《复变函数与积分变换》课程教学大纲

1、复变函数与积分变换课程教学大纲课程名称：复变函数与积分变换 课程代码：ELEA3035英文 名称： Function of Complex Variable and IntegralTransformation课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第3学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：周纯大纲审核人：余雷 一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容, 指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：复变函数与积分变换的理论和方法广泛应用

2、于电 气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论 和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要 的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业 而言，是学习自动控制原理、现代控制理论、线性系统理论、 信号与系统等许多相关课程的必须先修课程之一。教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的 基础上，系统的掌握复变函数与积分变换中必要的基础理论和常 用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变 函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步 培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地 提升分

3、析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、 专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要 相当水准的理论知识基础。本课程的具体教学目标如下：1 .熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、 留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法 和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。2 .大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为 后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的 数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。3 .基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有 机结合，构建相对更加复杂

4、的非线性系统的数学模型，为以后专业课 上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后 解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。教学目标与毕业要求的对应关系：毕业要求指标点课程目标对应关系说明毕业要求1:工程知识1-1握专业所需的 数理知识，能用于专 业问题的理解、建 模、分析与求解教学目标1能比较熟练运用复变函 数、积分变换的方法，大 致了解理想典型电子线 性器件的时域和频域的 数学模型。毕业要求2：问题分析2-1运用数理和工 程知识进行专业领 域复杂工程问题中 的内涵识别与理解 分析教学目标2了解理想典型电子线性 器件的时域和频域的数 学模型，为复杂的线性系 统的数学模型分析提供

5、 理论基础。教学目标3基本理解时滞环节的频 域表达形式，并且对与线 性系统有机结合、构建相 对更加复杂的非线性系 统的数学模型有所认识。二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内 容和要求，指明重点内容和难点内容。重点内容：?;难点内容：？1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）1.1复数知识点：复数的概念，共胡复数及复数的四则运算L 2复平面及复数的三角表达式知识点：复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的 三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。1.3 平面点集知识点：邻域和开集，区域、简单曲线，连通域，无穷远点1.4 复变函数知识点：复变函

6、数的概念，复变函数的极限与连续性要求：掌握复数的概念（复数是向量）及其各种不同的表示方法, 了解各个表示方法的特点和适合使用的场合；复数的四则运算、乘方、 开方运算及其几何意义；能够在复平面上找到由代数或三角表示复数 的坐标所在；共胡复数及其运算性质；复变函数的概念，复变函数的 极限和连续的概念（与实函数做比较）。了解：复平面的概念，平面点集的概念，复变函数的极限和连续 的概念。理解：复变函数的概念，共规复数及其运算性质。掌握：复数的概念及其各种表示法，复数的四则运算、乘方、开 方运算及其几何意义。重点内容：复数的四则运算及乘累与开方的运算，复数的表示法, 复变函数的概念。教学难点：复变函数的

7、极限与连续性。2、解析函数（6学时）（支撑教学目标1）2.1解析函数的概念知识点：复变函数的导数，解析函数的概念与求导规则，函 数解析的充要条件2. 2解析函数与调和函数的关系知识点：调和函数，共匏调和函数3. 3初等函数知识点：指数函数，对数函数，累函数，三角函数在复数域下的概念及解析性要求：掌握函数解析的充要条件，柯西-黎曼条件判别函数解析 性的方法，解析函数与调和函数的关系。了解：调和函数的定义，初等函数的定义及解析性。理解：复变函数导数的概念、运算性质及求导方法，解析函数的 概念。掌握：函数解析的充要条件，用柯西-黎曼条件判别函数解析性 的方法，解析函数与调和函数的关系。重点内容：解析

8、函数的概念，函数解析的充要条件，解析函数与 调和函数的关系。教学难点：解析函数的概念，函数解析的充要条件。3、复变函数的积分（6学时）（支撑教学目标1）3.1复变函数的积分知识点：复变函数积分的定义，基本性质，计算方法3. 2柯西-古萨定理知识点：柯西积分定理，复合闭路定理，利用原函数求解析函数的积分4. 3柯西积分公式知识点：柯西积分公式，高阶导数公式要求：掌握复变函数积分的定义，基本性质和基本的计算方法； 原函数的概念，如何利用原函数求解析函数的积分。柯西积分定理， 柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。了解：柯西积分定理、柯西积分公式、复合闭路定理的证明。理解：复变函数积分的概

9、念和性质，原函数的概念，利用原函数 求解析函数的积分。掌握：柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路 定理的计算。重点内容：柯西积分定理，柯西积分公式，复合闭路定理及其应 用。教学难点：复合闭路定理及其应用。4、级数（6学时）（支撑教学目标1）4.1复级项数的基本概念知识点：复数项级数的概念，复变函数项级数的概念及其收 敛的判定4. 2幕级数知识点：阿贝尔定理，收敛半径的求法5. 3泰勒级数知识点：泰勒展开定理，直接法，间接法将函数展开成泰勒展开式4.4罗朗级数知识点：罗朗定理，将函数在不同环域内展开成罗朗级数要求：掌握复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数 项级数收敛域与和

10、函数的概念，阿贝尔定理，幕级数在其收敛圆内的 性质。鬲级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗展开 式的方法。了解：复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级 数收敛域与和函数的概念，幕级数在其收敛圆内的性质。理解：阿贝尔定理，泰勒级数概念，罗朗级数概念。掌握：塞级数收敛半径的求法，将函数展开成泰勒展开式、罗朗 展开式的方法。重点内容：泰勒级数，罗朗级数。教学难点：间接法求简单函数的泰勒展开式，在不同环域内将解 析函数展开成罗朗展开式。5、留数定理（6学时）（支撑教学目标1、2）5.1零点与孤立奇点知识点：孤立奇点的概念，判别，零点与极点的关系5. 2留数定理知识点：留数的计算

11、方法，留数定理及其应用6. 3留数理论在实积分中的应用知识点：不同的三类实积分的计算要求：掌握零点、孤立奇点以及孤立奇点的分类及判定方法，零 点与极点的关系。留数的概念及计算方法，留数定理及其在定积分计 算中应用。了解：孤立奇点性质的证明，留数在定积分计算中的应用。理解：孤立奇点的概念，函数在孤立奇点处留数的概念。掌握：孤立奇点的分类及判定方法，留数的计算方法，留数定理 及其应用。重点内容：孤立奇点的概念，留数的概念及计算方法，留数定理。教学难点：孤立奇点的判别，留数在定积分中的应用。6、傅里叶变换（4学时）（支撑教学目标2、3）1.1 傅里叶变换的概念与性质知识点：傅里叶积分定理，傅里叶变换

12、，单位脉冲函数及傅 里叶变换6. 2傅里叶变换的性质知识点：线性性质、位移性质、微分性质、积分性质、乘积 定理、能量积分、卷积定理6. 3傅里叶变换的应用知识点：傅里叶变换应用的举例要求：掌握傅里叶变换、傅里叶变换的逆变换的定义以及相关的 性质和定理。典型时域信号的频域表达式，大致有个一一对应的概念。了解：函数的定义，卷积定理。理解：傅里叶变换的定义及傅里叶积分公式。掌握：函数的基本性质及其傅氏变换，傅氏逆变换的基本性质。重点内容：求傅氏变换的方法，求傅氏逆变换的方法，傅氏变换 的基本性质。教学难点：求傅氏变换和傅氏逆变换的方法。7、拉普拉斯变换（4学时）（支撑教学目2、3）7. 1拉普拉斯变

13、换的概念知识点：傅里叶变换的局限性，拉普拉斯变换的定义与存在性定理，拉普拉斯逆变换公式7. 2拉普拉斯变换的性质知识点：线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟 性质7. 3卷积及其性质知识点：卷积的概念，卷积定理7.4拉普拉斯变换的应用知识点：拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用举例要求：掌握拉氏变换、拉氏变换的逆变换的定义以及相关的性质 和定理，利用留数计算拉氏逆变换的方法以及拉氏变换在求解微分方 程中的应用。大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模 型，为后续课程比较复杂的线性电系统或者比较复杂的线性力学系统 的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。进一步如果 有可能

14、，基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统 有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业 课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以 后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。了解：拉氏变换在求解微分方程中的应用。理解：拉氏变换的定义，反演积分公式。掌握：拉氏变换的性质，利用留数计算拉氏逆变换的方法。重点内容：拉氏变换的性质，拉氏变换的应用。教学难点；利用留数计算拉氏逆变换。三、教学方法主要通过实函数与复函数的对比，引导学生自己发现两者之间的 联系和不同，从而总结出复变函数的一些特征和结论。以此培养学生 分析问题解决问题的能力，培养学生通过己经解决过

15、的问题分析出未 知问题的规律以及症结所在。在积分变换的教学过程中，主要通过由 傅里叶变换得到拉普拉斯变换的特征和性质。从而培养学生解决问题 的能力。让学生知道解决问题的一般方法：由特殊现象到一般规律， 再由一般规律来得到特殊情况的解决方法。传统教学手段与现代教学 手段相结合，由于总学时的限制，以传统教学手段为主，采用多媒体 辅助教学的教学手段。在教学方式上，根据具体教学内容，综合运用 课堂讲授和演示、课堂讨论、课堂练习、发现学习法和自学指导法， 通过引入问题和启发式教学，使学生更加明确教学内容的知识体系， 引导学生主动学习，激发内在学习动机，提高课堂的积极性。在教学 过程中，引导学生发现问题，

16、思考解决方案，为后续教学内容作铺垫。作业是本课程的主要实践环节，每次课程均应有相应的作业作为学生的练习。作业分为两种类型：一种为必做题，另一种为选做题， 学生根据自己的实际情况选择做题。辅导答疑方式有随堂答疑、作业集中答疑、QQ或WE CHAT答疑、 E-MAIL答疑和定点、定时间的答疑，期中考试、期末考试前分别安 排一次集中答疑。在教学方法的实际执行过程中，每个教学环节都应具有明确的目 的性。同时，以上教学方法需要根据教学过程中的实际效果、学生对 知识点的掌握和应用情况不断改进。教学效果不好、学生对知识点理 解程度不高时，应适当调整教学方法,适当增加演示法或实验训练法, 或在讲授后续教学内容时，引导学生前后联系，结合前置难点内容进 行讨论，强化知识掌握。在学生对知识掌握情况较好，系统性较好、 实验训练效果较好的情况下，适当提高教学内容或实验内容