抽象函数问题的解题策略

1、抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型有些抽象函数问题，用常规解法很难解决，但与具体函数“对号入座”后，问题容易迎刃而解这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验，但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1若函数f(x)与g(x)在R上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)W0,则g(1)+g(-1)=解因为f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),这是两角差的正弦公式模型，又f(-2)=f(1)W0,2一则可取f(x)=sin-x3于是f(-i-i)=f(-i)g(i)-g(-i)f(i)例2设函数f(x)是定义在R上的减函数，且满

2、足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)<的解集为解因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型，又f(-3)=8,则可取f(x)f(x-2)<1x1xN1口口12xN18(一),)<，即(一)<(一)8,22256222x-2>8,解不等式，得x>5,不等式的解集为x|x>5.二、利用函数性质,抽象函数也不例外，只有充分利用题设条件所表明函数的特征是通过函数的性质反映出来的的函数的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能峰回路转、化难为易.1.利用单调性例3设f(x)是定义在(0,+8)上

3、的增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)<2.解:函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,2=1+1=*3)+*3)=f(9),由f(x)+f(x-8)<2,得fx(x-8)<f(9),V函数f(x)是定义在(0,+oo)上的增函数，则"x>0，8<x<9,不陋搦卿为x|8<x<9.2. 利用阚8性<9,例4已知函数f(x)=ax5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析f(x)的解析小含有两个参数a、b,而只有一个条件f(-3)=7,无法确定

4、a、b的值，因此f(x)仍是抽象函数，但我们注意到g(x)=ax5+bsinx是奇函数，有g(-3)=-g(3).解设g(x)=ax5+bsinx,显然g(x)是奇函数， f(-3)=7, f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7g(3)=-4, .f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5设函数f(x)在R上是奇函数,f(x+2)=-f(x),当0<x01时,f(x)=x,则f(7.5)=解由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,于是f(7.5)=f(2X4-0.5)=f(-0.5)=-

5、f(0.5)=-05例6已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=1*f(x),Mf(2007)=.1-f(x)解V.f(x)是以4为周期的周期函数，4. 利用对称性例7已知f(x)是奇函数，定义域为x|xR,xW0,又f(x)在区间(0,+oo)上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值区间是.解依已知条件作出f(x)的大致图象，如图1所示，从图象中可看出，当f(x)>0时,x的取值区问是(-1,0)U(1,+oo).例8定义在(-oo,+oo)上附函数y=f(x)在(-°0,2)上是增函数，且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),

6、f(6)的大小关系为/.解设F(x)=f(x+2),/;F(x)为偶函数,-/F(-x)=F(x),即f(2+x)=1函数f(x)的图象X于直纹x=2对称，.f(-1)=f(5),;f(x)在(-°°,2)上是土桐数，f(x)在(2,+8)上是减函数，f(6)<f(5)<f(4),即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用特殊方法有些抽象函数问题，用常规方法来解决往往难于奏效，但用一些非常规方法来求解，常收到意想不到的效果.1.利用赋值法例9函数f(x)的定义域为R,对任意x、yCR,都有f(x+y)+f(x-y尸2f(x)f(y),且f(0)w0.

7、(1)求证:f(0)=1;(2)求证:f(x)是偶函数；(3)求证：对任意xeR,有f(x+c)=-f(x)成立;求证:f(x)是周期函数.解(1)令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0),Vf(0)W0,f(0)=1.(2)令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),f(0)=1,f(-y)=f(y),f(x)是偶函数.cccc(3)分别用x+-、(c金0)替换乂、y,有f(x+c)+f(x)=2f(x+)f(-).2222cf(2)=0,f(x+c)=-f(x).由知f(x+c)=-f(x),用x+c替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),.f(x)是以2c为周期

8、的周期函数.2. 利用递推法例10设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解Vf(x)=f(x+1)-f(x+2), f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加，得f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11f(x)是定义在正整数集的函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x,yCNl),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.解令y=1, f(1)=1,f(x+1)=f(x)+f(1)+x,即f(x+1)-f(x)=x+1,则f(2

9、)-f=2,f(3)-f=3,f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加，得f(x)-f(1)=2+3+4+x, .f(x)=1+2+3+4+x=-x(x+1)(xCN-).23. 利用反证法例12已知函数f(x)在区间(-°0,+oo)上是增函数，a,bCR,若f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).求证:a+b>0.证明假设a+b<0,则a<-b,b<-a,:函数f(x)在区间(-°0,+oo)上是增函数， .f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), .f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,a+b<0不成立，即a+t>>0.例13设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)w0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立，求证：对定义域内任意x,都有f(x)>0.证明假设在定义域内存在x0,使f(x0)&l