中考全等三角形专题种辅助线的作法

1、全等三角形问题常见的辅助线的作法也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。对称以后关系现。三线合一试试看0延长缩短可试验。延长中线等中线。【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截

2、长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、 60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相

3、等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法 构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，( 1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理.（2）可以在角平

4、分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法， 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方

5、法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图 ABC, AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是.例2、如图，ZXABC中，E、F分别在AB AC上，DEI DF, D是中点，试比场 BE+CFW EF的 大小.例3、如图，ZXABC中,BD=DC=ACE是DC的中点，求证：应用：BABD和等腰Rt ACE ,AMt DE勺位置关系及数量1、以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtBAD CAE 90,连接DEg 另|j是bc DE勺中点.探究： 关系.（1）如图 当ABC为直角三角形

6、时，AMWDE勺位置关系是 线段AMWDEE勺数量关系是；（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由. 二、截长补短1、2、如图,如图,ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD! ACAD/ BC EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,求证;AB=AD+BC3、如图,00已知在 VABC 内， BAC 60 , C 40 , P,并且AP, BS别是 BAC , ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCm，BOBA

7、,A况CD BD平分 ABC,求证： A C 18005、如图在 ABC中，AB>AC, /1 = /2,>PB-PC应用：求证;AB-AC、平移变换例1 AD为ABC勺角平分线，直线 MNLADT A.E为MNh一点, ABC周长记为PA, EBC周长记为PB .求证PB > PA.例2如图，在ABC勺边上取两点 D E,且BD=CEAB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等证1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , 4ABC的角平分线 AD,CE相交于点O,求证：OE=ODA2、如图， ABC 中，AD 平分/BAC DGL BC 且平分 BC

8、DEL AB(1)说明 BE=CFB理由；(2)如果 AB=a , AC=d ,求 AE、BE E应用:于 E, DF±AC于 F.的长.D1、如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三(1)(2)角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图，在 ABC中，/ACB直角，/ B=60° , AD CE分别是/ BAC / BCA勺 平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明

9、；若不成立，t铲明理由。旋转例2(D例1正方形AM,E为BC上的一点,为等腰Rt ABC余汩力AB的小FN绕点A转动时，求证D(2)蒋(AB=2?N四边形DECF勺gg积。iNDMQNbMi =DF A另求/ EAF的度数.+DF=C Cd上的一点,CAT点 E,F例3如图,BDCABC是边长为3的等边三巾隔题|B)DC是等腰三角形, 120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交交AC于点N,连接MN则 AMN的周长为 应用：MC且AAB于点MAN1、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD , AB BC , Z ABC 120°, / MBN 600,/

10、MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC (或它们的延长线)于E, F .当/MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜 想，不需证明.2、已知:P （1）如斜吊当22 ,PB=4,以AB为X作正方形 ABCD使P、PB=45时，用JP豉化,且其它条件不变呼,域PD的最大伯/, BC的南边AR AC位在直线上分别有两,!两点落在直线AB的两侧.应/ APB的大小.NAD为VABC外一点，且MDN

11、 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M N分别在宜线C上移动时，BM NCMN间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.一./2）（图3）图31图1)（I）如图1,当点 M N边AR AC上，且 DM=DN寸,BM NC MN之间的数量关系 是；此时Q; L （II ）如图2,点M N边AR AC上，且当DM DN时，猜想（I ）问的两个结论还成立 吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3,当Mk N分别在边AB CA的延长线上时，若AN=x ,则Q= （用x、L表示）.参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，

12、AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是解：延长AD至E使A已2AD连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4例2、如图，4ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF, 大小.AD是中点，试比较BE+CFW EF的BB D解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法）延长FD至G使FG= 2EF,/E 显然B氏FC,在4EFG中，注意到DE!DF,由等腰三角形的三线合一知 BFDCEG,E氏EF在 BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，4ABC中,BD=DC=ACE是DC的

13、中点，求证：AD平分/ BAE.解：延长AE至G使A氏2AE,连BG DG,显然 D&AC,/GDC=ACD由于 DC=AC 故 / ADC= DAC在AD* AADCG,BD=AC=DG A又 AD/ ADBN ADC+ ACD= ADC廿 GDC= / ADGADtBAAD(G 故有/ BAD=/ DAG 即 AD平分/ BAE应用：1、(09崇文二模)以的两边AR AC%腰分别向外作ABC等腰Rt ABD和等腰Rt ACE, BAD CAE 90，连接DE M 明别是BC DE勺中点.探究：AMf DE勺位置关 系及数量关系.（1）如图 当ABC为直角三角形时，AMfDE勺位置关

14、系是 线段AMf DE勺数量关系是（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.解：（1） ED 2AM , AM ED;证明：延长AMgJ G,使MG AM ,连BG则ABGC1平行四边形 .AC BG, ABG BAC 180又; DAE BAC 180ABG DAE再证： DAE ABGDE 2AM , BAG EDA延长MNgc DE于HBAG DAH 90HDA DAH 90 AM ED(2)结论仍然成立.FA交DE于点P,并连接BF证明：如图，延长CA至F,使AC FA, AM FB

15、,且 AM 1FB 2 1 . AM DE , AM -DE 2二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD!AC解：（截长法）在AB上取中点F,连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF，AB,故/AF5 90°AD/ AADC （SAS/AC氏 /AF氏 900 即：CDL AC2、如图，AD/ BC EA,EB 分别平分/ DAB,/ CBA CD过 1点 E,求证;AB = AD+BC解：（截长法）在 AB上取点F,使AF= AD连FEAD陷 AAFE （SAS/ADE= / AFE/ADE它 BCE= 18

16、0°/AFE吆 BFE= 180°故/ EC氏 / EFB FB/ ACBE （AAS故有BF= BC从而;AB = AD+BCCA±,并且 AP, BQC 40°, P, Q分别在 BC03、如图，已知在 ABC内， BAC 60 , 分别是 BAC, ABC的角平分线。求证： 解：（补短法，计算数值法）延长AB至D, 在等腰4BPD中，可得/ BD之400 从而 / BD曰 400 =/ ACP AD国 AACP （ASA 故 AD= AC又/QB秘 400 =/QCB 故 BQ= QC BD= BP从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形

17、ABCm，BOBA,AD= CD BD平分 ABC,求证： A C 1800解：（补短法）延长BA至F,使BF= BC连FD BD/ ABDC （SAS故/ DF氏 / DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DF氏 / DAF故有/ BAD廿BC氏180°5、如图在 ABC中，AB>AC, /1 = /2, P 为 AD上任意一点，求证；AB-AC> PB-PC解：（补短法）延长 AC至F,使AF= AB,连PDAB国 AAFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PO PF- PC < CF= AF- AO AB- AC应用：分析

18、：此题连接AC把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接AC过E作EF BC并AC于F点则可证AEF为等边三角形即 AE EF , CFE 120又 : AD/BC ,AEFAFE6060 BAD 120又; DEC 60 AED FEC在ADE与FCE中EAD CFE , AE ADE FCEFEBA DEF,AED FECFCAD AEC把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角点评：此题的解法比较新颖, 形的性质解决。三、平移变换例1 AD为ABC勺角平分线，直线 MNLADT A.E为M

19、Nk一点, ABC周长记为PA, EBC周长记为PB .求证PB > PA.解：（镜面反射法）延长BA至F,使AF= AC,连FEAD为ABC勺角平分线，MN LAD知 / FAE= / CAE'故有.， J FA/ ACAE （SAS-, L故 EF= CE在 ABEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACRBC=例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE, .DM=EM,.,.D

20、MNAEMA(SAS), .DN=AE, 同理BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD,相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD, .AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/B=60° , 4ABC的角平分线 AD,CE相交于点0,求证：OE=ODDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60贝叱 BAC+ /BCA=120 度；AD,CE均为角平分线，则 / OAC+ / OCA=60 度=/ AOE=

21、 / COD;/AOC=120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF.则，OAE0 AOAF(SAS), OE=OF;AE=AF;/AOF= / AOE=60 度.则 / COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD; 又 CO=CO; / OCD= / OCF.故，OCD0 AOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC 中，ADF 分 / BAC DGL BC 且平分 BC DEL AB 于 E, DF± AC 于 F.(1)说明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a

22、, AC=d ,求AE BE的长.DG®直平分BC 故BA DC有解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD DC由于 ADF分/ BAC DEXABT E, DF±AC于 F,故ED= DF故 RTADB图RTADFC(HD故有B已CF。AB+A及 2AEAE= (a+b) /2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三 角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ AC昵直角，/ B=60o , AD CE分别是/ BAC / BCA勺 平分线，AD CE相交于点F。请

23、你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，t铲明理由解：(1) FE与FD之间的数量关系为FE FD证法0: 1 AEF二 AFE(2)答：(1)中任1,在AC±截取AGF为边,ANAFG , FE FGFE FD仍然成立。DG图(第23题图)BCA的平分线图CB 60 , AD CE分别是BAC、 23 60 AFECFDAFG 60 CFG 60V 34及FC为公共边 CFG CFD FG FD FE FD证法二：如图2,过点F分别作FG: B

24、 60 , AD CE分别是 BAC、BEDF1G图13AB于点G, FHBCA的平分线可得 23 60 , F是ABC的内心 GEF 601 , FH FGBC于点HBEDGF图2又; HDF B 1GEF HDF,可证 EGF DHFFE FD五、旋转例1正方形ABCLfr, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.ABG证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形WJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又

25、 / EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DMLDN,DM,D曲另J交BC,CAT点E,F（1）当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DFC5DA解：（计算数值法）（1）连接DC若AB=Z求四边形DECF勺面积。D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CD!AB,CD平分/BCA= 900 , / EC& / DCAf 45°由于 DML DN 有/ EDN= 90°由于 CD± AB,有/ CDAf 900从而 / CDE= / FDA=故有 CD窜 AADI3 (ASA 故有DE=DF

26、(2) SaabF2, S 四 DEC= S AC=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N,连接MN则 AMN的周长为;解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交 于点F,在线段CF上取点E,使C已BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30° =90° ,/DCE=18 0 -ZACD=18 0 -/ABD=90又 BM=CE , BD

27、=CD ,CDEA BDM , ./ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=120 -60 =60° , .在 DMN 和 DEN 中，DM=DE/ MDN= / EDN=60DN=DN . DMN DEN ,MN=NE 在 DMA 和 DEF 中，DM=DE/ MDA=60 - / MDB=60 - / CDEW EDF(/ CDE= / BDM)/ DAM= / DFE=30 . DMN DEN (AAS),MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用

28、：1、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD , AB BC , /ABC 120°, / MBN 600,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于E, F .当/MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜 想，不需证明.解:(lXAB AD， ABE CBFCSAS ; ABE/CB, BE ABC120 , MBNABE CBF 30 ,1 .B

29、E(EF1BF, CF AE - BEg 2) AE CF BE EF(2)图2成立，图3不成立。AE ,连接BK证明图2,延长DC至点K,使CK贝 BAE BCKBE BK , ABE KBCFBE 60 , ABC 120FBC ABE 60(图3)FBC KBC 60KBF FBE 60KBF EBFKF EFKC CF EF即 AE CF EF图3不成立，AE CE EF的关系是ae cf ef2、（西城09年一模）已知:PA=位,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在直 线AB的两侧.如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长;（2）当/ APB变化，且其它条件不

30、变时，求PD的最大值,及相应/ APB的大小.分析：（1）作辅助线，过点A作AE PB于点E,在Rt PAE中，已知 APE, AP的值， 根据三角函数可将AE, PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定 理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到 PAB,可得 PAD PAB,求PD长即为求 PB的长，在 Rt APP中，可将PP的值求出，在 RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长 线交于F,交PB于G,在Rt AEG中，可求出AG EG的长，进而可知PG的值，在Rt PFG

31、中, 可求出PF,在Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90 ,得到PAB, PD的最大值即为PB的最大值，故当PB PP PB可求PB的最大值，止匕时P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据APB 180 APP 135 .解：（1）如图，作AE PB于点E二 AE PE、2 2Rt PAE 中， APB 45 , PA V2 BE PB PE 3在 Rt ABE 中， AEB 90ABC师正方形，可将将P B , PA PAP PB 90PAD绕点A顺时针旋转90得到/. AB ,AE2 BE2.10解法一：如图，因为四边形PAB,可得 PAD

32、P AB, PDPD P B VPP 2 PB2<22422屈；PAP 90 , APP 45 , PP 2, PA 亚P EB解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G.在Rt AEG中，可得在Rt PFG中，可得在Rt PDF中，可得(2)如图所示，将 最大值: PPB中，PB PP PB , PP 472PA 2, PB 4且P、D两点落在直线 AB的两侧 当P、P、B三点共线时，PB取得最大值(如图)3、在等边 ABC的两边 AR AC所在直线上分别有两点MK N, D为VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究

33、：当M N分别在直线AB AC上移动时，BM NC MNfc间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点 M N边AR AC上，且 DM=DN寸,BM NC MN之间的数量关系 是;此时Q ;L(II )如图2,点M N边AR AC上，且当DM DN时，猜想(I )问的两个结论还成立 吗？写出你的猜想并加以证明；(III )如图3,当Mk N分别在边AB CA的延长线上时，若AN=x ,则Q= (用x、L表示).分析：(1)如果 DM DN , DMN DNM ,因为 BD DC ,那么 DBC DCB 30 , 也就有 MBD NCD 60 30 90 ,直角三角形 MBD NCDt,因为 BD DC , DM DN , 根据HL定理，两三角形全等。那么BM NC , BMD DNC 60，三角形NCD, NDC 30 , DN 2NC ,在三角形DNMfr, DM DN , MDN 60,因此三角形DMN个等边三角形， 因此MN DN 2NC NC BM ,三角形AMN勺周长Q AM AN MNAM AN MB NC AB