专题14排列组合真题汇编与预赛典型例题(解析版)

1、word可编辑文档全国高中数学历届（20092019）联赛与各省市预赛试题汇编专题14排列组合真题汇编与预赛典型例全国联赛真题1.【2019年全国联赛】将6个数2, 0, 1, 9, 20, 19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为 .【答案】498【解析】所有首位非。的8位数：6!-5!2、0相邻的不同8位数：1、9相邻的不同8位数：2、0与1、9均相邻的不同8位数：亮故所求的8位数个数为：。41（6!-5!）-L+=498, J 222!2!2.【2011年全国联赛】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每 个项目都

2、有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）.【答案】15000【解析】由题意知满足条件的方案有两种情形：L有一个项目有3人参加，共有。x 5!-。乂5! = 3600种方案；2 .有两个项目各有2人参加，共有X 5!-义5!=11400种方案.故所求的方案数为3600+ 11400 = 15000.故答案为：150003 . （2017年全国联赛】将33X33的方格表中每个格染三种颜色之一，使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两 格的颜色不同，则称其公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值。【答案】56【解析】记分隔边的条数为L首先，将方格表按图分成三个区域

3、，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。word可编辑文档11161711111733此时，共有56条分隔边，即L=560其次证明:LN56。将方格表的行从上至下依次记为41M2,列从左至右依次记为员尻3。行4中方格出现的颜色数 记为列瓦中方格出现的颜色个数记为就瓦）.三种颜色分别记为对于一种颜色勺设Mj）为含 有卬色方格的行数与列数之机L行含有色塔:、0,否解类似地定义S（%c）2 =（6（4冯）+网民内）二2一九匕）由于染q色的格有332=363个,设含有q色方格的行有a个、列有b个,则q色的方格一定在这a行和b 列的交叉方格中。从而,ab 363所以九（勺）=a + b 2yab 2,36

4、3 38 = 九（cj 390 = 1,2,3） 由于在行片中有ma）种颜色的方格，于是,至少有M&）-1条分隔边。类似地,在列尾中,至少有就可）-1条分隔边。则1 坞（MAJ 1） + S?J1（nW-）-l）=+ 似皖）- 66 二2 几-66j=1下而分两种情形讨论.1.有一行或一列所有方格同色。不妨设有一行均为J色则方格表的33列中均含有J色的方格，又J色方格有363个，故至少有11行含有Q色7word可编辑文档方格.于是， 11+ 33 =44由式、得L nCCi) + n(c2) + n(c3) - 66 44 + 39 +39 - 66 二 56(2)没有一行也没有一列的所有方格

5、同色.则*J任意i I 2m(瓦) 2,从而，由式知；L W(n(4)十篦(氏)-66 35x4- 66 = 66 56 t=l综上，分割边条数的最小值为56.4. 2016年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平而上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【答案】15【解析】以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图G.下而证明：图G的边数不超过15.设图G的顶点为42,，%o,共有k条边，用de虱/底示顶点叫的度.若deg(i：J 三 3 对1= 12均成立，则k = degfr：) 4.不妨设deg(%) = n24

6、,且也与，匕,小+均相邻.于是，九%.“,4+1之间没有边，否则，就形成三角形.从而，%,为，”，外H之间恰有n条边.对每个/(n+2Mjwl0)至多与巴,吗,，r中的一个顶点相邻(否则，设%与外、%(2三，Kt二乳+1)相邻，贝%、与、外就对应了一个空间四边形的四个顶点，这叮规设条件矛盾).从而，工与+2心+打，%之间的边数至多为10 -(乃+1) = 9 一九.在4+22仙?，外这9 一m个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有W斗条边.因此，图G的边数为,、f(9-n)2lk n 4- (9 - 7i) + =9“产三9 +用=15.如图所示给出的图共有15条边，且满足要求.综上

7、，所求边数的最大值为15.5.【2010年全国联赛】一种密码锁的密码设置是在正兀边形乙乂2,，4的每个顶点处赋值。和1两个数中的 一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个 相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？【答案】当汴为奇数时，有3n+1#：当九为偶数时，有3n+ 3种.【解析】对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上Q：若颜 色不同，则标上瓦若数字和颜色都相同，则标上c.于是，对于给定的点儿上的设置（共有4种，按照边 上的字母可以依次确定点外，4,，4t上的设置为了使得最终回到4时的

8、设置与初始时相同，标有。和b的边 都是偶数条.所以，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a、b、c使得标有就的的边都是偶数条的方 法数的4倍.设标有a的边有2t 0i ）条，标有b的边有2J （0工片号）条选取力条边标记Q的有倚种方法，在余下的边中取出“条边标记b的有第C；二种方法，其余的边标记C.由乘法原理知共有种标记方法 对J求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为这里，约定备）=1.当九为奇数时，几一2ZO,此时，2,J=0代入式中得八篦）=4乏&2-21阴=22 c啬= Sfc=02n-fcC + ：=。2九*（一1） C（2+ 1 尸 + （2 - 1尸= 3 + L当

9、律为偶数时，若i0,0故。0.4a4a因此，这样的二次函数有禺 Ai = 12个.若顶点在第三象限，则有一总0, -?0,0.这样的二次函数有近=12个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有星志+掰=24个.故答案为：244 .【2018年湖南】(|%|+日 2)，的展开式中常数项为.【答案】-20【解析】因为(巧玲- 2 y=(炳一品所以n=(-i尸砥师乂言y=-20.故答案为：-205 .【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，mn，4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m +兀二40的数组(m, n)的个数为.【答案】3【解析】记”取

10、出两个红球”为事件A, “取出两个白球”为事件B, “取出一红一白两个球”为事件C,则P=昌 P=寻 P(C)= 守 匕1+匕Lmrn依题意得P(4) + P=P(G，即鬣+得二盘玛.所以m + n=(m-n)2,从而m +九为完全平方数.又由m n 4 Rm + n 40,得9 三 m +n w40.Mth + n = 9. rm + n = 16, fm + n= 25, fm + n = 36, m-n = 3,或 = 或 = 或 lm-n = 6, 解之得(m, n) = (6, 3)(舍去)，或(10, 6),或(15, 10),或(21, 15).故符合题意的数组(m, n)有3个

11、.故答案为：36 .【2018年河南】将圆的一组九等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录 6word可编辑文档Mk三力个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个部介色序对应位置上的颜色至少有一个 不相同时，称为不同的邮介色序.若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可 有 个.【答案】8【解析】“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2x2x2 = 8种.一方而，几个点可以构成几个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个.另一方而，若冷二&则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红, 蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件.故该圆中等分点的个数最多可有8个.7 .【2018年浙江】在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数.【答案】36【解析】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有2弓唠=30种； 在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有超