中考数学压轴题精选及答案

1、21、(2010黄冈)已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)顶点为C (1, 1)且过原点 。.过抛物线5上一点P (x, y)向直线y 一作垂线，垂足为4M ,连FM (如图).(1)求字母a, b, c的值;(2). _3在直线x= 1上有一点F (1-),求以pm为底边的等腰三角形 PFM的P点的坐标，并证明此(3)时 PFM为正三角形;对抛物线上任意一点若不存在请说明理由P,是否总存在一点N (1, t),使PM=PN恒成立，若存在请求出 t值,解：(1) a= - 1, b=2,c= 0(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为11 二,横坐标为1 v3 .此时,MP= MF

2、 = PF=1 ,故 MPF为正三角形.(3)不存在.因为当tv 5 , x< 1时,4与PN不可能相等.PM与PN 5不可能相等，同理，当 t> 5 ,4x>1 时，PM22、(2010济南)如图所示，抛物线达式为y点x 373,抛物线的对称轴2x3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.5解：令 x2 2x 3 0 ,解得：Xi1,X2 3, A(-1, 0), B(3, 0)yx2 2x 3= (x 1)2 4抛物线的对称轴为直线 x=1 ,将 x=1 代入 y阴x 33，得 y=2 73 , . C (1 , 2 召).在 RtAC

3、E 中，tanZ CAE=CE 宓AE ./ CAE=60o,由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线， .AC=BC , .ABC 为等边三角形，.-.AB= BC =AC = 4, /ABC=/ACB= 60o,X / AM=AP , BN=BP , . BN = CM ,/.A ABNA BCM , .AN=BM.四边形AMNB的面积有最小值.设AP=m ,四边形 AMNB的面积为S,由可知 AB= BC= 4, BN = CM=BP , Sa ABC= 近 X 42= 473 ,4m),3.3.CM=BN= BP= 4-m, CN=m ,过 M 作 MF，BC,垂足为 F,则 MF

4、=MC?sin60o=.o _ 11c 33 2&CMN- CNgMF = 1m?(4 m) = m 2224 ' S=Sa abc Sacmn= 4 J3 ( -m2 43m)4=(m 2)2 3V3，m=2时，S取得最小值三在一生23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B, C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0,3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D,如果以点C为圆心的圆与直线 BD相切, 请判断抛物线的对称轴l与O C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的

5、一个动点，且位于 A, C两点之间，问：当点 P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时 P点的坐标和 PAC的最大面积.(1)解：设抛物线为 y a(x 4)2 1 .1.抛物线经过点 A (0, 3),3 a(0 4)2 1.-. a -.41 c 1c，抛物线为 y (x 4)2 1 x2 2x 3. 44(2)答：l与。C相交.12证明：当一(x 4)2 1 0 时，x1 2 , x2 6.4. . B 为(2, 0), C为(6, 0) . AB J32 22 V13.设。C与BD相切于点E ,连接CE ,则 BEC 90 AOB. ABD 90 , CBE 90 ABO.又

6、BAO 90 ABO,， BAO CBE.， AOB s BEC.CE BC . CE 6 28- . -f. . CE, 2 .OB AB 2.1313抛物线的对称轴l为x 4 , C点到l的距离为2.抛物线的对称轴l与。C相交.(3)解：如图，过点 P作平行于y轴的直线交AC于点Q.可求出AC的解析式为y 1x 3.21 2设P点的坐标为(m , m 2m 3),则Q点的坐标为(m ,4一 1PQ m 2S PAC S PAQ，当m 3时，a/12。11233 (m 2m 3)-mm.442c1 . 1 一2 332S pcq (m m) 6 (m 3)2424PAC的面积最大为27.27

7、3)4此时，P点的坐标为(3,3).424、(2010晋江)已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中， OC 3, BC 2,取AB的中点M ,连结MC ,把 MBC沿x轴的负方向平移 OC的长度后得到 DAO .(1)试直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ x轴于点Q ,连结OP.若以0、P、Q为顶点的三角形与DA0相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ,使得TO TB的值最大.,一 3解：(1)依题意得：D 一，2 ； 2(2).0C 3, BC 2, B 3,2 .抛物线经过原点，设抛物线

8、的解析式为y ax2 bx又抛物线经过点B 3, 2与点I?9a3b2,2b解得:4,9 .抛物线的解析式为24x2x92x；点P在抛物线上，319设点1）若PQOsPQDAQOAOx10 （舍去）或x251一, 164x, 一 x951 15316, 642）若OQP sDAO ,则 OQDAPQAOxi 0 （舍去）或x2，点P 9,6 .2存在点T ,使得TO TB的值最大.4 2抛物线y -x292x的对称轴为直线3-,设抛物线与x轴的另一个交点为 43 -E _,0 ., .点2_3一 一 一一 一 一O、点E关于直线x 对称，. TO TE 要使得TO TB的值最大，即是4，使彳导

9、TE TB的值最大,TE TB的值最大.根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时,设过B、 E两点3k b 2, 3 -k b 0 2解得:43,24，直线BE的解析式为y X 2.33 3当 x 时，y2 1.4 3线解析式为1使得To tb|最大.25、（2010）如图，在等边 ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时, 以CD为一边且在CD的下方作等边 CDE ,连结BE.（1）填空：ACB 度；_AD ，（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出 的值；BE(3)若 AB8,以点C为圆心，以5为半径作。C与直线BE相交于点P、Q两点，

10、在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长.解：60;（2） ABC与 DEC都是等边三角形一丛织-v. _a.AC BC , CD CE ,ACDDCBDCBACB DCE 60BCEACDBCE, .ACD BCE SASAD BEAD1.BE当点D在线段AM上（不与点A重合）时,由（2）可知 ACD色 BCE ,则CBE CAD 30BE于点H ,则PQ2HQ ,连结 CQ ,则 CQ 5.在RtCBH 中，CBH 30 ,BCAB 8,则 CHBC sin308 J 4.在RtCHQ中，由勾股定理得:HQCQ2 CH2，52 42 3,当点D在线段AM的延长线上时,ABC与

11、DEC都是等边三角形AC BC , CDACBACDDCBBCECE, ACBDCB DCEDCEACDBCESASCBECAD30 ,同理可得:PQ当点D在线段MA的延长线上时, ABC与DEC都是等边三角形AC BC , CDACDACDACEBCECE , BCEACBACEDCE60ACDBCESASCBECADCAM30CBECAD150CBQ30同理可得:PQ 6,综上,PQ的长是6.则 PQ 2HQ 6A60M6.60y ax2 bx c交x轴于 26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线A(2,0), B(6,0)两点,交 y 轴于点 C(0,2石).(1)求此

12、抛物线的解析式;。D交y轴于点E、F两(2)若此抛物线的对称轴与直线 y 2x交于点D,作。D与x轴相切,G,试确定P点的位置,4a 2b c 036a 6b c 0，c 2 3a解得bc,364332 3点，求劣弧EF的长；(3) P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点使得 PGA的面积被直线 AC分为1 ： 2两部分.解：(1) ;抛物线yax2bx c经过点 A(2,0) , B(6,0) , C(0,2V3).抛物线的解析式为：y x2 4 ,3x 2.3.63(2)易知抛物线的对称轴是 x 4.把x=4代入y=2x得y=8, 点D的坐标为(4,8).D与x轴相切

13、，D的半径为8.连ZDE、DF,作DMy轴，垂足为点 M.1在 RtAMFD 中，FD=8, MD =4 . . . cos/MDF = .2 ./ MDF =60 ° , .EDF=120° .- -12016180劣弧EF的长为：8 .(3)设直线AC的解析式为y=kx+b.直线AC经过点A(2,0),C(0,2J3).2k b 0 . k 3_ ，解得_直线AC的解析式为：yJ3x 2岳.b 2 3b 2 3设点 P(m,9m2 v3m 2j3)(m 0) PG 交直线 AC于 N, 63则点 N 坐标为(m,招m 2回. S PNA ：S GNA PN ：GN .一

14、一3 若 PN : GN=1 ： 2,贝U PG : GN=3 : 2, PG= GN2即学m2 4 .3m 2,3=3( 3m 2.3).632解得：m1二 3, m2=2 (舍去).当 m=-3 时，-m2 <'3m 2<3 = 3 . 632此时点P的坐标为(3,1573).若 PN : GN=2 ： 1,贝U PG ： GN=3 ： 1, PG=3GN.即出m2 4 V3m 2/3= 3( V3m 243). 63解得：m112 , m2 2 (舍去).当 m112时,473m 2«=42 石. 3，此时点P的坐标为(12,42j3).综上所述，当点P坐标

15、为(3,1543)或(12,423)时, 2 PGA的面积被直线 AC分成1 ： 2两部分.27、(2010丽水)小刚上午 7: 30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7: 55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上按上学的步行速度，走完100米用了 150步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2)下午4: 00,小刚从学校出发，以 45米/分的速度行走，按上学时的原路回家， 在未到少年宫300米处与同伴玩了(第27题)半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停

16、留.问：小刚到家的时间是下午几时？ 小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段 CD所在直线的函数解析式.解：（1） 小刚每一分钟走1200+10=120（步），每步走100+150=2（米）32 . 所以小刚上学的步行速度是小刚家和少年宫之间的路程是 少年宫和学校之间的路程是120X=80（米/分）.380X10=80r0（米）.80X（25- 10）=1200（米）.丁 1200 300800 300 八山（2） 30 60（分钟），45110所以小刚到家的时间是下午5: 00. 小刚从学校出发，以 45米/分的速度行走到离少年宫300

17、米处时实际走了 900米，用时 20分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20, 1100）. 45线段CD表示小刚与同伴玩了 30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s（米）与行走时间t（分）之间的函数关系，由路程与时 r间的关系得 s 1100 110（t 50）,即线段CD所在直线的函数解析式是 s 6 600 110t.2分（线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得： 点C的坐标是（50, 1100）,点D的坐标是（60, 0） 设线段CD所在直线的函数解析式是 s kt b,将点C, D的坐标代入，得50 k b 1100,k110,解得 60k b 0.b 6

18、600.所以线段CD所在直线的函数解析式是s 110t 6 600） 28、（2010丽水） ABC中，/ A=/B=30°, AB= 2点.把 ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点 O（如图）， ABC可以绕点O作任意角度的旋转.（第28题）（1）当点B在第一象限，纵坐标是 日时，求点B的横坐标； 2（2）如果抛物线y ax bx c （aw）的对称轴经过点 C,请你探允:当a , b c 时，A, B两点是否都 425在这条抛物线上？并说明理由；一 设b=-2am,是否存在这样的 m的值，.使A, B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，

19、请说明理由.2(2)当a火,4(* )解：（1）.点。是 AB 的中点，OB 1AB J3.2设点B的横坐标是x（x>0）,则x2 （）2 （73）2 ,解得 xi , X2逅（舍去）.点B的横坐标是Y6.213,55 2 13,5一，c 时，得 y x -x - 254255.2 13 5一) 一20以下分两种情况讨论.情况1:设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为（甲）OC OB tan3073 1 .3Ax由此，可求得点c的坐标为（工5,5点A的坐标为（先，近）, 55''' A, B两点关于原点对称，点B的坐标为（Z业5, 业5）. 55将点A的横坐

20、标代入（* ）式右边，计算得 近,即等于点A的纵5坐标;将点B的横坐标代入（* ）式右边，计算得,即等于点B的纵坐标.5在这种情况下，A, B两点都在抛物线上.情况2:设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为（,-等）， 点A的坐标为（245, N15）点b的坐标为（215必5）.5555经计算，A, B两点都不在这条抛物线上.（情况2另解：经判断，如果 A, B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知 的抛物线开口向上.所以 A, B两点不可能都在这条抛物线上 ）存在.m的值是1或-1.（y a（x m）2 am2 c ,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1WmW1.当m=

21、小时，点C在x轴上，此时A, B两点都在y轴上.因此当 m=±1时，A, B两点不可能同时在这条抛物 线上）嗜管包自避押29、(2010龙岩)如图，抛物线交 X轴于点A ( 2, 0),点B (4, 0),交y轴于点C (0, 4).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若直线y= X交抛物线于M, N两点，交抛物线的对称轴于点 E,连接 BC, EB, EC.试判断 EBC的形状，并加以证明；(3)设P为直线MN上的动点，过P作PF / ED交直线MN下方的抛物线于点 F .问：在直线MN 上是否存在点P,使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点

22、P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由.(1)解：(法一)设所求的抛物线解析式 y ax2 bx c (a 0)点A、B、C均在此抛物线上14a2bc0a216a4bc0b1c4c4所求的抛物线解析式为 y -x2x 429顶点D的坐标为(1 , 一)2点C在此抛物线上，a(0 2)(0 4)(法二)设所求的抛物线解析式y a(x 2)(x 4)所求的抛物线解析式为y 1(x 2)(x 4)2一 1 29即y -x x 4 , 顶点D的坐标为(1, 一)22(2) AEBC的形状为等腰三角形证明：(法一)直线MN的函数解析式为y xON是/ BOC的平分线 B、C两点的坐标分别为(4, 0

23、), (0, 4)CO=BO=4,MN是BC的垂直平分线CE=BE,即 4ECB是等腰三角形。(法二)直线MN的函数解析式为y xON是/ BOC的平分线,/ COE =/ BOE COEQ BOECO=BO=4CE=BECE=BECE=BEk4)4)24211时k1此时kx2 k1 k2kAB1A1x=kPF的交点PF= kP、F ABC与4 A2B2c2的重叠部分面积为 S,试求PF与ED重合，不存在以P的坐标为（1此时，四边形PFDE是平行四边形（2010龙岩）如图，将直角边长为夜的等腰直角三角形 ABC绕其直角顶点C顺时针旋1时，点P的坐标为 ECB是等腰三角形点E是抛物线的对称轴E点

24、的坐标为（1, 利用勾股定理可求得1)求证： ADC A1DF点P是直线y x上的动点B、C两点的坐标分别为（4则直线PF的函数解析式为点F是抛物线和直线的度数；将 A1B1C沿C-A方向平移得 A2B2c2, A2c2交AB于点G, B2c2要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使 PF=ED 点E是抛物线的对称轴 x 1和直线y x的交点x 1和直线y x的交点0°< /V 90°),得 A1B1C, A1C 交 AB 于点 D, A1B1 分别交于 BC、AB 于点 E、FE点的坐标为（9ED 1（一） 2设P点的坐标为1 2F的坐标为（k, k

25、21 2(2 k k71 2 k 42一 ，,一 .9F的坐标为（1 ,-）2D、E为顶点的平行四边形51, 1), F的坐标为(1,921,-D7图堂在学法？图解：（1）证明：如图，根据旋转变换的性质/箱30题图）/CAD = /FAiD ,/1 = /2,AADCA A1DF（2）解：（法一）CA=CA 1=CB=CB 1= 22点a、A1、B、B1均在以C为圆心半径为J2的圆上,（法二）11 /AB1A1=301522如图， AC=BC,Z4=Z3, 一,180ZACB1=120 ,/4=备用图30 , /ACB1=90ACB12=30 C2C=X22/ABA1=/CB1A1/ 4=45

26、 °30° =15（法三）如图，1-' AC=BC, . /4=/3,/CAB = /CB1A1/CAB Z 3=Z CB1A1 /4,即 /BAB= /AB1A1l / 5=/B1AB+/AB1A1, Z 5=2 /AB1A1AADCA A1DF11 - Z 5=，/ AB1A1= - 5 1522（3）解： A1B1C 在平移的过程中，易证得 AC2G、HB2E、 A2FG > C2HC、 FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形 AB= . AC2 BC2 =2_1. 当 a=45 时，CE=CD=-AB=1 2情形：当0vx< 1时（如图所示），A2B2c2与4ABC的重叠部分为五边形 C2HEFG（法一）S 五边形 C2HEFG = S 平行四边形 AC2B2F SRtAAC2G SRtA HB2ECH=X, AC2= 22 x , B2E=HE = 1 x26AG=C2Gq AC2=£(.2 x) 1 £xS 平行四边形 AC2B2F=AC2 CE= ( J2 x) 1= J2 x图SRfAC2G=1 AG2=1(1