专题01空间几何体专题复习

1、ruize专题一:空间几何体复习指导本重点包括柱、锥、台、球的概念、性质、表面积与体积，直观图与三视图，这些是立体几何的基础,也是研究空间问题的基本载体，所以是高考考查的热点。知识框架1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图正福图广三歌叫,福图I保福图科二都3、空间几何体的表面积和体积甑帆翻：£=2第十加工醍 it； $=打%/ 德二的献班君二时，+M +产+力体积一样做I做二人用-螂的鞫:”/一台触I触?二产=# .而"+3卿I脾f"解一、考查形式与特点1、本章内容多以客观题出现，考查基本知识，对空间几何体的特征与性质的理解，三视图和直观图，几何体表面

2、积与体积的计算等。三视图考查特点：一是给出空间图形，选择其三视图;是已知其中两种三视图，画出另外一种视图；三是三视图与面积体积计算结合在一起考查。2、球体在近几年的高考中出现频率较高，特别是棱柱、棱锥中球的内切、外接问题，在复习时更要注意多练习相关的题目。对球中的体积、表面积、球面距离等问题也要进行重点掌握。3、培养与发展考生的空间想象能力、推理证明能力、运用图形语言进行交流的能力。考查空间想象能力及空间模型的构造能力。二、方法策略1、 “化整为零”是本章的基本思想。将一个复杂的几何体分割成若干个常见的熟悉的几何体，或者把几个简单的几何体组合成一个新的几何体，目的在于化繁为简，寻求解题的捷径。

3、立体几何和平面几何有着密切的联系，空间图形的局部性往往可以透过平面图形的性质去研究，利用截面可以把锥体中的元素关系转化为三角形中的元素关系。2、 “以直代曲”的思想方法即通过空间图形的展开将立体几何问题转化为平面几何问题，曲面问题转化为平面问题，如在推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环来解决。3、三视图之间的投影规律为：正、俯视图一一长对正；正、侧视图一一高平齐；俯、侧视图一一宽相等。三视图是新增内容，是高考考查重点，它能极大培养学生的空间想象能力与感知能力，熟悉常见简单几何体三视图在数量上的关系，善于将三视图中的数量关系与原几何体的数量关系联系起来，

4、进行相关的计算。4、球的表面积与体积的计算的关键是求出球的半径，然后再利用表面积公式及体积公式求解. 球的表面积与体积问题常置于多面体的组合体中，解答时要充分利用切、接点正确作出过球心截面，从而使空间问题转化为平面问题，再利用球的半径与多面体的元素的关系求解. 特别要注意的题型是球与长方体、正方体的组合体.5、解决问题的重要手段：截、展、拆、拼（1） “截”是指截面，平行于柱、锥、台底面的截面，旋转体的轴截面是帮助我们解题的有力“工具”。（2） “展”指的是侧面或某些面的展开图。（3） “拆”指的是将一个几何体拆成几个几何体，比如，探求三棱锥的体积公式还有一种方法是将一个三棱柱拆成三个等体积的

5、三棱锥。（4） “拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中去，比如，求三棱锥体积公式，既可用上面“拆”的方法，也可用“拼”的方法。三复习指导1 、在正棱锥、台体中，要利用直角三角形（高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形、高、侧棱于底面外接圆的半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及底边一半组成一个直角三角形，侧棱、斜高与底面一半组成一个直角三角形），进行有关计算。2、解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二侧画法的规则，关键是确定直观图的顶点或其他关键点，因 此，尽量把定点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。3、求柱、锥、台的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件

6、，底面积一般可由底面 边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。4、在复习中应注意对简单组合体的概念、性质以及面积、体积公式的理解和运用， 在面积与体积的计算中,应以棱锥和不规则几何体的表面积、体积计算为主，注意分割与补体等思想方法的灵活运用，5、加强数学思想方法的训练。转化、化归思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想， 在复习中考生应注意培养化归、转化意识，掌握常见的化归、转化方法。如：等积转化，立体几何问题向 平面问题转化等，复习本章时还要注意加强阅读能力、理解能力的训练。另外还要注意识图、理解图、应 用图的能力的长期培养，做题时多画、多

7、看、多想，在训练中，还应变换图形的位置角度，克服“标准图” 带来的思维定势，真正树立空间观念。典例剖析1.三视图与直观图例1、已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2, 4, 4,试求此线段的长度。【分析】能正确画出对应线段的三视图是解决此题的关键。【解析】如图想鼠出线段卸入所在的空间几何体是长方体世8-4为仁1。一可得其正视乳俯视图”侧视图分别为如出谩长方体三条棱长分别为%M心则有。工a2 =16 ； b2 +c2 =16,从而得 JLD=+1 = 372.【点评】能够把三视图的投影面移到对应的空间几何体上是画三视图的一种有效方法。例2.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰

8、长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）,3【答案】B【解析】本题考查根据三视图画出实际物体，同时考查几何体体积的计算。根据三视醺口，物体是圆锥体 通过高线与底面中心所截的半周锥根据已知如：底面半径UL高h=石，所以 v = lxlxl2x/3= 所以选择“2 36【点评】本题考查了三视图的知识，解决本题的关键是由三视图明确是怎样的一个几何体，同时要熟记圆 锥的体积公式。2 .几何体表面积、体积的计算Vl,V2例3三棱柱ABC AB1C1中，若E、F分别为AB AC的中点，平面EBCi将三棱柱分成体积为的两部分，那么V1：V2=【答案】7: 5【解析】设三棱柱的高为

9、h,上下底的面积为 S,体积为V,则V V1 V2 Sh,因为E、F分别为AB AC的中点，1八 1cle 八1八 7c所以 SAEF=SV1 一 h(S -S JS S) Sh,4 ,34,412V2 Sh V1 2sh,所以 V1 : V2 = 7： 5.12【点评】 解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系，最后用统一的量建立比值得到结论即可 .例4.如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图（ 2）水平放置时，液面高度为 20cm,当这个几何体如图（3） 水平放置时，液

10、面高度为 28cm,则这个简单几何体的总高度为（）（）30cm C . 32cm D . 48cm【分析】求解本题抓住解题关键：无论如何放置，水的体积是不变的。根据这点结合体积公式就可以求解。【答案】A【解析】谩简单几何体的总高度为国半径较大的僵I柱的高为瓦则半径较小圆柱的高为H-L木朗居等体积 法知：身顽十落（2。一府三世H-初十9双28-衣十纺。解得:探=252济一20甚,解彳导；M29皿4所以.选择A3 .考查空间几何体与线、面关系得交汇例5:两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八

11、面体称为正方体的“正子体（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE与CF所成的角；（2）问此正子体的体积 V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围.【解题思路】求异面直线所成角一般通过平移转化为平面角解决，或利用向量法也是求解这类问题的重要 方法，可以使问题转化为代数运算解决。第二问通过设出边长，可以列出关于体积的目标函数，最终转化 为二次函数来解决。1解析】 记正方体为何'记模皿中点为尸，时叫中点为色 处PQHFCD鼠HFQ,所以m “尸C ,异面直线刃封与CF所成的角即为NAf/JE又因为口£=皿八=皿1=千，故上讶火与直=&am

12、p;>* ,异面直线心后与3所成的角为&）*正子体体积不是定值.超期CD与正方体的截面四边形为/JTCTT，设= x （0 M *，1）则Wx2 221 21AD x (1 x) 2(x 一)一22,21故 SabcdAD -,12，" 6 31111二SABCD h 2二SABCD二2-SABCD3 323【点评】本题考查了组合问题，这类问题一般涉及两类几何体组合在一起，由于组合体能考查学生更多的几何体知识，能够更好考查空间想象能力，符合大纲能力要求的“空间考查能力”，组合体已成为近几年高考命题的新热点。需要抓住组合体之间的联系，把空间问题转化为平面问题解决是处理空间

13、几何问题常见的方法。【创新题求解方法】一.公式法例1 （2018渐课标I）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O, Q,过直线OQ的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A. 12 戏兀 B. 12兀 C. 8J2 兀 D. 1071【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积.【答案】B工解析】设周柱的底面直径为 电则高为双，圆柱的上、F底面的中心分别为口】，6,过直线0】5的平 面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形可得：41g,解得R=后醐友圆柱的表面积为；加也隈2十纵5加x2=12正，故选：B.【点评】本题考查圆柱的表面积

14、的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，解决本题的关键是求得圆柱的底面半径和高。再利用公式求得表面积。二.等体积法等积变换法：相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变），等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。例2 （20187W京建邺区一模）如图，直三棱柱ABC- A1B1C1的各条棱长均为 2, D为棱BC1上任意一点，则三棱车B D- ABC的体积是【分析】由已知可得三棱柱 ABC- ABC为正三棱柱，分别求出三角形BCD的面积及Ai到平面B

15、CCB的距离,再由等积法得答案.【解析】如图，由题意可知，三棱柱ABC- ABC为正二棱柱.如图，D为棱BiCi上任意一点，则SVBCD1 222 2, Ai到平面BCCB的距离d= 73 ., VD ABC VABCD故答案为：2-i3【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查利用等积法求多面体的体积，本题就是根据变换底面和高来证明相关的等量关系的.在三棱锥中，用换底面（同时也换高）的方法，常常能把复杂问题简单化、直观化.三割补法例3 （2018?安徽模拟）如图1所示是一种生活中常见的容器,其结构如图2,其中ABCD矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且 AD1平面 CDEF现测得 AB=20c

16、m AD=15cm EF=30cm AB与EF间的距离为 25cm,3则几何体EF- ABC而体积为 cm .A- DCE A- EFC与 BAFC的体积,【分析】所求几何体是非规则几何体，把几何体的体积分解为三棱锥 然后利用等积法求解.【答案】3500【解析】如图,连接ACEC, AFjAD1平面GDEF,，过 D 作 DG_LEF,连接 AG, fflij AG1EF,'.,AD=1S? AE 与EF 间的距离 AG=25,.DC与EF间的距离DG=内于二谆=20 .在等腰梯形EFCD中,3=新，AB=DC=20,.iS-joj = ； 乂2。工20 = £00,足谢=乂

17、30区20=300：.,也皿=L200Ml5 = 1000，r 舸=1x3(X)x15 = 1500， 工- qq- -££ k- BrTj'1'%-jjc =%3B =匕上跖=-xl500 = 1000 .3 几何体 EF ABC而体积为 Vef abc=VA dce+VA efc+Vb af(=1000+1500+1000=3500cm.故答案为： 3500.EC向上折起，使 A B重合于点P,则P- DC棱锥的外接球的体积为（）【点评】本题考查利用等积法求多面体的体积，考查割补法在求解不规则几何体中的巧妙运用。四构造法 例4如图，在等腰梯形 ABC邛,

18、AB=2DC=2 / DAB=60 , E为AB的中点，将 ADE与 BEC分另沿EQ2427【答案】C【解析】根据题意折彝后的三棱锥ADAE是正四面体j它的犊长为b由此正四面体可以构造正方体，如图所示,因为正方体的接长是*,所以正方体的体对角线长是乎,正方体的外接球也是正四面体的外接球,由球的半径R=S .可得外接球的体I哂:故选;C. g【点评】通过构造长方体或正方体，使得分散问题集中在一个特殊的空间几何体中，使得所求问题直观化、 简单化。【创新测试题】选择题1.将边长是2的正方形以其一边所在直线为旋转轴绕转一周，所得几何体的侧面积（A. 2B.C.D.【解析】边长是2的正方形，绕其一边旋

19、转一周得到的几何体是圆柱，则所得几何体的侧面积是2.一个球的表面积是16k,那么这个球的体积为（B.323C. 16D.24【解析】一个球的表面积是16兀，所以球的半径为:2;那么这个球的体积为:233233水平放置的 ABC由“斜二测画法”画得的直观图如图所示，已知 A'C' 3,B'C'3AB边上的中线2(D) 2【解析】直观图中 A'C' 3,B'C' 2,所以RtABC中，AC=3,BC=4,由勾股定理可得AB=5,则AB边上的中,、一5线的实际长度是524.正四面体、正方体的棱长与等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的高及

20、球的直径都相等则哪一个表面积最小（）A.球B .正四面体 C .等边圆柱D .正方体【答案】B【解析】正四面体、正方体的接长与等边圆柱（底面直径和高相等的图柱）的高及球的直径普阱瞪，设为:2,所夙正四面体的表面积为：4乂¥乂2工=4<5,4正方体的表面稹为t 6X=24等边圆柱的表面积为：8江得冗=16几球的表面积为，|xxZ3=|f显然正四面体的表面积最小；故选B5 .下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）-站A. 34 6.5B. 6 6J5 4:3C. 6 6.5 4.13D. 17 65【答案】A【解析】由三视图可失耻tn何体为：底面是长员宽2的j邸，顶点在

21、底面上摄皆是，底面矩形边长为6的一边的中点，目此四棱链的高为丸 所以其表面积为：622-25-46-6 2而=34 6而.故选 A. 2226 .如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C 口 E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母 A B、C对面的字母依次分别为（）【答案】DD. E、D、F【解析】第一个正方体已知 A,B, C,第二个正方体已知A, C,D,第三个正方体已知B, C, E,且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是 E, B对面标的是D, C对面标的是F.故选D.7已知棱长为2的正方体（上底面无盖）内部有一个球，与其各

22、个面均相切，在正方体内壁与球外壁间将满水，现将球向上提升，当球恰好与水面相切时，则正方体的上底面截球所得圆的面积等于（3A.9B.2(6)9C.D.上=2，.球的半径【解析】由题造，水的体积V2m-把mF =8-把一设球恰好与水面相切时,球向上提升则货 33.正方体的上底面截则得圆的面机中.故逐B.8.如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE勺体积为（）D.【解析】多面体ABCD叨四棱锥，利用割补法可得其体积9.将一张边长为2放置，若正12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的

23、中心）模型，如图四棱锥的正视图是正三角形（如图3）,则正四棱锥的体积是（33364 ；2cm33【答案】C四棱锥的底面边长为 4夜，.四棱锥的高为-V 32 2V6 V6cm3,故选：C. 3310.已知三棱锥 D ABC 中，AB=BC=1 AD=2,确的为()A.表面积是 S=-(>/5 2& 3)B.2C. 体积为V=1D.23 4亚 2J6, 四棱锥的体积BD=/5 , AC=/2 , BCLAD则关于该三棱锥的卜列叙述正表面积S+(V5+2/2+2)，一,2体积为V=23【解析】图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为 x,又正四棱锥的正视图是正三角形，正四棱锥的斜

24、高也为x,由图1得x - 6J2,解得x 4f2 ,即正【答案】Aruize【解析】如图：AD=2, AB-1, BD-括，满足AD '+AE'=SD，.WJAE）又 ADJBCj BCnAB=B_,AD坪面 AEC,AB=BC=17 AC=0j /abJbc, .bc呼面dab.【答案】A.三桂铤的表面积3=1父2父1十:父1父1 + :父2X点+ :）1父5 = （/ + 2”正+3）一 22 d22体积¥= 131工1 x2=l.故选：A,6311.如图，在直三棱柱 ABO A1B1G中，E是AB的中点，D是AA的中点，则三棱锥 D- BGE的体积与三棱柱ABC

25、- A1B1C1的体积之比是（）A.14B.C.D.ruize【解析】阻DE = $出6J耳D £磔”又正是AB的中点门D是AAi的中点门.Wjazrg 5乩国Szjxm ，又晒；）回耳= SA3阿,Saea =2 §在乜耳, 333 11 S皿DF=X SM昆,匕口吗=彳%-44 =*/手三般',三接锥D-B1C1E的体积与三粮柱ABC-AiBiCj的悻积之比为1： 4.12 .如图，正方体 ABC。A1BC1D中，点P为线段AD上一动点，点 Q为底面ABCg （含边界）一动点,为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）DlC?BA.棱柱B.棱

26、锥 C.棱台D.球【答案】A【解析】: Q点不能超过边界，若 P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F,移动Q点，则此时 M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把 P点从A点向上沿线段 AD1移动，在移动过程中可得 M点轨迹为正方形，最后当P点与D点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A13 .长方体ABC。ABQD中截去一角 B - AiBC,则它的体积是长方体体积的5【答案】56【解析】设长方体的三度为：a,b,c,则长方体的体积为：abc,截去一角B-AiBC的体积为：abc= abc, 3 26- 5所以截去一角 B - AiBC后的体积与长方体体积的比为：5

27、6故答案为：上。14 . 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。【答案】（8） 3解析由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱铤的高都为小,半圆锥的底面半径为3四雌的底面是边长为2的正方形几何体的体积V=回9热再二忑抵珏*会小-.故白案力士(B+笈)志15 .已知正方形ABCD AB=2若将ABD沿正方形的对角线 BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中,四面体A- BCD的体积的最大值是【答案】2/2【解析】三棱锥 A- BCD的底面为 BCD面积为2,易知当平面ABD垂直于平面BCD寸，该三棱锥高为 OA最大，体积为1 2 2 2-2 .故答案为：2-2

28、33316 .将长、宽分别为 4和3的长方形ABCDg对角线AC折起，得到四面体 A- BCD则四面体 A- BCD的外接球的体积为【答案】125【解析】由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，长宽分别为3和4的长方形ABCDg对角线AC折起二面角，得到四面体 A- BCD则四面体 A- BCD勺外接球的半径，是1 _5 AC ,所求球的体积为:22(5)2 .故答案为:26.解答题12517.如图所示是一个半圆柱 OO与三棱柱ABC- A1B1G的组合体，其中，圆柱 OO的轴截面ACCA1是边长为4的正方形， ABC为等腰直角三角形，AB±BC试在给出的坐标纸上画出此组合体的

29、三视图.【解析】由题意可知几何体的正视图与左视图都是中间有一条线段的矩形, 俯视图是半圆与等腰三角形组成，如图：正龌左祝图18.底面边长为2的正三棱锥P-ABC ,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图.求 P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V .1解析】,由题得，三棱锥产一如C是正三棱锥，底面&4C是边长为2的正三角形2分JT，由题得，ZABC-XBCA = ZCAB =-, 3="AB ="#C = yCB =ZPAC = ZCA4 分尺二4氏C三点恰好在耳.月上构成的叫马耳的三条边上JT，“RA=qAB = ZPRC =ZJCB = ZP,AC = ZfCA

30、=-二 4K =4豆=%= 5C=4C=舄/=27 分 PP2 P1P3 P2E 4,三棱锥P ABC是边长为2的正四面体.如右图所示作图，设顶点P在底面ABC内的投影为O,连接BO,并延长交AC于D，D为AC中点，。为 ABC的重心，PO 底面ABC 9分22 “32,台一11 c c 32,62.2八BO BD , PO , V 22 12分3333 223319 .某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为 10cm的正方体，上面是底面直径为4cm,高为10cm的圆柱.(I)求该零件的表面积；(n)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌 0.11kg,问制造1000个这样的零件，需要锌多少千克？(注： 取 3.14)【解析】(D零件的表面积(4分)=725 6 (cm1)=0m256m J该零件的表面积。0E1，6分(ID电镀1口四个这种零件需要用的锌为0.07255x0.11x1000. (8)=79816所以制造1皿。个这样的零件,需要锌TM16千克.(10分)20 .已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图是等腰直角三角形，俯视图是直 角梯形。(1)证明：BN 面B