集合与简易逻辑高考考点解析

1、集合与简易逻辑高考考点解析河北滦县第二中学 庞志全（邮编063700联系电话03157106958）集合与简易逻辑是未来学习的工具，是学习数学的基础。在高考中，集合与简易逻辑问题常以选择题、填空题题型出现，主要考查基本概念、基本运算以及数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等数学思想，有时也出现在解答题中。本章的考试内容：集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。本章的考试要求：1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集、全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。2理解逻辑联结词“或”、“且”、“非

2、”的含义；理解四种命题及其相等关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。考点示例与解析考点1考查集合中元素个数示例1设集合M=(x,y)x2+y2=1,xR,yR，N=(x,yx2-y=0,xR,yR，则集合M N中元素的个数（ ） A1 B2 C3 D4 （04广西）解析：本例主要考查交集运算、方程组的解法及集合的有关概念-1+x=22x+y=12（法一）依题意，得方程组，解得或2-1+y-x=0y=2-1+5x=-2，所以集合M N中元素的个数是2个，选择B -1+y=2（法二）集合M=(x,y)x2+y2=1,xR,yR是圆N=(x,y)x2-y=0,xR,yR是抛物线y=x2上的x

3、2+y2=1上的点组成的集合，点组成的集合. 集合M N表示圆x2+y2=1与抛物线y=x2的交点组成的集合。作出圆x2+y2=1与抛物线y=x2的图形，看交点个数即可求出答案。注意：解决集合问题时，数形结合能够起到简化运算的效果。考点2考查集合与集合的关系，即子集、真子集、相等集合的概念。 示例2. 设集合P=1,2,3,4,5,6，Q=xR2x6，那么下列结论正确的是（ ）（04天津）A. P Q=P B. P QQC. P Q=Q D. P QP解析：本例主要考查子集的概念，交集运算定义、运算性质及集合与集合关系的判断。因为P=1,2,3,4,5,6，Q=xR2x6，P Q=2,3,4,

4、5,6，所以P QP，选择D.示例3设集合P=m|-1<m<0,Q=mR|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（ ）（04湖北）AP Q BQ P C P=Q DP Q=解析：本例主要考查集合与集合间的关系以及一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系问题。由于集合P=m|-1<m<0,Q=mR|mx2+4mx-4<0对任意实数x(4m)2-4m(-4)<0恒成立，化简Q=m|m0或=m|-1<m0，所以 m<0P Q，选择A。示例4设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是( )A(CI A

5、)B=I B(C I A)( CI B)=ICA(CI B)= D(CI A)(CIB)= CI B (04河北) 解析：本例主要考查补集、交集、并集运算以及集合与集合间的关系。运用韦氏图解决教简单。由图可知(CI A)B=I，选择A注意：解决集合与集合的关系问题时，要准确把握子集、真子集、集合相等的概念及性质。示例5设A、B为两个集合，下列四个命题：A B 对任意xA,有xB A B AB AA B A B= B存在xA,使得xB（04湖北） 其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）解析：本例考查了子集的概念以及命题的否定形式，需要正确理解集合之间的关系。由于“AB”即集合A中的

6、任何元素都是集合B中的元素，而AB是AB的否定，等价于集合A中至少存在一个元素不属于集合B，所以应填。考点3考查集合的运算（1）考查交集运算示例6.设集合P=1，2，3，4，Q=xx2,xR，则PQ等于 （ ）A1，2 B3，4 C1 D -2，-1，0，1，2（04江苏） 解析：本例考查交集的定义以及绝对值不等式的解法。依题意Q=xx2,xRx|-2x2，所以PQ1，2选择A.示例.7已知集合M=0,1,2,N=x|x=2a,aM，则集合MN=（ ）A0 B0，1 C1，2 D0，2（04甘肃） 解析：本例考查集合的有关概念以及交集的定义。依题意集合N=x|x=2a,aM0,2,4,所以集合

7、MN=0，2,选择D。示例8.已知集合M=x|x2<4,N=x|x2-2x-3<0,则集合MN= （ ）Ax|x<-2Cx|-1<x<2 Bx|x>3 D x|2<x<3（04四川）解析：本例考查交集的定义以及一元二次不等式的解法。依题意，先将集合化简，即M=x|-2<x<2,Nx|-1<x<3,所以集合MN=x|-1<x<2,选择C.（2）考查并集运算示例9.设集合A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,则AB= .(04上海)解析：本例考查交集、并集的定义以及对数方程的解法。依题意，因为AB

8、=2，所以log2(a+3)2，解得a=1,因此集合B中b=2,即A=5,2,集合B=1，2.故AB=1，2，5。（3）考查交集、并集、补集的混合运算示例10.若U=1,2,3,4, M=1,2,N=2,3, 则 CU(MN)= （ ）(A) 1,2,3 (B) 2 (C) 1,3,4 (D) 4(04浙江) 解析：本例考查并集、补集的定义。易知选择(D)示例11.设全集是实数集R，M=x|-2x2，N=x|x<1，则（CU M）N等于（A）x|x<-2 （B）x|-2<x<1（C）x|x<1 （D）x|-2x<1(04北京)解析：本例考查交集、补集的定义。

9、利用数轴易知选择（A）考点4考查集合语言与集合思想的应用示例12. 记函数f(x)=2-x+3的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax+1x)(a<1) 的定义域为B.(1) 求A；(2) 若BA, 求实数a的取值范围.（04上海）解析：本小题主要考查集合的有关概念，分式不等式及一元二次不等式的解法等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力.x+3x-1【解】(1)20, 得0, x<1或x1 x+1x+1即A=(,1)1,+ (2) 由(xa1)(2ax)>0, 得(xa1)(x2a)<0.a<1,a+1>2a,1B=(2a,a

10、+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a<1, 21a<1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(,212),1 2示例13设全集U=R（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(aR);（2）记B=x|sin(x-A为（1）中不等式的解集，集合3)+cos(x-3)=0，若（CA）B恰有3个元素，求a的取值范围.解析：本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力.解：（1）由|x-1|+a-1>0得|x-1|>1-a.当a>1时，解

11、集是R；当a1时，解集是x|x<a或x>2-a.（2）当a>1时，（CA）=；当a1时，CA=x|ax2-a.因sin(x-3)+cos(x-3)=2sin(x-3)cos3+cos(x-)sin=2sinx. 33由sinx=0,得x=k(kZ),即x=kZ,所以B=Z.a<1,当（CA）B怡有3个元素时，a就满足22-a<3, 解得-1<a0.-1<a0.点拨：高考中集合问题主要有两大类，一类是考查集合本身的知识，一类是以集合语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式、曲线间的交点问题。解题时，要分清集合属于那一类（数集、点集或某类

12、图形）；进行集合运算时，一般要把各参与运算的集合化为最简形式；关于含参数的集合问题要运用数形结合、分类讨论等数学思想加以解决。考点5考查逻辑联结词与复合命题真假的判断示例14.命题p：若a、bR，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件； 命题q：函数y=x-1|-2的定义域是（，13，+).则 （ ）A“p或q”为假 B“p且q”为真Cp真q假 Dp假q真（04福建）解析：本例考查复合命题真假的判断，根据题设条件获得命题的真假，进而借助真值表判断复合命题的真假。因为|a+b|a|+|b|,所以|a|+|b|>1是|a+b|>1必要不充分条件，即p假；由|x-1|

13、-20解得x-1,或x3，即q真，因此选择D。考点6考查四种命题的关系示例15.在下列关于直线l、m与平面、的命题中,真命题是（ ）（04上海）A若l且,则l. B若l且,则l.C若l且,则l. D若=m且lm,则l. 解析：本例以四种命题真假的判断为工具考查立体几何中线面关系。由立体几何知识可知选择B。考点7考查充分条件、必要条件和充要条件示例16.已知数列an，那么“对任意的nN*，点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“an为等差数列”的A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件（04天津） 解析：本例考查了简易逻辑、充要条件的判定及其

14、方法规律，考查等差数列的性质和充要条件的应用，还考查了点与直线的位置关系。由点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上，则an=2n+1,所以an为等差数列；由an为等差数列，不能推出点Pn(n,an)在直线y=2x+1上，因此，对任意的nN*，点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“an为等差数列”的B. 充分而不必要条件。点拨：简易逻辑在高考以基本概念为考查对象，以本单元知识作为工具考查三角、立体几何、解析几何中的基础知识，因此要对数学概念有准确的记忆和深层次的理解，要正确认识数学符号，对基本题型求解准确迅速。基础练习1.设A=x|x=5k+1,kN),Bx|x6,xQ,则AB等于 （

15、 ） A1,4 B1,6 C4,6 D1,4,6 （04湖北）2设集合U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则CU（AB）等于（ ）A1，2，4 B4 C3，5 D（04福建）3设集合U=0,1，2，3，4，5，集合M=0，3，5，N=1，4，5，则M（CU N）=（ ）A5 B0，3 C0，2，3，5 D 0，1，3，4，5 （04甘肃）4设集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，5，则A（CUB）= （ ）A2 B2，3 C3 D 1，3（04河北）15.在ABC中,“A>30º”是“sinA>”的（ ） 2(A) 充分而不必要条件 (B

16、) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（04浙江）6. 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件17.“sinA=”是“A=30º”的（ ） 2(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（04浙江文）8已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的： （ ）A充分不必要条件 B

17、必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题 （ ）/m/n m/n/ mm/m m,n异面 m nm/其中假命题有： （ ）A0个 B1个 C2个 D3个10设集合U=(x,y)|xR,yR, A=(x,y)|2x-y+m>0, B=(x,y)|x+y-n0,那么点P（2，3）A(CUB)的充要条件是（ ）Am>-1,n<5Cm>-1,n>5 Bm<-1,n<5 Dm<-1,n>511已知a,b,c为非零的平面向量. 甲：ab=ac,乙:b=c,则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙

18、的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（04湖北）12.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，n，则mn； 若，m，则m； 若m，n，则mn； 若，则。其中正确命题的序号是（A）和 （B）和 （C）和 （D）和13对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是 （ ）A如果m,n,m、n是异面直线，那么n/B如果m,n,m、n是异面直线，那么n与相交C如果m,n/,m、n共面，那么m/nD如果m/,n/,m、n共面，那么m/n(04甘肃)14.函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上存在反函数的充分必要条件是(A)a(-,1) (B) a2,+)(C) a(-,1) 2,+) (D) a1,215.函数y=的定义域是：（ ） A1,+) B( C D( （04重庆） 3,13,13,+)x(x+2)<0的解集为（ ） 16不等式x-3Ax|x<-2,或0<x<3 Bx|-2<x<2,或x>3Cx|x<-2,或x>0 D