[2020理数]第八章第五节空间向量及其运算和空间位置关系

1、第五节空间向量及其运算和空间位置关系考纲要求1 . 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.会简单应用空间两点间的距离公式.2 . 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表木.3 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.能 用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4 .理解直线的方向向量及平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行 和垂直关系.5 .能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).突破点一空间向量及其运算基本知识1 .空间向量及其有关概念空间向量的有关概念空间

2、向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共向向量平仃丁向一个平囿的向重(2)空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量a,b(bw0),a/b?存在唯 个入C R使a=不共向向量定理若例个向重a,b不共线，则向重p与向重a,b共面？存在唯一的启序头数对(x,y),使 p=x a+ y b空间向量基本定理如果一个向重a,b,c不共面，那么对空间仔-向重p,存在后序头数组x,y,z使得 p = xa+yb+zc2.两个向量的数量积(1)非零向量a,b的数量积ab=|a|b|cosa,b.(2)空间

3、向量数量积的运算律结合律：(启)b=Nab);交换律：a b= b a;分配律：a (b+c)= a b+a c.3.空间向量的运算及其坐标表示 设 a= (a1,a2,a3),b= (bi,b2,b3).一、判断题(对的打，错的打X” )若A,B,C,D是空间任意四点，则有Ab+ BO + CD + DA =(2)|a| |b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()空间中任意两非零向量a,b共面.()在向重的数重积运算中(a b) c = a (b c).()(5)对于非零向量 b,由a b=b c,则a=c.()(6)两向量夹角的范围与两异向直线所成角的范围相同.(答案：(i)， (2)

4、X(3)，(4)X (5)X (6)X二、填空题i.如图，已知空间四边形 ABCD,则qAB + _ BC +&CD等于 一 333答案：QAD30.()C基本能力向里表小坐标表小数量积a ba_ibi+ a2b2+ a3b3共线a=4(bw0)ai = 入 1,a2= 入 2,a3= 入 3垂直a b= 0(a w 0,b w 0)abi+ a2b2+ a3b3= 0模|a|Va2+ a2+ a2夹角a,b(aw0,bw0)aibi+ a2b2+ a3b3cosa,b = = -Ra2 + a2+ a3 V b2+ b2+ b22 .已知ij,k为标准正交基底，a= i+2j + 3k,则a

5、在i方向上的投影为 答案： 13 .若空间三点 A(1,5, 2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则 p =,q =.答案：3 24 .已知向量 a=(1,0,1),b=(1,2,3),kC R若 kab 与 b 垂直，则 k =.答案：7 全析考法考法一空间向量的线性运算例 1 已知四边形ABCD 为正方形,P 是 ABCD 所在平面外一点,P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O.Q是CD的中点，求下列各题中x,y的值： _ ?(1) OQ =PQ x PC yPA；(2)?A = xPO+y-PQ +电解(1)如图 J. 8Q =r6 - PO =Q -1( P

6、A + PC )=1 1 1一 PA -2PC ,. .x=y=- 2.(2).EA + PC =2PO,PA =2 PO W又 PC+ pD = 21Q,. PC=21Q 前.从而有前 =2 PO-(2-PQ 前)=2记 2言 + 苗.，x=2,y= 2.方法技巧用已知向量表示某一向量的3个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于 由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.考法二 共线、共面向量定理的应用例2 已知 E

7、,F ,G,H 分别是空间四边形 ABCDAB,BC,CD,DA的中点，用向量方法求证：(1)E,F,G,H四点共面；(2)BD /平面 EFGH . 证明 如图，连接bg,则EG = 亩+BGT= 亩 + 2(后C +BD )= EB + BF + EH = EF + EH ,由共面向量定理知：E,F,G,H四点共面. 1 111(2)因为 EH = AH - AE =AD 2 AB =(AD AB ) = 2BD ,因为E,H,B,D四点不共线，所以EH / BD.又 EH?平面 EFGH ,BD?平面 EFGH ,所以BD /平面 EFGH .方法技巧1.证明空间三点 P,A,B共线的方

8、法.2(1) PA =入PB (入e R);(2)对空间任一点o,OP=OA + tAB ”r)；对空间任一点O,OP = xOA + yOB (x + y= 1).2.证明空间四点P,MA,B共面的方法(1) MP =xMA +yMB ;(2)对空间任一点 O,OP = OMt + xMa + yMBT;, 、 、一 一 . . . (3)对空间任一点 O,O P=xO M +yO A+z OB (x + y+ z= i);(4) pm / aB (或HA / MB或苗 / amT).考法三空间向量数量积的应用例3 如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中,E,F分别是CiDi,DiD的中点

9、.若正方体的棱长为 1.求cosCE KF.AjCDj E解fCE7CE2+CC2 =4 =*=|AF |,一 J . 2 5 CE AF = | CE |AF |cos CE , AF= 4cos CE ,AF.又 ce = c =2.5求夹角a b设向重a,b所成的角为 。，则cos。-进而可求两异面直线所成的角 |a|b|求长度运用公式|a|2= a a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用ab? a b= 0(aw 0,bw 0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题方法技巧空间向量数量积的 3个应用集训冲关1.考法一已知三棱锥 O-ABC,点M,N分别为

10、 AB,OC的中点，且OA =a,OB=b,C)C =c，用 a,b,c表示 MN,则MN等于().1, ._1A. 2( b + ca)B.2(a+b+c)J,、C.2(ab+ c)1D.(c a- b)解析：选 d MN=ma+ao+ON=2卫a+MO+2oc=2(oaOB)+3O+TOC1111=2OA 2OB +2OC =2(cab).2.考法二O为空间任意一点，若OP = 3-OA +：O)B + qO0 ,则A,B,C,P四点()488A. 一定不共面C.不一定共面B. 一定共面D.无法判断 3 1 1 3 11解析：选B因为0P=4OA+8OB+8OC,且Z+J + I：1.所以

11、P,ABC四点共面3.考法三如图所示，已知空间四边形 OABC,OB = OC,且,_ _ TT，-，.、，=/ AOC = 3,则 cos OA , BC的值为 ./ AOBa解析：设 OA = a,OB = b,OC =c,. TT由已知条件，得a,b = a,c = 3,且|b|=|c|,OA bC=a(c b)=acab= 2|a|c| 2|a|b|=0,OA1 BC ,，cos OA ,BC= 0.答案：0突破点二利用空间向量证明平行与垂直基本知识1.两个重要向量直线的方直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的非零向量，一条直线的方向向量向向量后尢数个平面的法直线1，平囿取直线l

12、的方向向量，则这个向量叫做平囿 a的法向量.显然一向量个平囿的法向量有无数;匕，它们是共线向量2.空间中平行、垂直关系的向量表不设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面的法向量分别为ni,n2,则线线平行1 II m? a=kb(kC R)线囿平行1 1 ? a-L ni? a ni = 0囿囿平行a/ 傥 ni / n2? ni = kn2(kC R)线线垂直1 m? a - b= 0线圆垂直1 ? a H ni? a=kni(kC R)卸回垂直n傥n必？ m n2= 0一、判断题(对的打，错的打“X”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)已知双B = (2,2,1), AC = (

13、4,5,3),则平面ABC的单位法向量是)11和12的方向向量分别为V1= (1,0, 1),V2=(2,0,2)，则11与12的% 3的法向量，则m/ n2? all 0()，(4)X,12 2,n=33 .(3)两条不重合的直线位置关系是平行.()(4)若m,n2分别是平面答案：(1)X (2)，基本能力二、填空题1 .已知直线11的一个方向向量为(一7,3,4)，直线12的一个方向向量为(x,y,8),且11 / 12，则x =,y=.答案：14 62 .若平面 ”的一个法向量为 m = (3,y,2),平面3的一个法向量为 n2= (6, 2,z),且a/ 8 贝 U y+ z=.答案

14、：33 .若直线1的方向向量为a=(1,0,2)，平面”的法向量为n=(3,0,6)，则1与a的位置 关系是.答案：1，a全析考法向 量法 证 明 平 行例1如图布四锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD ,PD = DC,E是PC的中点，作EF PB于点F.(1)证明：PA/平面EDB;(2)证明：PBL平面 EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点设 DC = a.连接AC交BD于G,连接EG. a a 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E 0,5, a .底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心.a a故点g的坐标为2，2，0,且京=

15、 (a,0-a),EG = |,。，-1 , PA =2EG ,.-. PA/ EG.又 EG?平面EDB且PA?平面EDB , .PA/平面 EDB .(2)依题意得 B(a,a,0),亩= (a,a,a),DE = 0, 1, | 故而 BEnO+a_ 2= 0, - PB DE,又 EFLPB,且 EF ADE = E, .PB,平面 EFD .方法技巧1.利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行囿囿平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间

16、向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表线圆垂直示卸回垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面唯直的判定定理用向量表示提醒运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外.针对训练已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,E,F分别是BBi,DDi的中点，求证:(1)FCi /平面 ADE ;(2)平面 ADE /平面 BiCiF.有证明：建立空间直角坐标系如图则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,

17、2,0),Ci(0,2,2),E(2,2,i),F(0,0,i),Bi(2,2,2),一一 .、.7所以 FCi= (0,2,i), DA = (2,0,0), AE = (0,2,i).设ni= (xi,yi,zi)是平面 ADE的法向量，xi= 0,zi= 2yi,X2= 0, z2= - 2y2.nil E)A ， ni DA =2xi = 0,则即nil AE , ni AE =2yi + zi = 0,令 zi = 2,则 yi = i，所以 ni = (0, i,2).因为 FCm ni=- 2+2=0,所以芯 1n, 又因为FCi?平面ADE,所以FCi/平面ADE .Z，八 c

18、 c、(2)CiBi= (2,0,0),设n2=(X2,y2,z2)是平面 BiCiF的一个法向量，一 ，一 ZZ c一n2 FCi,n2 FCi= 2y2+z2 = 0,由得一 ,- n2 CiBi,n2 CiBi = 2x2= 0,令 z2=2，得 y2= i,所以 n2 =(0,1,2)，因为 n1=n2, 所以平面 ADE/平面BiCiF.考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题例2 如图所示,在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E是棱 DDi的中 点.在CiDi上是否存在一点 F,使BiF /平面AiBE?证明你的结论.解依题意 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 AB

19、CD-AiBiCiDi的棱长为i,1J.则 Ai(0Qi),B(iQ0),Bi(i,0,i),E 0, i, 2 ,玄= (-i,0,i), BE= -i,设n = (x,y,z)是平面AiBE的一个法向量，n BAi = 0, 则由n BE = 0,x+ z= 0,得，i -x+y + 2z=0. .i所以 x=z,y=2z.B z= 2,得 n= (2,i,2).设棱CiDi上存在点F(t,i,i)(0Wtw i)满足条件，又因为Bi(i,0,i), 所以 BiF =(t-i,i,0).而BiF?平面AiBE,一口 .一 一_i/一 、于是 BiF/ 平面 AiBE?BiFn= 0?(t-

20、i,i,0) (2;i,2) = 0?2(ti)+i = 0? t=2? F 为CiDi的中点.这说明在棱 CiDi上存在点F（CiDi的中点），使BiF/平面AiBE.方法技巧向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系 ，建立适当的空间直角坐标系 ，将相关点、相关向量用坐标 表本.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、 平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.针对训练在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E是棱BC的中点 则在线段CCi上是否存在一点 P,使得 平面Ai

21、BiPL平面CiDE?证明你的结论.解：存在点P,当点P为CCi的中点时,平面AiBiPL平面CiDE.证明如下：如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 i,P(0,i,a)(0a ，一 . 一DE = 2 ? i ？ 0 ,DCi= (0,i,i) .设平面AiBiP的一个法向量 ni = (xi,yi,zi),ni AiBi 0,yi = 0,则ni.AP = 0,-xi + yi+ ”1z1”令 zi = 1，则 xi= a 1,-ni = (a-1,0,1).设平面CiDE的一个法向量n2= (x2,y2,z2),一C1一n2 DE 0, TX2+ y2= 0,则21

22、，一c,八n2 DCi = 0,y2 + z2= 0.令 y2= 1,得 x2= 2,z2= 1, n2=(2,1, 1).若平面 A1B1P，平面 C1DE,1 则 n1 n2= 0,.- 2(a1)1 =0，解得 a=2.，当P为CC的中点时，平面A1B1P，平面C1DE.课时跟踪检测1 .在下列命题中：若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行；若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b 一定不共面；若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+ yb+ zc.其中正确命题的个数是()A

23、. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A a与b共线,a,b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知， 空间任意两向量a,b都共面，故错误；三个向量a,b,c中任意两个一定共面，但它们三个却不 一定共面，故不正确；只有当a,b,c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc, 故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若而* = 2,/=巾 =c,则下列向量中与 BM相等的向量是()A. - 2a +3+c Ba+cC 1b+c D.一4+c 2222解析：选 a BM =

24、BBh + Bwi = AA+1（AD AB）= c+j（ba）=2a+Bb+ c.3.已知空间任意一点 。和不共线的三点 A,B,C若OP = xOA + yOB + zOC (x,y,z R),则 “x=2,y= 3,z= 2” 是 “ P,A,B,C 四点共面”的（）a.必要不充分条件B .充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B 当 x= 2,y=3,z=2 时,OP = 20A 3OB + 2OC .则 TP - A(3=2O)A 3(AB公O)+2(ACAO),即疝 =-3AB + 2AC,根据共面向量定理知，P,A,B,C四点共 面；反之，当P,A,B,C四

25、点共面时，根据共面向量定理，设XP = mAB +nAC (m,n C R),即OP，= : 一 一OA = m(OB OA)+ n( OC OA )，即 OP = (1 m n) OA + m OB + n OC ,即 x= 1 - m n,y=m,z=n,这组数显然不止 2,3,2.故“x=2,y=3,z= 2”是“P,A,B,C四点共面”的 充分不必要条件.4.已知 a = (2,1, 3),b=(1,2,3),c=(7,6,陈若 a,b,c 三向量共面，则Q()A. 9B. 9C. 3D. 3解析：选 B 由题意设 c = xa+yb,则(7,6,4= x(2,1, 3)+y(1,2,

26、3),2x- y= 7,x+2y=6, 解得上9.3x + 3y = X,5. (2019东营质检)已知A(1,0,0),B(0, 1,1),OA + xOB与OB的夹角为120,则入的值为C.D. /6解析：选 C O)A+ xOB = (1,- 4?),cos 120 = -p,111, 6=2，得/=空.经检验/=挛不合题意，舍去，所以上-坐.66 、一 ，一， 一，6.在空间四边形 ABCD中，则ABCD + AC 扇 + AD BC* 的值为()A. 1B. 0C. 1D. 2解析:选 B 法一：如图，令 AB =a, AC = b, AD =c,则店 CD + AC DB + AD

27、 BCCAD -AC )+ AC (aB-AD )+AD (AC -M)a=a (cb) + b (a c) + c (b a)=a c a b+b a b c+cb c a=0.法二：在三锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.所以 点 CD = 0,7C -DbT = 0,aDT bC = 0.所以 ab cd + MC 昂 + ad gC = 0.7. ABC 的顶点分别为 A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3, 1)，则 AC 边上的高 BD 等于解析：设 AD = XAC ,D(x,y,z),则(x1,y+1,z2)= 2(0,4, 3),. .x=

28、1,y=4 卜 1,z=23 入 .D(1,4 入一1,2-3?),Bd = (-4,4H 5,-3?), 4(4 入+ 5) 3(34=0,解得入=-4,.-. BD = -4, 9, 12 , 555 I9_7_12,. |BD |= -4 2+ 5 2+ -5 2= 5.答案：58.已知点 P是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，如果遍 =(2,1, 4),记 = (4,2,0)，笳 = (-1,2,- 1).对于结论： APXAB;APLAD; 市是平面 ABCD的法向 一 一量；AP / BD淇中正确的是 .解析：二.疝瑞=22+4=0, APXAB，故正确；点过= 4+4+0=

29、0,，APLAD,故正确；由知APL平面ABCD ,故正确，不正确.答案：9. (2019南昌调研)已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N分别是OA,BC的中 点，点G在线段MN上，且MG2GJN，现用基底OA,OB,OC表示向量OG,有OG xOA + yOB + z_OC，则x,y,z的值分别为 .解析：.OG = OMT+ mg =-OA + 2mN 23=2OA+3（筋-OM）1 2OA111= 6OA+3OB+3OC，111 x =1 v =二 z=16,y3,z3.答案:1116,3,310.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AD = 4,AA1

30、=2-忒 M 在棱 BB1 上，且 BM = 2MB 1,点S在DD1上，且SD1=2SD,点N,R分别为AD1,BC的中点.求证：MN /平面RSD.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M 3, 0, 4 ,N(0,2,2),R(3,2,0),S 0，4, 2 . 33 mN= -3, 2, 2 高=-3, 2, | ,MlN =_RS .33一 ? MN / RS . . M?RS.，MN / RS.又RS?平面RSD,MN?平面 RSD,MN /平面 RSD.法二：设 7B = a,A5 = b,AAl =c,则 MN = MBT1+ BiA1 +A7N =1c-a + 1b, 32RS =寿 + CD + 5S = 1b a+ 1c, 23疝=,，疝 /RS又 R?MN ,. MN / RS.又RS?平面RSD,MN?平面 RSD, MN /平面 RSD.11.三棱锥被平行于底面 ABC的平面所截得的几何体如图所示，截 面为 A1B1C1,/BAC =90，AiA，平面 ABC ,AiA = V3,AB = AC = 2AiCi = 2,D为BC中点.求证：平面