bX =巧=5462.8MPa，显然是不可能为拉应力的。故铝快的变形未能填充整个立方槽 从而 C"X = by = 0 即 w = 0 ,耳=0 ,耳=-66.48MPar 1/4-VW -vcT 3)=3.134x10商=(c 1 vb 2 vb 3)= 3.134x 10 相应的主应变 = 21丄vj) = -9.497x107- 10在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45。方向上贴有电阻片，测得正应变 f-2.6X10-5,试求梁上的荷载 F。设 E=2.1X 105MPa, v =0.28。oK解：K点处于纯切

43、应力状态，所在截面剪力为 A支座反力2F= Fqk由 S M B = 0 , Fa 查表得28a号工字钢lx: Sx = 24.62cm , d = 8.5mm2F_ Fqk_"（lx：Sx）d "3天24.62咒10'咒8.5咒10；根据该点应力状态，由斜截面应力公式求±5。方位面上正应力由广义胡克定律， =1 （% 西打）=2.6咒10'从而得出F =13.4kN7-11图示一钢质圆杆，直径 D=20mm。已知A点处与水平线成 =4.1 X 10-4。E=2.1X 105MPa, v =0.28,求荷载 F。故K点切应力Tk45°=

44、318.57F70°方向上的正应变& 70°解：横截面应力：by =F/ A由广义Hooke定律 可得：47-12用电阻应变仪测得受扭空心圆轴表面上某点处与母线F 10-4。已知 E=2.0X 105MPa,v =0.3,试求 T 的大小。解：该点处于纯切应力状态A45°f正应变£=2.0 XWP=-561.777兀 D3(1 -a4)rKt5*根据该点应力状态，由斜截面应力公式620。45°求±45°方位面上正应力1 *由广义胡克定律，245°二右狞-vD/G =2.0x10-7从而得出T =54.77k

45、N m7-13炮筒横截面如图所示。在危险点处，0=60 MP a，（j=-35M Pa,第三为拉应力，其大小为40MPa,试按第三和第四强度论计算其相怙力45°解：第三强度理论相当应力 3=刁-6第四强度理论相当应力CTr4=-耳)2 +(2-6)2 +(6一6)2这里 b! =60MPa e =4OMPa ， c3 = 35MPa故 br3 =w 一円=95MPa主应力垂直于纸面7-20 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力o=-650MP a， o=-700MPa, o=-900MPa。如钢轨的容许应力0 =250M Pa,试用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。解:第三强度

46、理论相当应力 巧3 =6 一貯3四 强 度 理 论 相 当=gw 2)2 +(crcr3)2 +(s CTJ2这里 CT 4 =-650MPa，CT-700MPa，cr 3 = -900MPa故 b r3 =w "3 =250MP a二b=占（6 -空）2 +&2 -3）2 +&3 - w）2 =229MPav b，所以该点满足强度要求。6-3受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点 A 最大的内压力时，用应变计测得：iX=1.88X 10-4,处的应力状态如图（b）所示。当容器承受y=7.37X 10-4。已知钢材弹性模量E=2.1X 105MPa,横向变形系数 v=

47、0.3, 0- =170MPa。试用第三强度理论对A点处作强度校核。解：该点处于平面应力状态，由广义胡克定律j =+v£y) =94.4 MPa 得I匕=y + V£x) =183.1M PaI1 -V即该点 巧=183.1MPa，CT2 =94.4MPa，cr3 =0根据第三强度理论br3 =6 込=i83.1MPa b，所以该点不满足强度要求。7-24图示两端圭寸闭的薄壁圆筒。若内压 p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚S =30mm,容许应力刃=120MPa,试用第三强度理论校核圆筒的强度。解：内压产生轴向应力和环向应力分别为自重作用下，下部将产生轴向拉应力，上部将产生轴向压 应力危险点位于中间截面最下部，该点自重产生的轴向拉应力 为 故该点 w =L + b"=79.1MPa , c2 =o'"=66.7MPa , 3 根据第三强度理论3 =円-3 =79.1MPavcr，所以该点满足强度要求。6-6在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料 是层化的，而且顺着与 A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全？假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa,容许压应力是14M