整理参数方程化普通方程

1、参数方程化普通方程重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明 确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。例题分析Ijt = sin H1把参数方程化为普通方程（1）y +（庚R , 0为参数）解： y=2+1-2sin20，把 sin 0 我入，二 y=3-2x2.又 |sin 0 | < 1, |cos2 DI 拥 1,w 1, 1 <y<3,-所求方程为 y=-2x2+3(-1 < x< 1, 1 < y < 3)fz = sin £? + cos旧(2)5氏2(庚R,0为

2、参数)解:x2=(sin 0 +cos=1+2sin 0 cos 把 y=sin 0 cos代入, x2=1+2y。又x=sin 0 +COS 0 = sin(- 20 + ) y=sin 0 cos 02 sin2 0 |x| 庞，|y|所求方程为 x2=1+2y (|x|小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量 的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。1-£X =1 + £厂L 1 + f （t丰1,为参数）匕+邑.出k(M=Ax+y=l +

3、 r 1十£ 1 + / =1, 又 x= 1+fl + f-1 三1, y=法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。2（" 1）-2 , 2=2 1+f 工2,二 所求方程为x+y=1（X 乂1, y丰。1-£法二:其实只要把t用X或y表示，再代入另一表达式即可。由x=l+£ , x+xt=1-t,1-X (x+1)t=1-x，即 t= X + 1 代入 y=2 口2 H.l+x2(1-刃1_K1+片+1-片=1-xx+y=1，(其余略)这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。 _

4、1-?八乔?厂2L 1+（t为参数）分析:此题是上题的变式，仅仅是把 t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用 两种求值域的方法：2-(1 + /)2_j_2法一 :x= l + f21 + -1, / t2> 0，2+1 > 1. 0<F +1 w 1, . -1<1+卩-1 w 1,. -1<xwil-I法二:解得t2=l + X > o,. -l<x w 1同理可得出y的范围。1-F开三71+?2£y =L i+F（t为参数）分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。1-卩1 - X2£

5、;由 X= 1 + / 得 X = 1 + X > 0, . -1<x w 1 由 y= 1 + f , t=0 时，y=0 ；2|Z|2|ft M0寸，|y|= 1+/' w2|£ I =1，从而 |y| w。法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，1-? 2t 匸0+（仃船 X2+y2=（ 1+F ）2+（ 1+fd ）2=法二:关键能不能用X, y表示t,（1+F）'=1。1-F1-J由x= 1+Z卞得t2= 1 + X ,代入且形式简单2ty= l + ;r=t(1+x)21 + （丄）2 t= 1 + X 再代入X= 1十畫，化简得x2+y2

6、=1。法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象氏JT1却旧可令 t=tg 9（-22 ）, x= 1*爼旧=cos2 0, y= 1+堪旧=sin2 0 , x2+y2=1，又 2 0 （-兀，兀）， -1<x=cos2 0w-1w y=sin2 0 所求方程为 x2+y2=1（x 詢）。fz = 3£ + 5cos(P +12已知圆锥曲线方程是b =胪+ 卩-1) 若2) 若解：1)t为参数，0为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。0为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率Z - 5 cos p- 1 = 3£(1)厂如ine+X-a，由(1)得

7、t=e。x-5cospT3代入y-4si n（X -5cos-1530 +5=6 -9（X-5COS 如1）2=- 2 （y-4sin 0 +5）P= 4。为顶点在(5cos 0 +1,4sin-砌开口向下的抛物线，其焦点到准线距离兀一宝一 1=cos 畢 5 + 6? + 5.=Ein <3?2）由已知4（X-金一1）2 丄 O + 6F+5）2 杰16=1,表示中心在(3t+1,-6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，二 e=a 5。分析:从上题可以看出，所指定参数不同，取参数。23抛物线y =4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线

8、段为 中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所AB，CD，M 为 ABA>02 2 2-k x -4px-4p =0,若 A , B 坐标为（X1, y1）,（X2, y2）则_ 2p 丿1+？_勿F2i兀，yiM = 乙兀，/ AB 丄 CD, ACD 方程为 y=- ，代入 y2=4p（x+ p）,2 2掘 x -4px-4p =0 ,设 C（X3, y3）,D（X4,y4）1+尹2=¥kA>0E + 齐4 M ApF"冷

9、+右）2厂吃-册二 N（2pk , -2pk）则 G 点坐标（x,y）为 L比/=卩2(2 +k2-2)=p 2( p -2)=p(x-2p)1 x=p（k2+疋）> P k =2p，而y R在方程中都已体现， 轨迹方程为y2=p（x-2p）为顶点（2p,0）开口向右的抛物线。说明：消参一般应分别给出 x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之I Z =匚05 3后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。女昉程巳血旧0 0, 2 n,是4个圆，但消参之后得 x2+y2=1（ |x| w 1, |y|却无法说明这一点。在线测试选择题X

10、= cos 护y = 1 亡°显阳（0为参数），则方程所表示的曲线为（B、线段C、双曲线的一支D抛物线k = Vl+sin &y = cos (-)2 参数方程L42（0为参数，且0 < 0 <2n ）所表示的曲线是（A椭圆的一部分B双曲线的一部分C、抛物线的一部分，且过（-1D抛物线的一部分，且过（1 ,2 ）点3.已知直线l的参数方程为A、6B、3X = -1 + / SU1 6=2 -£cos 6则直线l的倾斜角为（）rcrA、x=3B、x=-1C y=0为参数）的准线方程是（Dy=-24.抛物线卜=/一1（ t7 =卯COS辺=vsin«

11、;-jg?2话 sin cscoscsVq sin 2a2 -% Sin ccosct卩；cos 2arA、g厂B2gc、grD2g答案与解析答案：1、B 2、D 3、D 4、D 5、C解析：(1)2 2x=cos 0 0， 1，y=1-cos $ =1-x， x+y-1=0，x 0，1为-条线段。故本题应选Bo5弹道曲线的参数方程为V0, g为常数）当炮弹到达最高点时,（t为参数,炮弹飞行的水平距离是（）(2) / xEay=cas-)=42d.故本题应选D2（3）本题认为直线l的倾斜角是6是不对的，因为只有当直线的参数方程为:X =才0 +Z cosct,/Q （其中t为参数），其中的a才

12、是直线的倾斜角，消去参数t，化参数方程为普通方程后，再求直线l的倾斜角是可以的。但直线 I的倾斜角0适合tan 0 f 列，这里只要把两个方程相除就可得:n. f COS y-26 严_ = -cot 城6ism 6Z+1-cot-仃 tan 0 =6 =-3 ，2一代又0< 0 <n , 0 =3。故本题应选Db2(4)化参数方程为直角坐标方程，得(X-2) 2=4(y+1)，其准线方程为y=- 2 -1=-2。故本题应选 Do1 空(5)由y=votsin a -泸知，当炮弹到达最高点时,Vg Sin a代入 X=V0tCOS a，得X=VoCOS a- 2 -Vo Sin a

13、 _ Vq sm ctcosagg。故本题应选Co参数方程、极坐标疑难辨析参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸.参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本 章的重点.参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点 与疑点.弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键.把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后X、y的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键.弄清一点的极坐标的多种表达式：(-1)np, 0 +n),( n Z)和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功.题1下列参数方

14、程(X = t扎Tt是参数)中方程y2=x表示同一曲线的是()k = sintB. iI y = Sintx = tJII 一 cos2tX =1 + cos2t y =tgt参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点.问题的实质方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其y2=x，更增加迷惑性，因而误选A、B、C都【疑难或错解】 在于判定方程的同解性. 困难就更大了.本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是 有.【剖析】 从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是 y2=x .但在A中y=t2丸，这与y2=x中y的 允许值范围y R不

15、一致，故 A应排除.在B中，x=si n2t x 0, 1与y=si nt -1 , 1与方程y2=x中的x, y取值范围不一致，故 B也应排除.在C中，y二哌0, +8)这与八沖yCRte不同J故Cft褂餘只有在D中，X=tg2t O, +8), y = tgt£ R,和y'l + cos2t=X中的x 0 , +8), y R完全相同，所以D中参数方程与y2=x同解，应选D.【点评】参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法jx = f(t可循，只能根据参数方程(t)方程F(x, y)=0中x, y的允许值范围的普通方程F(x, y

16、)=0的外形来判定，中函数X = F(t)和y =g(t)的定义域和值域与消去参数诟所得普(即方程F(x, y)=0的定义域)是否一致来判断.仅根据消去参数后所得常易失误.题2参数方程fA .圆 B .半圆i-F2t（t为参数）c.四分之一圆表示的曲线是（D.以上都不对1 FOf泌卩'消去e,得x2+y2=1，未分析x ,rm或错解】给T则z =；j-= co2S, y =y的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选 A.脚祈】在瓦=工7中，x = 7 -1.如t耘=-1,贝这1 + t时t不存在，所以消去t后方程x2+y2=1中x 乂1，即在圆x2+y2=1中应除去一点（-1, 0）.

17、所以此参数方程表示的曲线为单位圆 x2+y2=1上除 去一点（-1 , 0）.在普通方程x2+y2=1中应注明x （-1 , 1 .应选D.G为参数）与双曲线题3设直线F G为参数）与双曲线F = a （B|y Y-弘1厂2+號cM为参数）交于A、B两点，求弦长|AB| .【疑难或错解】以直线的参数方程代入双曲线的普通方程（y-2）2-x2=1,有（-4t）2-（-1+3t）2=1，即27t +6t-2=0 .方程的两个根分别为 t1=PA , t2= PB，其中点P的坐标为（-1 , 2）.丄62-t+1严亍 tit =-=. I AB|=|tL -t=JCl + t2）' -4卯2

18、'3682 帛=,+ = v23.NA9 17 勺【剖柿丁直线的参数方程;谀参数）.耳直堆攵方巒标锂二如+t3也'9为斜甬ew 因而1厂+聞a,方程的两个根：2tjPAjI AB =|ti -壬亍错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义.在标准型中，P （ x0, y0）为直线上的定点，Q （x, y）为直线上任意一点，则 t表示有向线段PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）.这一结 论不适用于非标准型.因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则 将导致错误.E解】直线的参数方程为厂二丸G为参数） y = 2-4t,443此

19、直线的斜率为k= tgCt =anCl =-,亦0=-亍 此直线参数方程的标准型为3彳 打（t为参数）.y-2 + -t,将双曲线方程化为普通方程：Vx 二tg仇 y2 二抚 secO -tgS = L /. （y-2）2-X2=i 以代入，得1/5£ 山方程的两个根分别为ti=PA , t2= PB, 型Fit 7二JWi +切）'4卯2 楣'普卜号腹【点评】 设A、B两点的坐标分别为（xi, yi）、（ X2, y2）.V V "U-詳 tt为参数）上，p do, %）为直线上的定点,.1区1 =利+就1，1衍=Xo +也，”1 =兀 +出1，|yi =

20、yo2 2 2 2 2 故 Xi-x2=a(ti-t2), yi-y2=b(ti-t2),.(xi-X2)+(yi-y2)=(a +b )(ti-t2) 即 |ABF Jdi *)' + 仞 y)，= Jf + 刊1利用这一结果也可求|AB|之长，结果与正解同.题4试作曲钱F = ""CE' （t为参数）的图像.y = arccost【疑难或错解】 V arsiftt + arccost = 乙二曲线的普通方程为: +厂?未分析X, y的取值范围，即断言曲线x+y = *的图像为1直线,如(O【正解】% TT"亍2y = arccost£

21、 0,兀,.'x = arcantE葢+7 = arcsint +arccost =-,乙0）所以此曲线为以2 '2 '【点评】消去参数过程中不分析"为端点的线段。x，y的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏.题5化参数方程2数）为普通方程.礙难或错解】V212 】所以曲线为双曲线：a b【剖析】 错解仅考虑abO的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整.ab=0时，有a=0, b*0 aQ b=0; a=0, b=0三种情况，应逐一进行讨论.4-4=1双曲线）-不再赘述.【正确】当abO时，如上解有a b当ab=0时，有下列三种情形:IK = 0，此时，曲线为

22、y轴（含原点）.b 1 , BPx = 0, y£ R. y =尹三：)严T，（2） aMQ b=0,原方程为 b °，14,H =7忖£ L，少*i"干 |a|， |x| Aja即x> I或X冬|a|.消去t,得普通方程为y=0, x （-, -|a|U |a|, +s）.此时曲线为x轴上的两条射线，端点分别为（|a|, 0）指向正半轴；（-|a|, 0）指向负半轴.曲线为一点Co, 0）.即原点.X, y的取值范围，对任意常数a, b的可能情况不分别讨论是导r蚩=0（3）a = 0, ZO时，原方程划/y = o-【点评】消去参数过程中不注意方

23、程中致失误的主要原因.题6己知曲如仁如2（t为参11与12是否表示同一曲线？为什么?p = l + cos2 0 = 2cos 9 ,1 r .2 A 1 .3 0消去参数e '倚y = 5-4sm 9 = l + 4cos 0 ,【疑难或错解】i1： Vy = Of 1y;中消去参数.也得心未对X, y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言li和12表示同一直线，焉能不失误.【剖析】在曲线1i的参数方程中，x=1+cos2 0 =23航 0, 2,消去参数0所得的普通方程2x-y+1=0中X 0 , 2,所以曲线11为以（0,1 ）与（2, 5）为端点的线段.只氐-y+l=

24、0上的但曲线!护氐-y+1=0标一条直线，1匸12，所以ll、l2不是同一 条曲线.【点评】 在曲线11消去参数时，未分析 X的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因.题孑直线（"皿2;7 &为参数）的倾斜角是ly = -tcos 20A. 20° B. 70° C. 110° D. 160°礙舸伽I误认迪加；+务为定直舞数方程的标魁，E而误选（A）.或将原方程化为f =+3,当作直线方程的标准型而误选I y - t cos 1. D 0»I（D）X = t cos(-70 ) + 3,. fx = t COE29

25、0* +3,y = tsin(-70* ),y = 13111290' ,还有将原方程化为而无法作出判断.【剖析】上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型:中，Q为直线的倾斜角，让0,叭XG为参数)y = Yo +1 sin a ,711当QE S yP> cos a>0, sin CL>0,且cx>/a+siJa=l,如果卄雾;囂中，当沁且宀bw才窗魁兀_f兀 '当a =时，a = 0i, b = l,才是标准型；当G6 ,兀时，cos 0<0, sin a 0,故当av 0, b> 0,且a2+b2=1时，

26、才是标准型.见 fx = 1511120 + 3,fx = t sin 160"* + 3,ly = -t cos 20° ,y = t co3160 ,X = t cosC-70* )+3,lx = t cos290* + 3,y = t sin(-70'' ),|y = t sin 290"",等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将x=tsin20 +3 化为 x=3+(-t)sin(-20 )=3+(-t)cos(90 +20°)即 x=3+(-t)cos110 ° y=(-t)sin(90 +20°)=(-t)sin110 .令七则有fpi ：严，缶为参数）y = t Sin 110,这才是此直线参数方程的标准型