一元二次方程复习教案

1、课时课题：一元二次方程课题一元二次方程课时共1课时课型复习课授课人授课时间2013.4.3星期三考试目标要求1、了解一元二次方程的有关概念2、能灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况了解根与系数的关系.4、会列一元二次方程解实际问题教学分析及教学方法一元二次方程是中学数学的主要内容，既是已学知识的巩固和发展，又是后续学习的基础，一元二次方程的概念基本解法及应用都是重要的基础知识.为此通过本节课的复习巩固对一元二次方程的概念解法及其根的判别式使学生更深入的掌握，从而让学生在充分感受和经历实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释检验

2、和应用，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.教学方法:学生合作探究，教师适时引导课前准备多媒体课件,学案课前预习：知识梳理：（参考相应的数学课本，完成知识梳理）知识结构梳理（1）含有 个未知数。（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，适用于能化为 的一元。 二次方程一元二次方程（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题（1

3、） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 设计意图：以填空的方式帮助学生总结一元二次方程相关的内容，在学生充分思考、交流及查找相应课本的基础上，让学生在课前梳理本章的知识框架，为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本部分知识.预习（复习）检测题：1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 2. （2012临沂）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）A B C D 3. （2012河池）一元二次方程的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D无实数根 4. （2012成都）一

4、件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是 ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A B C D 5. （2012聊城）一元二次方程x22x=0的解是 6. （2012枣庄）已知关于x的方程的一个根为2，则这个方程的另一个根是7. 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.8.用直接开平方法解下列一元二次方程9. （2011无锡市）用公式法解方程：x²4x+2=0设计意图：通过几道简单的一元二次方程的题目进行课前检测，主要考查一元二次方程的概念、解法、应用及根的判别式和根与系数的关系.通过课前检测让学生了解一元二次方

5、程的内容.教师在课前进行批改，了解学生掌握情况.教学过程：中考要求：1、了解一元二次方程的有关概念2、能灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况了解根与系数的关系.4、会列一元二次方程解实际问题设计意图：让学生了解、明确中考对本知识点的要求，使学生复习过程中明确复习的方向.师：结合中考要求，你能结合课本总结一下有关一元二次方程的相关知识吗？生：（小组讨论、总结，结合课本总结一元二次方程的知识点）师：（指导小组交流，师生共同总结画出知识树）一元二次方程概念解法 应用直接开平方法配方法公式法因式分解法降次一般形式ax2+bx+c=0 (a 0)

6、匀变速运动问题传播问题几何图形面积问题增长率问题1、根据具体问题中的数量关系，列出方程。2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。关键是找准题目中的等量关系。重 点理解掌握难 点会根与系数的关系当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.构建知识树：设计意图：以知识树的形式帮助学生总结实数的内容，可以让学生更好的了解实数的知识框架，更好的从整体把握实数内容，使知识更加科学、系统.中考常见题型师：根据我们的知识网络，下面我们看一下常考的中考题，独立完成例1至例4，做题时注意一下几个问题：1.

7、考查了什么知识点？2.解题思路？3.做题关键是什么？生：（先独立完成例1至例4，并找四个学生黑板板书例2、例3、例4.小组交流讨论）考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程. (2)一般表达式： 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论.典型例题：例1（2012兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）Ax2+=0 Bax2+bx+c=0C（x-1）（x+2）=1 D3x2-2xy-5y2=0生1：【考点】一元二次方程的概

8、念【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案生2：解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误故选C（师生共同）点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含

9、有一个未知数且未知数的最高次数是2变式训练：1（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= 生：解：一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，a+10且a2-1=0，a=1故答案为1考点二、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次典型例题：例2.（2012安徽省）解方程：生1：【考点】解一元二次方程【分析】根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.师：解：原方程化为：x24x=1配方，得x24x+4=1+4整理，得（x2）2=5x2=,即，。生2：

10、点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数注意事项：在教学中，教师在学生完成的基础上进行规范步骤.巩固训练类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：1.（2012永州）解方程：（x3）29=0生1：解：移项得：（x3）2=9，开平方得：x3=±3，则x3=3或x3=3，解得：x1=6，x2=0类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”.

11、方程形式：如， ，典型例题：2.（2012巴中）解方程：生2：解：2（x-3）=3x（x-3）移项得：2（x-3）-3x（x-3）=0整理得：（x-3）（2-3x）=0x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题.典型例题：3.（2012临沂）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）A. B. C. D. 生3：解：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算配方法得，.选D.类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：4.（

12、2012无锡）解方程：x24x+2=0生4：解：=424×1×2=8，原方程的解为。考点三、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；求待定系数的值；应用于其它.考点四、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理.主要内容：应用：根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1） （2）（3）；典型例题：例3.（2012南充）关于x的一元二次方程x23xm1=0的两个实数根分别为x1,x2（1）求m的取值范围（2）若2（x

13、1+x2）+ x1x2+10=0求m的值.生1：【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式和一元一次方程.【分析】（1）因为方程有两个实数根，所以0，据此即可求出m的取值范围.（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1x2=3，x1x2=m1代入2（x1+x2）+ x1x2+10=0，解关于m的方程即可.生2：解：（1）方程有两个实数根，0。94×1×（m1）0，解得m。（2）x1x2=3，x1x2=m1， 2（x1+x2）+ x1x2+10=0，2×（3）m110=0，解得m=3。变式训练：1.（2012日照）已知关于x的一元二次方程(k

14、2)2x2(2k1)x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】(A) k>且k2 (B)k且k2 (C) k >且k2 (D)k且k2生2：解：方程为一元二次方程，k20，即k2。方程有两个不相等的实数根，0，（2k1）24（k2）20，即（2k12k4）（2k12k4）0，5（4k3）0，k。k的取值范围是k且k2。故选C。考点五、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：例4.（2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过

15、60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？生1：【考点】一元二次方程的应用。【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）=8800，解出即可。生2：解：60棵树苗售价为120元×60=7200元8800元， 该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）=8800，解得：x1=220，x2=80当x1=80时，1200.5×（8060）=110100，当x2=220时，1200.5×

16、（22060）=40100，x2=220不合题意，舍去。x=80。答：该校共购买了80棵树苗。（师生共同）：点评：本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键设计意图：将一元二次方程按常考的典型题型进行总结，并配以相应的变式训练，使学生对每种题型能够熟练掌握，总结归纳其解题的思想方法，并达到举一反三的目的.注意事项：在教学中，教师要组织学生通过分组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行分析，探究，形成解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律.探讨收获 课时小结师：通过本节课的复习，你都掌握了哪些数学知识，运

17、用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？ (学生先独立思考，小组交流然后由学生口答，老师重点梳理一元二次方程的解法，规范做题步骤;对于一元二次方程的实际应用让学生总结总结的方法思路)设计意图：鼓励学生对一元二次方程内容特别是做题的方法和思路进行总结，使知识更加系统、完善，形成体系.【备考真题过关】一、选择题1（2012荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A（x-1）2=4 B（x+1）2=4 C（x-1）2=16 D（x+1）2=162（2012宜宾）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（）A（x-3）2+11 B（x+3）2-7 C

18、（x+3）2-11 D（x+2）2+43（2012淮安）方程x2-3x=0的解为（）Ax=0 Bx=3 Cx1=0，x2=-3 Dx1=0，x2=34（2012泸州）若关于x的一元二次方程x24x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A k2Bk2Ck2Dk2二、填空题5（2012吉林）若方程x2-x=0的两根为x1，x2（x1x2），则x2-x1= 6（2012丹东）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为 三、解答题7（2012温州）解方程：x2-2x=58（2012湘潭）如

19、图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2设计意图：组题目为必做题，要求学生在分钟内完成.规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力.B组1.（2012乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A-1 B0 C1 D-1或12.（2012襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）3.（2012遵义）根据遵义市统计局发布的2011年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分