七年级下册不等式及其基本性质讲义

1、环球雅思教育学科教师讲义年 级:学员姓名：上课次数：课 题课 型预习课同步课复习课习题课授课日期及时段辅导科目： 学科教师：教学内 容【基础知识网络总结与新课讲解】知识框架知识点一、不等式的有关概念：1 .不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。注意：常见的不等号有五种：3、 "2"、 "W".例1.请指出下列各式哪些是不等式：x+y=y+x4+x>5-3V0a+bWc+baHO2x-7=5x+4例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1） a是正数；（2） y与2的差是非负数；（3） a与 6的和大于7； （4

2、） v的一半不小于3； （5） 8与x的3倍的和不大于1。提示：注意一个数的“和"，"差倍"，”分”的表示法以及“大于“，”不小于“，”不大于 "应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0,所以“是正数“可表示为", 0“，“是负数”可表示为“V0"，“非负数”可表示为“力0”。参考答案：（1） a>0 （2）y-20 （3）a+6>7 （4） 23 （5）8+3xW1注意：列不等式时应注意两点：”是正数”表示为>0"，“是负数”表示为V0" "非正数”表示为“20”。”

3、不大于"用“ W"表示，"不小于”用“ 2”表示。2 .不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方 向不变。用式子表示：如果a>b,那a+c>b+c （或a-c>b-c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b,且c>0,那么ac>bc, > - o c c（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b,且c<0,那么ac<b

4、c, <- o c c（4）对称性：如果a>b,那么b<a。（5）同向传递性：a>b, b>c那么a>c。注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式 的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变“。在运用性质（2）和性 质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确 定不等号的方向是否改变。说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：若a b>0,则a大于b ；若a -bVO,则a小于b ；若a b20,贝Ija不小于b ；若a bWO,则a不大于b ；

5、若ab>0或色0,则a、b同号； h若abVO或;<0,则a、b异号。 b任意两个实数a、b的大小关系：a-b>O<=>a>b；a-b=0<=>a=b；a-b<Ou>a<b.不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换；但aVb可转换为b>a,可转换为 公c。例3.对于不等式x+2V6,字母x表示未知数，当x取某一个数值a (例如3)时，x+2的值小于 6,我们就说当x二a时，不等式X+2V6成立，当x取某一个数值b (例如5)时，x+2的值不小于 6,我们就说当x二b时，不等式X+2V6不成立，说明当x取下列数值时，不等式2

6、x+1V5是否成 立？-1, 0, 3, -2.5, +4, -4, 4.5提示：把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值，若小于5则不等式成立；若不小于5 则不等式不成立。参考答案：当x:-1,0,-2.5,-4时，不等式2x+1V5成立。说明：因为当x=1, 0, -2.5,-4时，不等式2x+1V5成立，当x=2,+4. 4. 5时，不等式 2x+1V5不成立，所以同方程类似，我们可以说7, 0, -2.5-4是不等式2x+1V5的解，而2, +4, 4. 5不是不等式2x+1 V5的解。例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。(1)由 2a>5,得 a> &l

7、t;(2)由 a7>,得 a>7(3)由 a>0,得 a V0(4)由 3a>2a7,得 a>7。4例5.设a>b；用“或号填空：(1) ab + 工(2) a5b-2 2 ,、335(3)-a-b44(4) 6a6b (5) 一一三"(6) 一 7 7a_b参考答案：(1) > (2) > (3) < (4) > (5) < (6) <例5.试比较下列两个代数式值的大小：(1) 5a+2 与 4a+2 (2) x3+3x2-7 与 x3+2x-7提示：我们知道，若a-b>0,则a>b；若a-b=0,

8、则a=b；若a-bV0,则a Vb,所以要比较a与b 的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。参考答案：(1)(5a+2) - (4a+2) =5a+2-4a-2=a:a可取正数，负数或零，.5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能： 当 a>0 时，5a+2>4a+2 当 a=0 时，5a+2=4a+23/10当 aVO 时，5a+2<4a+2o(2) (xj+3x2-7) -(x+2x2_7) =x'+3x2-2xz+7=x2 '.我，。(对任意 x) .'.xj+3x2-7x'+2x'- 7例6.已知二数a&g

9、t;2, b>2,试比较a+b与ab的大小。提示：此题可用作商比较法来比较a+b与ab的大小。参考答案： a+b<abo说明： Va>b, b>2/.ab>0Ka 2 b 2a-¥b a b 1 1 A 1 4= 十 =一十一<一十一=i ,/ ab ab ab ball又 ab>0 .>.a+b<abo课内练习：1 .(1)用号或“V”号填空，并简说理由。 6+2-3+2； 6X (-2) -3X (-2)； 64-2_34-2； 64- (-2) _34- (-2)(2)如果a>b,则 a+b b + c a - b b

10、 - ac be Cc>0)© - (c<0)cc2 .利用不等式的基本性质，填或“V” ：(1)若 a>。，则 2a+1 2b+1;5一(2)若 4 <10,则 y-8；(3)若 aVb,且 c>0,则 ac+c bc+c；(4)若 a>0, b <0, c<0, (a-b) c 0。3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。(1) 两边都加上-4；(2) -3aVb两边都除以-3；(3) a23b两边都乘以2；(4)两边都加上c；4. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x>a或xVa的形式(a为常数)：X >

11、 - 2 ；X < (6 -jc)；3322(3)-3x>2；(4)-3+ 2 <2x+35.比较下列各题两式的大小：z . a ca/、, 1_ .z, a2-b2t21_ci2-2£*i+l(1) -3与一； &+6与&-6；(3)与33236.1探索与创新】,(1)用适当的符号填空 I 3 | + | 4 | I 3+4 | ； I 3 | + | -4 | 3+ (-4) | ； I -3 | + | 4 | | 一3+4 | ； | -3 | + | -4 | | -3+ (-4) | ； I 0 I + I 4 | I 0+4 | ；(2

12、)观察后你能比较| a | + | b |和| a+6 |的大小吗？课后习题：1 .当x取何值时，不等式3xV5x+1成立()A. - 1 B. -1C. 0D.-3.522 .下列不等式的变形中，正确的是()A.若 2xV3,贝IJxV。， B.若- -x<0,贝lj x>0 27C.若一 一己，则 x>y。 D.若一 -3,贝lJxV6 4423 .若关于x的不等式ax>b (aWO),有xV2，那么a一定是() aA.正数B.负数C,非正数D.任何数1 1 11A,7%4 .若 a>b 且 a于0, bRO,则()JI1 1C. a>b>0 时一

13、< ,bVa VO 时，一> T a ba bD. ab同号时，一 < A a 35.已知用或号填上(1) a2Z?一2；(2) 3a3b；(4) 一，3 -(5) -10a 106;(6) acb c.7/106.若x>八则那么a一定为(A) aO(B) aWO(C) a>0(D) a<07.若则下列各式中正确的是(A) m3>n3(C) 3加>3n8 .下列各题中，结论正确的是(A)若 a>0, b<0,则2>0 a(C)若 aVO, bVO,则 ab<Q9 .下列变形不正确的是(A)若 a>b,则 b<a

14、(C)由一2x>a, t# x> -a 210 .下列不等式一定能成立的是(A) a+ c>a c (B) ac>c( ).(B) 3m>3n(D) 33( ).(B)若 a>b,则 ab>Q(D)若 a<0,则2 Vo a( ).(B)若一a>6,则 b>a(D)由 lx>一匕得 x>2y 2( ).(C) a>-a (D) <a1011、在下列空格中填上不等号，并注明理由:(1)若5+x>8,则x 3,根据是 o(3)若一怖>1,则x-3,根据是(2)若6x>3,则x,根据是 o若x>

15、;y,则抵多根据ba 2-3 - 4 2b-x)z 413、若-则c 0 (填”>“或"V"号)14、列出表示下列各数量关系的不等式：(1) m的2倍与3的和大于7；(2) x的。与4的差是负数； 2(3) a的一半与b的3倍的和不大于1;(4) y的立方是非负数。15.将下列不等式化成或"XV，的形式：(1) X17V5；(2) -lx>-3；2 214(3) 7x > 11 ；(4) -x + 3 >x-3 .35516 . a一定大于一3吗？为什么？17 .已知将不等式侬>小的两边都除以外 得xV1,则m应满足什么条件？18 .

16、设a>b,用或“V”号填空： (1)a+3 b+3；(2) 5a 5b；-a-b;(4) 一 3-y ；(5) ma mb (m#=0).30分钟检测一、选择题(每题4分，共32分)1、如果mVnVO,那么下列结论中错误的是()A、m9Vn9B、一nC、 > D、 > 1n mn2、若a bVO,则下列各式中一定正确的是()A、a>bB、ab>0C、-<O D、-a>-bb3、由不等式ax>b可以推出xV2,那么a的取值范围是()aA、aWOB、a<0C、a20, rD、a>04、如果t>0,那么a+t与a的大小关系是()Av

17、a+t>a B、a+tVa e C、a+t2a D、不能确定5、如，果已三，则a必须满足()A、a于0B、，aV.O C、a>0 D、a 为任意数6、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是()IIflflcb0aDv c + b>a + bAv Crb>ab B、ac>ab C、cb<ab7、有下列说法:(1)若 aVb,则一a>b； t(3)若 xVO, y<OM 则 xyVO；(2)若 xyVO” 则 xVO, y<0；(4)若 aVb,则 2aVa + b；（5）若 aVb,则 a b其中正确的说法有（）A、2

18、个 B、3个8、2a与3a的大小关系（）（6）若号<，则X"C、4个D、5个A、2a<3a B、2a>3a C、2a = 3a二、填空题（每题4分，共32分）9、若mVn,比较下,列各式的大小：D、不能确定(1) m3n 3(2) 5m5n(3) -3 3(4) 3-m 2 - n (5) 0 m-n(6)3 - 2m43-210、用或“V”填空:77(1)如果 X 2V3,那么 x5；(2)如果一二xV 1,那么 x-33(3)如果gx>2,那么 x_10； (4)如果一x>1,那么 x_1;(5)若 ax >b , ac2 < 0 ,则 x.11 % x Vy得到ax>ay的条件应是。12、若 x + y>x y, y x>y,那么(1) x + y>0, F (2) y x<0, (3) xyWO,（4）;V0中，正确结论的序号为 oX13、满足-2x> -12的非负整数有 o14、若 ax>b, ac2<0,则 x. a15、如果x 7V5,则x