信号与线性系统 第（15）讲

1、第五章第五章 离散时间信号与系统的频域分析离散时间信号与系统的频域分析教学要求：教学要求：1 深刻理解周期信号的离散时间傅立叶级数深刻理解周期信号的离散时间傅立叶级数;2 深刻理解非周期信号的离散时间傅立叶变换深刻理解非周期信号的离散时间傅立叶变换;3 熟练掌握离散时间傅立叶变换性质熟练掌握离散时间傅立叶变换性质;4 深刻理解离散傅立叶变换（深刻理解离散傅立叶变换（DFT）及其性质；）及其性质；5 了解了解DFT快速算法（快速算法（FFT）的基本思想；）的基本思想；6 熟练掌握离散时间信号与系统的频域分析方法熟练掌握离散时间信号与系统的频域分析方法;)()()(nhnxny)(nx)(ny)(

2、nhnznx)(kkzkhzH)()()()(zHznyn特征值特征值特征函数特征函数复指数信号复指数信号kknxkhny)()()(kknzkh)(kknzkhz)(knkkzanx)(knkkkzzHany)()(jAez 第一节第一节 周期信号的离散时间傅立叶级数周期信号的离散时间傅立叶级数)()(Nnxnx周期为的周期信号周期为的周期信号)(NnjnjeeNm2有理数:2njNe复指数信号集复指数信号集: )(2knjkNen,2, 1,0k)()(nnNkkknjNkkNeAnx2)(一、离散时间傅立叶级数：一、离散时间傅立叶级数：kA离散时间傅立叶级数的系数离散时间傅立叶级数的系数

3、问题：如何确定离散时间傅立叶级数的系数？问题：如何确定离散时间傅立叶级数的系数？连续时间傅立叶级数：连续时间傅立叶级数：tjkkkeAtx0)()()(Nnxnx只有个独立的复指数谐波分量只有个独立的复指数谐波分量有无穷多个独立的复指数谐波分量有无穷多个独立的复指数谐波分量离散时间傅立叶级数的系数：离散时间傅立叶级数的系数：knjNkkNeAnx2)(rnjknjNkkrnjNNNeeAenx222)(NArNnknjkNenxNA2)(1NkNnnrkjkNnrnjNNeAenx)(22)(值其它或kmNrkrkNeNnnrkjN, 0,10)(2频谱系数频谱系数:kA幅度频谱幅度频谱: )

4、(k相位频谱相位频谱)(*)(nxnx*kkAA离散时间傅立叶级数的系数：离散时间傅立叶级数的系数：knjNkkNeAnx2)(knjNkNkeAnx2)(NnknjkNenxNA2)(1NkkAA)(nx为实信号时，为实信号时，kkAA*knjNkNkeA2kkAA*kA是以为周期的是以为周期的,离散周期信号的频谱也是周期的离散周期信号的频谱也是周期的kA是共轭对称的是共轭对称的kA 1, 0Nk)(nx频谱的频谱的主值周期主值周期：3.4. 不存在收敛性问题不存在收敛性问题二、周期性矩形脉冲序列的频谱二、周期性矩形脉冲序列的频谱211|, 0|, 1)(NnNNnnxNnknjkNenxN

5、A2)(11121NNnknjNeNkjNkjkNjNNNeeeN2121211) 1(,2, 0,2, 0sin)12(sin11211NNkNNkNkNkNNNNkjkjNNee1N1NNNn)(nx)10, 2(1NN频谱绘制：频谱绘制：频谱特性：频谱特性：02N12N112N21N22,101NN,2, 0,2, 0sin)12(sin11211NNkNNkANkNkNNNNk1 离散性离散性2 周期性周期性kN2令：令：kkNNNA2) 2/sin( 2/) 12sin(11xxsinsin将将20平分为平分为121N等分，作出频谱包络等分，作出频谱包络将包络以将包络以N2为间隔取样

6、并乘以为间隔取样并乘以N1关于关于2周期为周期为,NkkAA02N12N112N21N22,101NN02N12N112N21N23,101NN1 N不变，不变，N1增大增大脉冲宽度增大，频谱包络主瓣的宽度变窄，幅度增加脉冲宽度增大，频谱包络主瓣的宽度变窄，幅度增加周期不变，谱线间隔不变周期不变，谱线间隔不变2 N增大，增大，N1不变不变02N12N112N21N22,201NN02N12N112N21N22,101NNN？脉冲宽度不变，频谱包络形状不变脉冲宽度不变，频谱包络形状不变周期增大，频谱幅度减小，谱线间隔减小周期增大，频谱幅度减小，谱线间隔减小第二节第二节 非周期信号的离散时间傅立叶

7、变换非周期信号的离散时间傅立叶变换 kkNnxnx)()(211|, 0|, 1)(NnNNnnxNkknjkNeAnx2)(NnknjkNenxNA2)(1|,|1Nn )()(nxnx112)(NNnknjkNenxAN,NkN2nnjkNenxAN)(lim离散时间傅立叶变换：离散时间傅立叶变换：nnjjenxeX)()(频谱密度频谱密度NnknjkNenxNA2)(1nnjjenxeX)()(NjkkeXNA200| )(1NkknjkNeAnx2)(njkjkNkeeXN00)(1000)(21njkjkNkeeX2)(21)(deeXnxnjj离散时间傅立叶反变换离散时间傅立叶反变

8、换周期信号的周期信号的频谱系数频谱系数与相应的非周期信号与相应的非周期信号频谱密度频谱密度的关系：的关系：是是kA的样本，的样本，)(jeX是是的包络。的包络。kA)(jeX,Nd00k2)(21)(deeXnxnjjnnjjenxeX)()(离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶反变换离散时间傅立叶反变换离散时间傅立叶变换存在的离散时间傅立叶变换存在的充分条件充分条件：nnx| )(|nnx2| )(|一致收敛于一致收敛于)(jeX以均方误差等于以均方误差等于0的方式收敛于的方式收敛于)(jeX注意：注意：两个条件并不是等价的两个条件并不是等价的nnx| )(|nnx2| )(|

9、常用序列的离散时间傅立叶变换：常用序列的离散时间傅立叶变换：1 单边指数序列：单边指数序列：)()(nuanxn1| annjjenxeX)()(jnnjnaeea110)(| )(|)(jjjeeXeX| )(|jeX幅度频谱幅度频谱)(相位频谱相位频谱偶对称偶对称奇对称奇对称)(jeX关于关于为周期的为周期的2是以是以2 双边指数序列：双边指数序列：|)(nanx1| a10)(nnjnnnjnjeaeaeX10nnjnnnjneaeajjjaeaeae11122cos211aaa3 单位脉冲序列：单位脉冲序列：)()(nnxnnjjeneX)()(11)(nx?)(jeXkjkeX)2(

10、)(21)(21)(denxnj1)(nxkjkeX)2(2)(kk)2(214 离散符号函数：离散符号函数：01000, 1)sgn(nnnnjnaenua11)(0)(nnjnneanua0nnjneajae11jjaeae11112cos21sin2aaajcos1sincos21sin2lim)sgn(21jaaajna)sgn()()(lim1nnuanuanna) 10( a5 单位阶跃序列：单位阶跃序列：kk)2(21cos1sin)sgn(jn1)(nkkjnu)2()cos1sin1 (21)(kjke)2()1 (1)(1)(jtu)()sgn(1 21)(nnnu)()(nunx6 周期信号的离散时间傅立叶变换周期信号的离散时间傅立叶变换：kk)2(21?)()2(20nxkk200)(221)(denxnjnje0NknjkkeAnx0)(N20lNkkjl