线性代数与解析几何：第一章 行列式4

1、展开定理展开定理： 行列式行列式D等于它等于它的任意一行（列）的各元素的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘与其对应的代数余子式的乘积之和积之和.11122(1,2, );iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2, );jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn按照第按照第i行展开：行展开：按照第按照第j列展开列展开：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjij

2、i 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证把行列式把行列式D= |aij |按第按第j行展开，有行展开，有2,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 把把ajk换成换成aik (k=1,n)，即第，即第 j 行换成第行换成第 i 行，行，可可得得行行第第 j行行第第 i当当ij时，时，).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同3关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;

3、,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中4按照行展开按照行展开按照列展开按照列展开思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 5思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 21!1.njnj62222123111112312131122221231 3112121221231 312311111 1 001101 例例解解 nn

4、nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa计算从下到上，每行减去上一范德蒙行列式行的 倍，得1112131122231321 213131 311 112121221 231 31232222212121311()()( )()() nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21311232324221311222245313133111()()()()()() ()()() ()()()()()范德蒙行列上述行列式是n-1阶范德蒙行列

5、式，对其式继续降阶，得nnnnnnnijj innnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD ij等于所有差a -a 的乘积(1i,j)。n三、三、Cramer法则法则nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)(设含有设含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组一般形式为个方程的线性方程组一般形式为:其中其中 aij (i,j=1,2,n) 称为称为方程组的系数方程组的系数; bj (j=1,2,n) 称为称为常数项常数项.101111 1122121 122221 122000nnnnnnnnna

6、 xa xa xa xa xa xa xa xa x)(特别地，特别地， bj=0(j=1,2,n) 称为称为n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 .如如 所示。所示。)(由系数由系数aij(i,j=1,2,n)构成的行列式构成的行列式:Daaaaaaaaannnnnn212222111211nnnnnjjjnnjjjnjaaaaaabbbaaaaaaD2111211211121112111叫做方程组的叫做方程组的系数行列式系数行列式 (j=1,2,n)第j列列12克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则.,2211DDxDDxDDxnn 定理定理5.3 如果线性方程组如果线性方程组()式的系数

7、行列式式的系数行列式D0,那么它那么它有唯一解有唯一解,其解为其解为:推论推论 若若齐次齐次线性方程组线性方程组()的系数行列式的系数行列式D0 则它则它只有唯一零解只有唯一零解如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组()有非零解有非零解，则它的，则它的系数系数行列式等于零行列式等于零主要在于解行列式要先判数系数行列式是否不为0!13例例 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570/p>

8、57 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 1560412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx16例例 判定齐次线性方程组1234123412341234230230320230 xxxxxxxxxxxxxxxx是否仅有零解.解解: : 计算系数行列式计算系数行列式1123123131122311D21314132rrrrrr11230114047110157推论推论 若齐次若齐次线性方程组线性方程组()的系数行的系数行列式列式D0 则则它只有唯一零它只有唯一零解解171530 所以方程组仅有零解所以方程组仅有零解.11230114047110157D1144711157 21314rrrr1140327063327639 162181. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于