2016年高考数学全国二卷(理科)

1、2016全国2卷2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.(1)已知z (m 3) (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(A)3, 1(B)1 , 3(C) 1, +(D) - , 3(2)已知集合 A 1,2,3

2、, B x|(x 1)(x 2) 0, x Z,则 AU B(A) 1(B) 1, 2(C) 0, 1, 2, 3(D) 1, 0, 1, 2, 3rrrrr(3)已知向量 a(1,m), b=(3,2),且(ab)b,则 m=(A) 8(B) 6(C) 6(D) 8(4)圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1,则a=(A)4(B) 3(C)点(D) 234(5)如图，小明从街道的 E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积

3、为(A) 20%(B) 24兀 (C) 28兀 (D) 32 兀(7)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移/ “、k兀 兀I r(A) x k Z26/k兀 兀I 7(C) x k Z 212(D) x个单位长度，则平移后图象的对称轴为 126kzk兀 % .k212(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x 2,n 2,依次输入的a为2, 2, 5,则输出的s(开始)(A) 7(B) 12(C) 17(D)34(9)若 cos ；(A) 24(B) 18(C) 12(D) 9(A) 25(C)(D)725(10)从区间0 , 1随机抽

4、取2n个数x1 ,x2,，天，y1 ,y2,，yn,构成n个数对 ,x2,y2xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为第11页共6页2n(B) m4m (C)2m(D) n(11)已知Fi , F2是双曲线E:2 y_ 11的左,右焦点，点1M在E上，MFi与x轴垂直，sin MF2F1 -，则 3E的离心率为(A) 22(B)(C)(D) 2(12)已知函数f x x R满足f-1与y f x图像的交点 xym ，mXi i 1yi(A) 0(B)(C)2m(D) 4m(18)(本小题满分12分)某险种的基本保费为 a (单位：元)，继续购买

5、该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题,考生根据要求作答.4(13) 4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若cosA ,5 '-5cosC - a13，1,上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(14),是两个平面,m, n是两条线，有下列四个命题:如果如果如果a/m/如果那么m与所成的角和n与所成的角相等.一年内出险次数01234>5概率0

6、.300.150.200.200.100.05(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(n)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;(出)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.甲看了乙的卡片后说：我(15)有三张卡片，分别写有1和2, 1和3, 2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片,与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是(16)若直线y kx b是曲线y lnx 2的切线，也是曲线 y ln x 1的切线，b三、解答题

7、：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)Sn为等差数列an的前n项和，且为 1, 0 28 .记bnlg"，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90 , lg99 1 .(19)(本小题满分12分)5如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB 5, AC 6 ,点E, F分别在AD, CD上，AE CF -，4 'EF交BD于点H.将DEF沿EF折到/D EF的位置OD 石0 .(I)证明：DH 平面ABCD；(II)求二面角 B D A C的正弦值.(n)求数歹U bn的前1000项和.DfIf(20)(本小题满分12分)22已知椭圆

8、E： y- 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为 k(k 0)的直线交E于A, M两点，点N在Et 3上，MAXNA.(I)当 t 4, |AM| |AN| 时，求 AAMN 的面积；2c在直线坐标系xOy中，圆C的万程为x 6y2 25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；x t cos一(II)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，AB 尺，求l的斜率.y t sin(I)证明：B, C, G, F四点共圆；(II)若AB 1 , E为DA的中点，求四边形 BCGF的面积.(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程(II)

9、当2 AMi |AN时，求k的取值范围(24)(本小题满分10分)，选修45：不等式选讲 11, 一. C -已知函数f x x - x - , M为不等式f x 2的解集(I)求 M；(II)证明：当 a, b M 时，|a b |1 ab .(21)(本小题满分12分)x 2 "(I)讨论函数f(x) ex的单调性，并证明当x 0时，(x 2)ex x 2 0;x 2ex ax a(II)证明：当a 0,1)时，函数g x =2一(x 0)有最小值.设g x的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.x请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时

10、请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，在正方形 ABCD, E, G分别在边DA, DC上(不与端点重合)，且DE = DG,过D点作DFLCE,垂足为F.参考答案：1、解析：，m+3>0, mT<0,-3<m<1 ,故选 A.3、解析： 向量 a+b=(4,m -2),(a+b)±b,(a+b) b=10 -2(m -2)=0,解得 m=8,故选 D.由几何概型概率计算公式知彳耳，兀平故选c.4、解析：圆x2+y2-2x -8y+13=0化为标准方程为: 选A.(x-1)2+(y W)2=4,故圆心为(1,4), d二|a+4T

11、|,a2+1.一 4=1,解得a=q,故3F1F211、解析：离心率e=MF，由正弦里得F1F2 e=sinMMF2dMF1=sinF1-sinF22, 23=;=72.故选 A .：J ,1 Q35、解析一：E-F有6种走法，F-G有3种走法，由乘法原理知，共6刈=18种走法，故选 B.解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C：条路，再从F处到G处最短共有C3条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C2 c3=18条，故选B。12、解析：由f（二）=2 f（x）得f（x）关于（0,1）对称,而y=x 1 =1+也关于（0,1）对称, x x，对于每一组对称点xi+x'

12、i=0, yi+y'i=2,Vmmyi02i 126、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r,周长为c,圆锥母线长为I,圆柱高为h.由图得 r=2, c=2tt r=4 £ 由勾股定理得：由伺22+(243)2=4, S 表=nt2+ch+1cl=4 兀 +16 兀 +8 兀=28 C.413、解析： COSA=553cosC= , SinA= , 135sinC=13, sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 65,由正弦定理:sinB sinA一 121,解得b*.13. 兀 A 、，、，1_ 一 _兀兀.一7、解析：由题意，将

13、函数 y=2sin2x的图像向左平移不个单位得y=2sin2（x+ 12）=2sin（2x+ 6）,则平移后函数的对称轴为2x+6= 2+k兀,代乙即x=就忘k”，故选B。14、解析：对于，m±n, m± & nil 3,则% 3的位置关系无法确定，故错误；对于，因为 n/ ,所以过直线n作平面丫与平面3相交于直线C,则n / c,因为m± a, m±c, - m± n,故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有2、解析：B=x|(x+1)(x t2)<0, xC Z=x|

14、 2Vx<2, x C Z , . B=0,1 , A U B=0,1,2,3,故选 C.8、解析：第一次运算：s=0 >2+2=2,第二次运算：s=2 >2+2=6,第三次运算：s=6 >2+5=17,故选C.15、解析：由题意得：丙不拿 （2,3）,若丙（1,2）,则乙（2,3）,甲（1,3）满足；若丙（1,3）,则乙（2,3）,甲（1,2）不满足;9、解析:3 COS-“苫、兀)=2Co(4a 1)= 7,故选 D.25故甲（1,3）,解法二：对COS（j - a3展开后直接平方16、解析：y=Inx+2的切线为:丫=，x+lnx 1+1（设切点横坐标为 x1）解

15、法三：换元法10、解析：由题意得：（xi,yi）（i=1 , 2, 3, ., n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中111x2y=In(x+1)的切线为：y=x+1 x+ln(x 2+1) x ,11.解得 x1=-, x2=;。b=lnx 1+1=1 Tn2.x1=x2+1x2 Inx1+1=In(x2+1) 2+1.一, 、一 一 、一 _a4 -ai17、解析：(1)设an的公差为 d, S7=7a4=28,a4=4,d= 2 =1, . an=ai+(n T)d=n .3 b=iga 1=lg1=0 , b11=lgan=lg11=1 , b101=lga 101=

16、lg101=2 .(2)记bn的前 n 项和为 Tn,则 T1000=b1+b2+.+b1000=lga 1+lga 2+.+lga 1000.当 0Wlga<1 时，n=1 , 2,，9;当 1Wlga<2 时，n=10, 11,，99;当 2W lga<3 时，n=100, 101 ,，999;当 lgan=3 时，n=1000T1000=0 >9+1 X90+2 X900+3 ¥=1893 .设面ABD'法向量n1=(x,y,z),由n1 AB =0 /曰n1 AD' =0 付同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1), 3

17、,黯品* sin18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A, P(A)=1 -P( A )=10.30+0.15)=0.55 . ,P(AB) 0.10+0.05 3(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B, P(B|A)= PPAB 0 55 =13P(A) 0.55114x+3y=0i+3y+3z=0x=3，取 y= 4 . n1=(3, -4,5).z=5o|OD'|2=|OH|2+|D'H|2,解：设本年度所交保费为随机变量X.X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费 EX=0.85aX0.

18、30+0.15a+1.25a)0.20+1.5a >0.20+1.75a 0.10+2a X0.05=1.23a,平均保费与基本保费比值为1.23.19、解析：(1)证明：如下左 1 图，: AE=CF=5, 1- AE = CF , 1- EF H AC .4 AD CD.四边形 ABCD 为菱形，AC ± BD , EFXBD,，EF，DH, . EFD'H . , AC=6 , A AD=3 ;又 AB=5 , AO ±OB , o OB=4 , o OH=-AE- OD=1 ,. DH=D'H=3 ,AO20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方

19、程为3+=1, A点坐标为(20),则直线AM的方程为y=k(x+2).4 3联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k2)x2+16k2x+16k2 T2=0。解得 x= N 或 x=1先6，贝1AMi=币转2| 4*2+2|=/7+?而*2。3+4k3+4k3+4k, AM -LAN , |AN|='" /1+( -k)2 1 =y 1+k212 4 o3+4 (1 J)23|k|+'12 12|AM|=|AN| , k>0,尸k2Wa=/l+k224,整理得(k T)(4k2* W)=0,D'H ±OH .又.OHP EF=H , D&

20、#39;H上面 ABCD .4k2k+4=0 无实根，k=1.(2)方法一、几何法：若 AB=5 , AC=6 ,则 AO=3, B0=OD=4 ,AE=4 AD=AB=5 , . DE=5所以AAMN的面积为11AMIMI+i B)2='嘿. 223+449(2)直线AM的方程为y=k(x+/t), EF / AC,DE EH DH 15/4 3AD=AC=OD= 5 =4EH=9, EF=2EH=9, DH=34，2，OH=4 T=1 ,. HD'=DH=3, OD'=2小，.满足 HD'2=od'2+OH2,则OHD '为直角三角形，且 O

21、D'OH,即OD'L底面ABCD ,即OD'是五棱锥 D' ABCFE的高.联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk2)x2+2t/tk2x+t2k2 3t=0。解得x=t或x=H也我 3+tk|AM|= Vi+k2| «3科 +Vt|=H+k2_3+k2，, , lANFV+k263k+；9i皿的行工口 c 1(EF+AC) OH 1(2+6) »21 69底面五边形的面积 S=2>AC OB+2=2><6>4+-2 =12+=7，则五棱锥D' ABCFE体积V=1S。'=:粤举正=23坐. 33

22、 42方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系 Hiyz. B(5,0,0), C(1,3,0), D'(0,0,3) , A(1,30), 向量 AB =(4,3,0), AD' =( -1,3,3), AC =(0,6,0),. 2|AM|=|AN| , . 2日k23+±如+? M，整理得，t=6k3-2k - 3k+k.椭圆E的焦点在x轴，t>3,即6k3 5k>3,整理得(k :?) *)<0, 解得去去及. k 2k 221、解析：(1)证明：f(x)=x -2x+2者,f(x)=ex(x- + 4 2)= x ee "(x+2

23、 (x+2) 2) (x+2)2当 xC (-002力(2+丐时,f(x)>0 ,f(x)在(-82评 口( 2+丐上单调递增。x>0 时,x -2 vx+2ex>f(0)= -1,(x -2)ex+x+2>0。(2)g'(x)=x4x4x -2 y (x+2)(x+2 e +a)x3'aC 0,1)。由(1)知，当 x>0 时，f(x)=x+|3q值域为(-1, + 为 只有一解.使得 t+2 et=自 tC (0,2。当 x C (0,t)时 g'(x)<0 , g(x)单调减；当 x C (t,+8)时 g'(x)>0 , g(x)单调增h( )_et -a(t+1et+(t+1)t2t+2 et et=t+2°t记)二高，在 任(0,2时，k'(t)_et(t+1)1 e2(t+24>0, .”(t)单倜递增，h(