切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长 度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一 条直线，它不可以度量长度。（PA长）2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

2、3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切OO于P, PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， 理。7. 与圆有关的比例线段 定理 图形 相交弦 定理 相交弦 定理的 推论 切割线 定理“线”切线的性质定理及切线长定已知©O 中，AB 弦，交于P.O0中，AB为直径，pC= PA CD!AB于 P.结论CD为 PA- PBPC- PD证法=连结AC BD证: AP3ADPBPB用相交弦定理.（特殊情况

3、）切割线 定理推 论OO 中，PT 切OO pT=PAPB 连结 TA、TB,证: 于T,割线PB交OO于APB PD为OO 的两 PA- PB条割线，交OO 于PCPDA、C过P作PT切©O于 T,用两次切割线定理（记忆的方法方 法）圆幕定 理O0中，割线PB交P'C P'D = r2延长P'O交©O于 ©O于A, CD为弦 OP'2M 延长 OP'交OOPA- PB= OP 于N,用相交弦定 r2理证；过P作切线r为OO的半径用切割线定理勾股 定理证8.圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两点，则自定点P到 两

4、交点的两条线段之积为常数 2严-RT（R为圆半径），因为opf 叫做 点对于OO的幕，所以将上述定理统称为圆幕定理。【典型例题】 例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 o 过A作半圆切线，切点为 F，交CD于 E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt ADE中，由勾股定理1 315Q£=l-二一血=1+=-.4 4,4 4,例2. OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE= 6cm BE= 2cm CD= 7cm,那 么 CE=cm解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DET AE=

5、6cm BE= 2cm CD= 7cm=1-CE6况2 =纠7-作）即 CS-ICE + 12 = 0CE= 3cm或 CE= 4cnr。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。 例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 a 心解：/ p=/p/ PAC=Z B, PA3A PBAAB 二 PR.无二冋血2念皿2 _曲。又TPA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得加 _ PE _ FE.血3 _ 丹* 甩 _ 7 , 即 卫0： Q =PB： PC 故应填PG 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是©

6、O外一点，PC切©O于点C, PAB是O0的割线，交©O 于A、B两点，如果PA PB= 1： 4, PC= 12cm OO的半径为10cm则圆心O 到AB的距离是cm图3解：V PC是OO的切线，PAB是OO的割线，且PA PB= 1： 4 PB=4PA又V PC=12cm由切割线定理，得MSFB 12 =PA 4PA:忌二宪 PA - 6(qwj) PB= 4X6= 24 (cm) AB= 24- 6= 18 (cm设圆心O到AB距离为d cm,由勾股定理，得故应填例5.如图4, AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC OC交OO于点E, AE 的延长线交BC于点D,

7、 (1)求证：=(2)若aB= BC= 2厘米，求CE CD的长。,即要证 CEBA CBE点悟：要证=> 乙ABD = 90"-卫£ = 2 n 0吕=11 n OU = 75'C = 2证明：(1)连结BE 月a是© cMn线 为直径(2)XS =运-FO又.苗=CQ* CE, CS = 7 .aH2CDnCD = (3- 4)厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创 造条件。例6.如图5, AB为©O的直径，弦CD/ AB AE切©O于A,交CD的延长线 于E。求证.BC - AB * DB证明：

8、连结BDV AE切©O 于 A,/ EAD=Z ABDV AE! AB 又 AB/ CD AE! CDVAB为©O的直径/ ADB= 90°/ E=Z ADB= 90° ADEA BADAD _ D S乔二75 V CD/ AB/.AD= BC . T = AB* DE 例7.如图6, PA PC切©O于A、.AD = AS DSC, PDB为割线。求证：AD- BC= CD- AB 图6点悟：由结论 AD- BC= CD- AB得，显然要证 PADA PBA和 PCDA PBC证明：V PA切©O于A,/ PAD=Z PBA又/ A

9、PD=/ BPA PADA PBAM- _ FD同理可证 PCDA PBCCD PD:.JCFCV PA PC分别切©O于A、C PA= PCAL- _ 3.盂= AD- BC= DC- AB例8.如图乙 在直角三角形ABC中，/ A= 90°，以AB边为直径作© 0,交斜 边BC于点D过D点作©O的切线交AC于 E。图7求证：BC= 2OE点悟：由要证结论易想到应证 0£是 ABC的中位线。而OA= OB只须证AE= CE证明：连结ODAB为直径的切线，又DEWOO于DODL DE:丄 B=Z ODBV ACL AB AC 为OO EA= E

10、D/ OB= OD在 Rt ABC中，/ C= 90°/BV/ OD吕 90°/ C=Z EDC ED= EC AE= EC OE> ABC的中位线nM是以点B为圆心，AB长为半径的（点E与点A D不重合）,过E作忌 BC= 2OE例9.如图8,在正方形ABCDK AB= 1, 圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点 所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。当/DEF= 45°时，求证点G为线段EF的中点;图8解：由/ DE&45°,得/ DFE=Z DEFDE= DF又 AD= DC AE= FC因为AB是圆B的半径，ADLAB所以AD切圆

11、B于点A;同理，CD切圆El 于点Co又因为EF切圆B于点G所以AE= EG FC=FG因此EG= FG即点G为线段EF的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题25B. 31.已知：PA PB切OO于点A B,连结AB若AB= 8,弦AB的弦心距3 , 则 PA=（）20C. 5A.远D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如图1直线MN与©O相切于C, AB为直径，/ CAB= 40° 则/MC 的度数（）B. 40C. 60A. 50D. 55 °4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一

12、弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）C. 12cmA. 8cmB. 10cmD. 16cm5. 在ABC中, D是 BC边上的点，bd= 3cm DC= 4cm 如果 E 是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A.B.34去 mC.2忑c 揪D.bJIc 啊6. PT切©O于T, CT为直径，D为OC上一点，直线PD交©O于B和A, B在线段PD上，若CD= 2, AD= 3, BD= 4,贝J PB等于（）A. 20B. 10C. 5D. S祚二、填空题7. AB CD是©O切线，AB/ CD EF是©O的切线，它和AB CD分别

13、交于E、 F,则/ EOF=。8. 已知：©O和不在©O上的一点P,过P的直线交©O于A、B两点，若PAPB= 24, OP= 5,则©O的半径长为于 B C,若 BC= 20,9. 若PA为©O的切线，A为切点，PBC割线交©O刃=10山，则PC的长为10. 正 ABC内接于© O M N分别为AB AC中点，pg _连结BD交AC于 P,则刊"。三、解答题11. 如图2, ABC中, AC= 2cm 周长为 8cm F、K 切点，DE切©O于点M 且DE/ AC求DE的长。图212. 如图3,已知P为

14、©O的直径AB延长线上一点，于D,求证：CB平分/ DCP延长MN交©O于点D,N是 ABC与内切圆的PC切©O 于 C, CD!AB13.如图4,已知AD为©O的直径，AB是©O的切线，过B的割线BMN交 AD的延长线于C,且 BW MNh NC若AB 2血;淤，求©O的半径。图4【试题答案】一、选择题I. A 2. C二、填空题7. 90 d岳+D三、解答题：II. 由切线长定理得 BDE周长为4,由 BD0A BAC得DE= 1cm12. 证明：连结AC则ACICBV CDLAB ACBA CDBA=Z1V PC为©O 的切线，二 Z A=Z