双曲线典型例题12例(含标准答案)

1、双曲线典型例题 12例典型例题一22例1讨论十工=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.25-k 9-k分析：由于k =9 , k #25 ,则k的取值范围为 k<9, 9<k<25, k<25, 分别进行讨论.解：(1)当k <9时，25-k >0,9-k a0,所给方程表示椭圆，止匕时a2 =25-k ,2222b =9-k, c =a -b =16,这些椭圆有共同的焦点(一4, 0), (4, 0).(2)当9 <k <25时，25-k>0, 9-k <0,所给方程表示双曲线，此时，a2 =25 k , b2 =9k , c2

2、=a2 +b2 =16,这些双曲线也有共同的焦点(一4,0),) (4, 0).(3) k<25, k=9, k = 25时，所给方程没有轨迹.说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取 一些k值，画出具图形，体会一下几何图形所带给人们的美感.典型例题二例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P 3, I, Q - - ,5 |且焦点在坐标轴上.43(2) c =屁,经过点(5, 2),焦点在x轴上.22(3)与双曲线匕口有相同焦点，且经过点(3石,2)16422解：(1)设双曲线方程为+工=1 m nP、Q两点在双曲线上,9225一十=1m 16n256

3、 . 25 ,1,9m n'm = -16n = 922所求双曲线方程为 - =1说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.（2）二.焦点在x轴上,设所求双曲线方程为:22x-y=1 （其中 0<九 <6） 6 - -二.双曲线经过点（5,C、 254.2丁。=1169资料. .九=5或九二30 （舍去）2所求双曲线方程是土 -y2 =1 5说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.22设所求双曲线方程为：言为=他久16）双曲线过点屹2）,.二九=4或九=一14 （舍）22所求双曲线方程为2%122说明：（1）注意到了与双曲线工=1有公共焦点的

4、双曲线系方程为16422x - y =1后，便有了以上巧妙的设法.16 - 4 .-（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.典型例题三22例3已知双曲线 勺-L=1的右焦点分别为Fl、F2,点P在双曲线上的左 91612支上且 |PF1|PF2 =32,求NF1PF2I大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：二.点P在双曲线的左支上PFi PF2I =622.PFi| + PF2 -2PFi|PF2|=36 22.PFi +PF2 =100vF1F2|2 =4c2 =4（a2 +b12 ）=100F1PF2

5、 =90说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.典型例题四2例4已知F1、F2是双曲线 圣-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足4/FFF2=90 :求 AFFF2 的面积.分析：利用双曲线的定义及 小5尸52中的勾股定理可求45正52的面积.2解：二十为双曲线y2=1上的一个点且又、F2为焦点. 4.|pF1 - PF2II =2a=4, F1F2 =2c = 2>/5V. F1PF2 =90,r222- ,在RtAPF1

6、F2 中，PFi| + PF2I =|啊=20 伊后PF2 f =|PF1 2所求方程J-匕=1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线. 916说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标 法所带来的繁琐运算.（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解.典型例题六1 .例 6 在 ABC 中，BC =2 ,且 sinC sin B =3 sin A ,求点 A 的轨迹. + PF22 -2PF1I PF2 =16 .20 -2PF1I PF2| =16PF1 PF2 =2-1 _ _，, S囱PF2 =2 PF1 PF2 =1说明：双曲线定义的应用在解题中起

7、了关键性的作用.典型例题五例5已知两点FK-5,0卜F2（5,0 ）,求与它们的距离差的绝对值是 6的点的 轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线. c =5, a =3,222 l22 J. b = c -a =5 -3 =4 =16分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题, 如何建系呢?解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系, 则 B(-1,0 ), C(1,0).一.1设 A(x, y ),由 sinC sinB =sin A 及正弦je理可得:. BC =

8、2点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:22xy_-=1 a 0, b 0 ab .2a =1, 2c =21 a =一,c =12.2223 .b =c - a =一4所求双曲线方程为4x2 - 4y 2 =13AB - AC T >0 点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M的轨迹方程:(1)与。C:(x+2 2+y2=2内切，且过点A0)(2)与。C1: x2+(y1 2 =1 和。C2: x2+(y + lf =4者矽卜切.(3)与。Ci：(x+32+y2=9外切，且与。C2：(x 32+y2 =1 内切.分析：这是圆与圆相切的问题，

9、解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键 线段，即半径与圆心距离.如果相切的。 Ci、CDC2的半径为ri、b且ri a2,则 当它们外切时，。1。2=1+2；当它们内切时，01。2|=1-2.解题中要注意灵 活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1) .OG与。M内切，点A在。C外.MC=r-行，MA =r , MA - MC = V2点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有:2222a =,c =2 , b =c -a22双曲线方程为2x2 一手=1 x < - ,2(2) VOM与。CO C2都外切 . MC1 =r +1 , MC2 =r +2 ,MC2 -

10、 MC1 =1点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有:, 222b = c -a所求的双曲线的方程为:_34(3) .OM与。C1外切，且与。C2内切 .MC1=r+3, MC2=r1, MC1 - MC2 =4点M的轨迹是以G、C2为焦点的双曲线的右支，且有：222a=2, c=3, b =c a =5所求双曲线方程为：22Xt-5=祇-245说明：(i)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要 的方法.(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质 量.(3)通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解 决问题是我们无休止的追

11、求目标.典型例题八3例8 在周长为48的直角二角形MPN中，/MPN =90 , tan/PMN =一,4求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程.分析：首先应建立适当的坐标系.由于 M、N为焦点，所以如图建立直角 坐标系，可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知|PM|-PN|=2a,MN =2c,所以利用条件确定 加PN的边长是关键.3解：,mpn 的周长为 48 ,且 tan/PMN=,4.设PN| =3k , PM =4k ,贝U MN | =5k .由 3k +4k +5k =48,得 k = 4 .PN|=12, PM|=16, MN|=20.以MN所在直线为x轴，以；MN的中点为

12、原点建立直角坐标系，设所求双曲22线方程为 +4=1(a>0,b A0) . a b由 PM PN =4 ,得 2a =4 , a =2 , a2=4.由 MN | =20 ,得2c=20 , c =10 .22由b2=c2a2 =96,得所求双曲线方程为 二L = 1.496说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变.解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷.典型例题九22例9 P是双曲线 t_L=i上一点fF2是双曲线的两个焦点，且64 3612PF1 =17 ,求|PF2 的值.分析：利用双曲线的定义求解. 22x y解：在双曲线一匚 =1中，a

13、=8, b=6,故c=10.64 36由P是双曲线上一点，得|PF1 -PF2I =16.PF2I，或 PFz|=33 .又 PF2 2c-a =2,得 PF2| =33.说明：本题容易忽视IPF2I之c-a这一条件，而得出错误的结论|PF2=1或PF2 =33 .典型例题十2222例10若椭圆人+上=1 (m>n>0)和双曲线上上=1 (s,t >0)有相同的m ns t焦点F1和F2,而P是这两条曲线的一个交点，则 PF1 PF2的值是(122.A. m -sB. -(m-s)C. m -s D. Vm-Vs分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义

14、得 到PF1和PF2的关系式，再变形得结果.解：因为P在椭圆上，所以PF1I+|PFz| =2布.又P在双曲线上，所以 上曰-PF2b 2Vs.两式平方相减，得 4PF1 -PF?1 =4(m-s),故 PF -PF? =m-s.选(A).说明：(1)本题的方法是根据定义找|PFj与PF2的关系.(2)注意方程的形式, m , s 是 a2, n , t 是 b2 .典型例题4例11若一个动点P(x , y)到两个定点A(-1,0)、A1(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a0),讨论点P的轨迹.分析：本题的关键在于讨论a.因AA1 =2,讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a

15、=0, a e (0,2) , a=2, a > 2 .解：1AAi| =2.(1)当a=0时，轨迹是线段AA的垂直平分线，即y轴，方程为x=0.2 X(2)当0 <a <2时，轨迹是以A、A1为焦点的双曲线，其万程为 a4(3)当a =2时，轨迹是两条射线y =0(x之1)或y = 0(xM-1).(4)当a a 2时无轨迹.说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a的取值范围划分不准确，而造成讨论不 全面.(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线.典型例题十二例12 如图，圆x2+y2 =4与y轴的两个交点分别为A、B,以A、B为焦 点，坐标

16、轴为对称轴的双曲线与圆在 y轴左方的交点分别为C、D ,当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程.分析：求双曲线的方程，即需确定 a、b的值，而2c = 4,又c2=a2+b2, 所以只需确定其中的一个量.由双曲线定义 AC - BC =2a,又&BCA为直角三 角形，故只需在梯形ABCD的周长最大时，确定BC的值即可.22解：设双曲线的方程为 2-2=1(a>0,b>0), C(x0 , y0)(X0 <0, %>0), a bBC| =t(0 <t <2&).连结AC ,则2ACB =90、作 CE，AB于 E,则有 BC 2 = BE AB .2 一口r一 t