一次不定方程及方程的整数解问题-1

1、一次不定方程（组）及方程的整数解问题【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定 方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计 数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化 为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一 确定.重要定理：设a、b、c、d为整数，则不定方程ox+Z?y = c有：定理1若（a,

2、b） = d,且d不能整除c,则不定方程c没有整数解；定理2若（%,方）是不定方程。x+6y = c且的一组整数解（称为特解），则="。+初，（t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中伍,b） = d,且d能整除C）.定理3若（%,见）是不定方程ax+6y = l, （a,6） = 1的特解，则（c/,cyo）是方程or+by = c'的一个特 解.（其中g/） = d,且d能整除c）.求整系数不定方程ox+by = c的正整数解，通常有以下步骤：（1）判断有无整数解；（2）求出一个特解；（3）写出通解；（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表

3、达式，写出不定方程 的正整数解.解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；（5）整数的整除性;（6）奇偶分析;（7）不等式分析;（8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1） 2x+6y = S ；（2） 5x + 10y = 13.【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：x + 3y = 4,观察得到卜=1'是x + 3y = 4的一组整数解（特解）,）=1根据定理2 ,= 1 + 3%,是整数）是原方程的所有整数解（2） V （5, 10）

4、 =5,但 5 不能整除 13,根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同, 同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）7x+14y = 2U ；（2） 5x-14y = ll.答案：（1）无整数解；（2）卜=5-14%是整麴b,=15z【例2】求方程7x+19y = 213的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出 整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分

5、成为正整数的功 然后再求必，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】（7, 19）=1,根据定理2,原方程有整数解.由原方程可得213-19），= 21。-14.、，+ 3-5.0_2），+，777由此可观察出一组特解为上尸25,疗2.方程的通解为f = 25 +1"。是整麴. y-2-lt其中25 + 19/>0, 2-7/>025,719代入通解可得原方程的正整数解为，x= 6, y = 9.r = 25,【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的

6、方法，称为分离整系数法.这样就 容易找出一组整数解来.【实践】求方程31 + 47）= 265的正整数解.答案：x=4,y=3.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能 使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 54x+36y = 378,即3x+2y = 21.通解为IE'产整麴又（3, 2） =1,根据定理2,原方程有整数解.易知尸二1'是一个特解, y = 9由题意可知1+2/2 0, 解得，= oj,2

7、,3.相应地. 9-9r>0x = 1,y = 9.x = 3, x = 5, x = 7, *y = 6. y = 3. y = Q.答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆;也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没 做的题目有几道答案：7【例4】某人的生口月份数乘以31,生口的口期数乘以12,相加后得347,求此人的生口.【分析】本题的隐含条件是：月份的取值1，12, 口期的取值1, 31.【解

8、答】设此人生日的月份数为x , 口期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.方法一特解：if通解At户是整期fl<x<12 Jl<5 + 12z<12 l<y<311<16-31/<31解得r = 0是符合题意解方法二v 12y = 347-31x.12 |(347 - 31x)347 =31x(nwd 12).11 = 7x(n»d 12)x = 121 + 5(f是整数)vl<x<12 .l<12r + 5<12 .r = o.x = 5把x = 5代入原方程得：y = 16答：此人的生日为5月16日.

9、【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3,那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的!，求3一切这样三位数的和.答案：432【例5】（新加坡数学竞赛题）设正整数m,n满足8? + 9 =加7 + 6,则m的最大值为.【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.【解答】：8m+9 = /w? + 6, A 3m-mn = 6-9n , （8-n）m = 6-97?rhHfi 之言 i出6-9/z 9n-6 9- 72+66 _ 66由题思可得，n#8,m = 9 +,8 一

10、“ 一 8" 8一 8m,n为正整数，.当n=9时，m有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】（北京市数学竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3 个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.答案：28例6我国古代数学家张建丘所著算经中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值 钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何【分析】分析：用来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：5x + 3y + gz = 100x+ y + z = 100如何解这个不定方程组消

11、元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.x+y + Z = 100(1)i(2)X3-(1)得：14/8尸200,即 7m*4户 100.5x + 3y + -z = 100(2)、工. （x = 4+4t, 口此皿通解：。是整数）fx>0l.V>04 + 4/>018-7/>0r >-i 解翻18 t< 一 7t = 0,1,2.相应地原方程有三组解:x = 4 fx = 8 jt = 124 y = 18 sy = 11 <y = 4Z = 78 z = 81 z = 84方法二令7x + 4y = 1,其特解于=。

12、:.X = 3°)是7、+ 4y = 10弼特解通解F吧?为整数) y = -5y = -500y =-500-7/下面的方法同方法T方法三4y = 100-7 (3) . 4|(100-7a)> . 100= 7.v(mod4)» 即：0三 3x(mod4),二44+4/ (湿整数).把x = 4+4收入(3)得：y = 18-%:.X = 4+4t (f是整数).y = 18-7/下面方法同一【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅 共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各

13、多少只答案：(2, 21, 7)、(4, 12, 14)、(6, 3, 21)【例7】求方程2x+3y + 7z = 23的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中 的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设2x+3y = f,则原方程可看作J2x+3yi 对于方程后_亡,尸亡是一个特解，1f + 7z = 23. (2)从而的整数解是卜=一'-3"，(3)是整数)(>, = / + 2m. (4)又上2,个3是方程(2)的一个特解，于是(2)的整数解是k=3-匕(5) 是整黝f = 2 + 7u. (6)x =

14、 -2 - 7 v-3，将(6)代入(3)、(4)消去t得到原方程的所有整数解为：y = 2 + 7v+2，(、y是整数)Z = 3 - v.【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不 定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一 形式.【实践】求方程39%-24，+ 92 = 78的整数解.x = 8v - 3m 4- 2, 答案：y=V-3,（“、丫是整数）=32v 8.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人【例10】设非负整数n,满足方

15、程x+y + 2z = 的非负整数(X,y,z)的组数记为%.(1)求见的值；(2)求生的值.【分析】审清题中册的n与方程x+y+ 2z = "是同一个非负整数，%的含义是方程x+y + 2z = 3的 非负整数解的(x,y,z)的组数.【解答】(1)当"3时，原方程为x+y + 2z = 3,由于xN0,yZ0,得OKzKL当 z=l 时，方程为 x+y=l,其解(x,y) =(0,1), (1,0)有 2 组；当 z=0 时,方程为 x+y=3,其解(x,y) =(0,3), (1,2), (2, 1), (3,0)有 4 组.综上，见二6.(2)当"2001

16、 时，原方程为x+y + 2z = 2001,由于30,得OK zKlOOO.当z=1000时，方程为x+y=l,其解有2组；当z二999时，方程为x+y=3,其解有4组；当 z 二998 时，方程为 x+y=5,其解(x, y) =(0, 5), (1, 4), (2,3), (3,2), (4, 1), (5, 0)有 6 组；当 z=0 时,方程为 x+y=2001,其解 Cx,y) =(0,2001), (1,2000),，(2001, 0)有 2002 组.综上，a. =2+4+6+-+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决 问题.【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有()个CA. .19992000 C【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用.解不定方程的基本方法 是分离整系数法，要熟练掌握.在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘 题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1. (2000年希望杯竞赛题)若a、b均为正整数，且2a>b, 2a+b=10,则b的值为()A. 一切偶数 、4、6、8 C. 2、4、6、42 .若正整数x, y满足2004a=