全国高中数学联赛导引(五) 平面图形 立体图形 空间向量

1、联赛导引(五) 平面图形 立体图形 空间向量一,基础知识导引<一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明; 3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑(1),运用定义证明直线与所成的角为; (2),运用三垂线定理或其逆定理;(3),运用“若平面,则”; (4),运用“若且,则”;(5),建立空间直角坐标系,证明.<二>,空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1),(平移法)过P作,则与的夹角就是与的夹角;(2),证明(或),则与的夹角为(或);

2、(3),求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().2,求直线与平面所成的角(1),(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;(2),证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.3,求二面角(1),(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.(2),(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).(3),(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面内且于点A,B

3、F在半平面内且FBAB于B,而,.(4),(三面角的余弦定理),三面角中,又二面角,则.(5),(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为 (同类)或(异类).4,求两点A,B间距离(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求.5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离.6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3),(体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高.(4),在平面上取一

4、点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P到平面的距离为.7,求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高; (3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; (5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线,则与的距离等于P到的距离; (6)(公式法).8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.<三>,多面体与旋转体1,柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2

5、)体积(为底面积,为高)2,锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:(为底面周长,为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).3,锥体的平行于底面的截面性质:.4,球的表面积:; 球的体积:.二,解题思想与方法导引1,空间想象能力; 2,数形结合能力; 3,平几与立几间的相互转化; 4,向量法三,习题导引<一>,选择题1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92,由曲线,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则ABCDA, B, C,

6、 D,3,如右图,底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心 率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的几何体体积是A, B, C, D,4,在四面体ABCD中,设,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四 面体ABCD的体积等于A, B, C, D,5,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1, 那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是A, B, C, D,6,四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个 点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是 A, B, C, D,<二>,填空题7,正方体的棱长为,则异面

7、直线C与BD间的距离等于 .8,正四棱锥中,二面角为且,(, 为整数),则 .9,在正三棱锥中,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面 的周长最小时, ,P到截面ADE的距离为 .10, 四个球都相切,则这个小球的半径等于 .11,三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两AB 片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 .12,直三棱柱中,平面平面,且= ,则AC与平面所成的角的取值范围是 .<三>,解答题ABCA1B1C113,如图,直三棱柱中,连接, ,若,求证:ABCDMKNS14,如图,设是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥

8、, K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥的体积V的最大值与最小值.15,有一个的长方体盒子,另有一个的长方体盒子, 其中均为正整数(),并且前者的体积是后者一半,求的最大值.四,解题导引1,B 设棱长为,外接球的半径为R,内切球的半径为,则解得,有:R=1:3.2,C 设,则过A的两个截面都是圆环,面积分别是和 ,于是.3,B 在椭圆中,又,得,所求的体积4,B 过C作,以为底面,BC为侧棱作棱柱,则所求四面体的体 积等于上述棱柱体积的,而的面积,AB与CD 的公垂线MN就是棱柱的高,于是= ,因此.5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂

9、直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为 .6,D .7, 设E是上的点,过E作EH于H,所以EH面ABCD,过H在面ABCD内作HF,连接EF,所以EFBD,令,所以EF=.8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在内作高AE,则CE也是的高,故 .设则,=.,得.9, ; 将三棱锥的侧棱PA剪开,当的周长最小时,其展开图如图ABCDEAP的周长即是展开图中线段的长.易证,又PA=2AB=,故,.中,DE上的高.于是; 从P向底面作高PO.则PO=.于是.又,得.设P到截面的距离ABCDEFO为,则,于是.10, 设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知AB=6,C

10、D=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为,则O在四面体ABCD内且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中点E,连结CE,DE,则CEAB,DEAB,故平面CDE为线段AB的垂直平分面,所以O在平面CDE内,又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平分面内,故O在等腰底边CD上的高EF上(F为CD中点),易算出ED=EC=,得为等边三角形.于是EF=.而=.OE=,代入OE+OF=EF=2得,解得.11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为.12, 作AD于D,易证AD平面,所以.设,则,故.易证BC平面,故,从而,即,于是,又,得.

11、13,证明:设D,分别为AB,的中点.连结CD,及,.因为,所以四边形为平行四边形,得/.因AC=BC,于是.又D, 分别为AB,的中点,故CDAB,而在平面ABC(或)内的射影为AB(或),得CD,又已知,所以平面B,从而,又/,所以.又,得平面CD,从而得证.ABCA1B1C1SHH114,解:为了建立V与原四棱锥的关系.我们先引用下面的事实:(如图)设分别在三棱锥的侧棱SA,SB,SC上,又与的体积分别是和V,则.事实上,设C,在平面SAB的射影分别是H,.则,又,所以.下面回到原题.设,因的体积为.于是由上面的事实有.得=,于是,而由,得.则,().又得.所以(1)当时,V为减函数,(2)当时,V为增函数.所以得,又,得.15,解:由题意,得.(1)当时,由,则,矛盾!(2)当时,矛盾!(3)当时,则,即.所以的最大值为130;(4)当时,则,即.所以的最大值为54;(5)当时,得.综上所述:的最大值为130.