高数下期中考试

1、高等数学 (下册) 期 中考试汇编(2013-5-5)、解答下列各题( 7 10 = 70分)x1. 设 u =xy _ +ez，求 dz(!,2,o)322. 设曲线为r二r(t) =(t3,t2,t)，求它在对应于t = 1的点处的切线方程和法平面方程2 2 23. 设有球面x y z 14，求它在(3,2,1)处的切平面方程和法线方程.4.设由方程2 2 2x 2y 3z xy-z-9 = 0 可确定 z = z(x, y)，求j2z,rv:xy在P(1,-2,1)处的值.2 2 25. 设积分区域11由抛物面z = x y及平面z = h 0所围成。求111 z dv'五6.

2、计算二重积分I = JJ(1 一恋x2 + y2 )d er，其中D是由x2 + y2 = a2和x2 + y2 = ax及x = 0所围在D第一象限的区域.1- y- yy 1-.1y7. 计算二重积分 I 二 12dy 1 eXdx、ndyexdx.4二t8. 在圆锥面Rz = h； x2 y2与z=h (R 0, h 0)所围的锥体内作一个底面平行于xoy面的最大长方体，求此长方体的体积.22339. 在一个侧面为旋转抛物面 4z = x y的容器内装有8二(cm )的水，现注入128二(cm )的水，问水 面比原来升高多少？10.求向量值函数 f的导数，其中f - 'xcosy

3、,yex,sin(xz)】.82f、设z = f e ，其中具有二阶连续偏导数，求< y丿三、讨论函数 f(x,y) = Jx2b2)Sinx20,=0在(0,0)点是否连续，是否可微=0四、设二是由曲面z = ： a2x2y2及z - x2 y2 转动惯量Iz.a(a 0)围成的空间立体，求'-1对oz轴的五、设 f (t)在0,：式 0 玄 z 咗h, x2y2，'2-2)上连续，且满足方程 f(t) =1亠III z2 f Q L224t所确定，求f (t).(2012-4-21)dv，其中门是由不等 丿填空题(每小题21 .曲线X =t ，5分，共20分)y =2

4、t, z = t上相应于y = 2的点处的切线方程是2. u二zarctany在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为 x3曲面F(x, y, z) = x2 xy2 y3 - z 1 = 0，在点M (2,T,6)处的切平面方程为 2 24.若函数f (x, y) =2x ax xy 2y在点(1,T)处取得极值，则常数 a二计算下列各题(每小题9分，共54分)1)2)3)4)11sin x计算 I = dyjy(1 +ex)dx x计算二重积分 "sin x2y2dxdy， D :二2 x2D22 y设z =x f (x,)，其中f具有连续的二阶偏导数

5、，求x2 2求椭球面 -z2 =1被平面x y z = 0截得的椭圆长半轴与短半轴之长32在曲面 a x y z = 1 (a 0,b 0,c 0)上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成r-2兰和二jx；x5.的体积最大，求切点的坐标:f ： 2f6设函数F (x, y) = x1 yf (x2 y2)，其中f (u)二阶可导，求，求二重积分ex dx 讷3I = F (x, y)dxdy，其中D是由y =x , y =1,x = -1围成的平面区域.D三.(9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2)(2 2、x - y、2xy2) 设 z 二 f (x, y)，由 x - y xeU

6、= 0所确定，求 dz四. (11分)讨论函数f(x, y) =3. x2y在点(0,0)处是否连续，偏导是否存在，是否可微？五. (6分)已知u =u(： x2 y2)有连续二阶偏导数，且满足2= x2 y2试求函数u的表达式.excy(2011-4-23)1)设有二元向量值函数f (x, y)=，试求f在点(1,1)处的导数与微分.、填空题(每小题 5分共20分)X兀1 .函数 f (x, y)二 e In sin(x-2y)，在(一 ,0)点处的全微分 dz 二422设u =2xy -z，则u在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值为 1 1 1 、 (,)处的切平面方程为2 2 2-2

7、:z.2 =:X2 2 23设有椭球面x 2y - z =1，则它在点xz4 设z=z(x, y)由方程 In 所确定，则zy二单选题(每小题 5分，共20分)X =t1 在曲线 y二-t2的所有切线中，与平面x 2y z = 4平行的切线(z=t3A 只有1条 B 只有2条 C 只有2. lime"T cos(x y)d xd y 二(d兀B. 1/兀C. 1eIn x3条 D不存在).其中 D ：x2 + y2 兰 r2.3设f (x, y)连续,I = j dx.。 f (x, y)dy交换积分次序后为(eIn xI =dy 0 f (x, y)dxIn xeI = 0 dy

8、1 f(x,y)dxe1b. I = feydyf0f(x,y)dx1eD. I = 0dy ey f (x,y)dx4.函数 f (x, y) = «0,B 连续sin 22x2 2y2),x2y2“x2y2在点（0,0）处（ ）A .无定义x2 y2 =0C 有极限但不连续D .无极限三、（10分）设函数f（u,v）可微,z = z(x, y)是由方程z xy二f （xz, yz）确定的可微函数，求z，二ex cy四、（10分）五、（10分）最短.讨论函数 f （x, y） = jxy|在（0,0） 处连续性、可导性、可微性 2 2 在曲面二：z = x 2y上求一点p（x

9、76;, y°, z°），使它到平面 二：x - y 2z 0的距离42d x _sin d y .x 2y计算二重积分I |Sin、x2 亠 y2 d xd y, D :二2 三 x2 亠 y2 三 4二 2.D八、（4分）（学习工科数学分析者作（1）,其余作（2）xt（1）求向量值函数 f （x, y, z） =（xcosy, ye ,sin（xz）的 Jacobi 矩阵.2（2）求函数z = f （x, 2x y,x -3y）的梯度（f的偏导存在）. 2 2 2 2九. （6分）求抛物面 z =1 x y的一个切平面，使得它与抛物面及圆柱（x-1） y =1围成的体积

10、最 小，试写岀切平面方程并求岀最小体积六、（10分）七、（10分）2x计算 “ 1dx、xsindy(2010-5-8)填空题（每小题 4分，共20分）x设 u =xy_+exyz，则 dz（120）=.x=t：设 y =t2，则它在t =1所对应点处的切线方程为z=t:22 2=In x y - z ，则 grad f (1,1,1)= 2xy -z2，则u在点（2,-1,1）处沿方向I二计算2.(x y)d 二x2 yR2J'3' 3的方向导数为计算题（每小题7分洪63分）2 2求曲面z二x y -1在点（2,1,4）的切平面方程和法线方程11 七1 t2 sin xy ,

11、计算 f1d y f 2 dx .'-.1y2、设 z=xf 2x,I x，其中f具有二阶连续偏导数，求-2:Z：xfyxy讨论函数f （x, 丫）=二：'汶 y2 '【0,设有形状为旋转抛物面的一容器x2y2 = 0在点（0,0）的偏导数及可微性.x2y2 =0，其中心轴截面与容器的截线方程为y=x2,现将长为I的细棒AB置于容器之中，试求细棒中点的最低位置 （设I <1）.6(学工科数学分析者作(1),其他作(2)(1)求向量值函数2求由方程x计算二重积分f=Fn“2-y2)in(xF)nT在点(1,1,1)T处的导数.2 2 2z-2y - z -4x，2z

12、-5=0所确定的隐函数 z的二阶偏导数2.x11 .；x2 y2 d二，其中 D =( x, y) | 2x 込 x2 y2 込 4, x 亠 0, y 亠 0.D若二元函数z(x, y)在xoy平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且-z2 2 1'x z jdxd y，求函数 z(x, y).d xd y = 2xz dxD；：xD设函数f(t)在0, ：)上连续，且满足方程fJx2 +y2 Idxdy,求 f (t).22f(t)=e4 nx2 y2j4t2讨论题(共17分)1.计算二元函数z = f(x,y)在点P(x°,y0)处对x的偏导数fx(x

13、76;, y°)时，可以先将y = y°代入 f (x, y)中,再求一元函数f (x, y0)在x°处对x的导数,即fxgy。)= df (x,y0)三、dx，为什么x=xo2242.试通过讨论函数 f(x, y)=12x -8xyy的极值点，来说明当点(x, y)在过M0(x0,y0)的任一直线L上变动时，二元函数f (x, y)都在M 0(x0, y0)处取得极值，能否断定该函数在 M 0 (x0, y0)处取得极值(2009-4-26 )2.、填空题(每小题3分，共15分)2 2若函数f (x, y) =2x ax xy 2y在点(1,-1)处取得极值，则

14、常数 a =:z:.2xz =1 n(e»)，沿 -1,0方向的方向导数y3.4.5.1.曲线 x二cost, y二sin t, z二tan f 在点(0,1,1)处的切线方程是 交换二次积分的积分次序(其中f (x, y)为连续函数)1x2220dx 0 f(x,y)dy “dx。 f(x,y)dy 二.设M(1,-1,2)是曲面z二f(x, y)上的一点，若fx(1,-1)=3，在任一点(x, y)处有 xfx(x, y) yfy(x, y) = f (x, y)，则曲面在 M处的切平面方程是 .、单项选择题(每小题3分，共15分)4xy"+y0,函数 f (x, y)

15、二 x2x2y22.3.-0在原点(0,0)间断的原因是f (x, y)()=0B.在原点极限存在但在原点无定义D.在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值 2y210在点 0(0,0)处(C.无极值x2y2A.在原点无定义C.在原点极限不存在函数 f (x, y)二 2xy -3xA.取得极大值B.取得极小值设 u =arctan 贝U gradu(11)y( 1 )D.不能判定是否取得极值1A.-21B.2(|x|乞 1)，则f(x2 y2)dv ()Df24.设f (u)是连续函数，平面区域D : 0乞y乞1 - xA.C.1Li 公20dx0 r02 2f(x y )dy1 2dr f

16、(Y)3B.D.5.比较I (x y)2 d二与 I2D11dyC Jc-00:!1dr002 2f(x y )dxf C?2)d t=(x y)3 d二的大小，其中D J(x,y)|(x-2)2 (y-2)12 ，则()A. h = I 2三、解答题(每小题B.丨1 I28分，共64分)c. 11 乞 I21.2.3.4._ 2求M和亠.x.:x: y求曲面 y 、目、z -2上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。11 XV计算二重积分 0 d x 3 d v .气1 + v3设 F(t)二 esin x y dxd y，其中 D =( x, y) |x2 y2 _t2，求 lim D呵

17、ty设 z =arctan 丄x5.讨论函数f (x, y)(x26.2 1y )sin p 2 x + y0,在原点(0,0)处的可微性.2设有一物体，它是由曲面密度- z，求此物体的质量7.(学习工科数学分析者作，学习工科数学分析者作 求向量值函数 f (x, y) = xy的导数.2丿一2 2 2 设函数z = z(x, y)由方程F (x - y , yx2 yz- -x2 - y2和z = W8-x2 - y2所围成，已知它在任意的点(x, y,z)处的m .2-z )=0所确定.其中F(u,v)可微，zFv - 0，求z zy x .:x: y-.28.设 Z 二 f(x,y) ，

18、其中f具有二阶连续偏导数，求dz及亠一乙.x:xy四、综合题(6分)2 2在第一卦限内作旋转抛物面z=1-x - y的切平面，使得该切平面与旋转抛物面2 2z=1-x -y(x_0, y _0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标一.解答下列各题(每小题7分,共70分)21. 设 f (x, y) =arcsin ,求 df (x, y).x222CZ2. 设由方程 x2 +2y +3z2 +xy -z-9 = 0可确定 z = z(x, y),求一°X (1,_2,1)2 23. 求曲面z=x y -1在点(2,1,4)的切平面与法线方程.4. 求曲线r = (sint,

19、t2,2t)在t = 0时的切线与法线方程。11 知 _y5. 设f连续，交换积分次序1 dy26. 计算二重积分.！ ! (x sin y 1)dxdyX2书2盘2 2 2l】是由抛物面z=x y及平面z = h 0所围成，已知它的密度为 f(x, y,z) = z .试计f (x, y)dx.7. 设空间立体 算它的质量8. 求 u = 2xy2- - z在点(2, -1,1)处的方向导数的最大值.9. 求曲线 r = (acost,asint,kt)的曲率.10. (学工科数学分析者做，其它做)设 f(x,y)=(x2y2,exy)T,求 Df (1,1),df (1,1)设方程组f 2

20、2X +y =uvcu cv222 ,确定了函数 u = u(x, y)和 v = v(x, y)求丁，xy = u - vex ex四.(8 分)(8 分)(7 分)(7 分)=1兰设 z = f(x2y,),其中 f C 设 f (x, y)= <x2x y2 2 ,x y0 ,求兰二.x ；x .yx2y2x2y2-0，试研究f (x, y)在(0,0)点处的连续性、可微性.-0求曲面Z =1 +x2 + y2 在点M 0 (1 13 的切平面与曲面z = X2 + y2所围立体的体积。.设函数f (x,y,z)在闭球体1: x2 y2 zi 3上有连续的偏导数，且满足条件：在内

21、=1 兰1 ,:z:x试求函数f (x, y, z)并证明 f (1,1,111 o7 < f (x, y,z)乞 13, (x, y,z)门(2007 年)7分，总计70分)、解答下列各题(每小题1、 设- f (2x y,xy)，其中f具有一阶连续偏导数，求dz. 呂2、设 z = arctan，- In ； x2 y2，求一z .xexeyx y3、求曲面2z 2z =8,在M0(2, 2,1)处的切平面和法线方程。4、 设 f =x2 y2,exyT，求 Df (1,1),df (1,1)。(求 f 二 x+ y2 +z2 =6在(1,-2,1)处的切线和法平面方程。3 y3 -

22、3x2 - 3y2 的极值)2x5 .求曲线K + y + z = 06 若f(r)为可微函数，其中 rx2 y2 z2，计算 gradf (r)。a2a-xdx0 -2 f (x, y)dy的积分次序。( a 0, f连续)。a a -x8 设有一物体由曲面 z=- x2 y2和z f 8 - x2 - y2所围成，已知它在任意一点M (x, y, z)处的密度-z，求此物体的质量。9.一质量分布均匀(密度为常数)的物体1由曲面z = x2 y2,x2 y2 =1及z = 0所围成，求此物体的质心坐标。7在直角坐标系下，交换二次积分1 阪10 计算 0dx xy2e2 dy o二、(8分)设

23、z = z(x, y)由方程22Zy - z = yf ()确定，其中f具有一阶连续偏导数，求yjz；zy x .:x-y2x y(8 分)设 f (x, y) = x2 y2'丨0,四、(8分)在第一卦限内作旋转抛物面2 2三、(x, y) = (0,0)£，试讨论f在点(0,0)处的连续性和可微性.(X, y)= (0,0)2 2z =1 -x y的切平面，使得该切平面与旋转抛物面z =1xy (x 0, y 0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。五、(6分) 设f(0,0)呷 »2 2f (x, y)在单位圆x y <1上有连续的一阶偏导

24、数，且在边界上取值为零，证明: xfx yfv2/dxdy，其中D为圆环域；_x y _1.x y(2006 年)、解答下列各题(每小题 7分，总计70分)1、设z = f (x,2x y,xy)，其中f具有一阶连续偏导数,2、设 z =求 dz.；：2z2:x3、求曲线4、求曲面f (xy -)，其中f具有二阶连续偏导数，求x2 一r(t)二t, -t ,3t -1上一点处与平面 x 2y 4平行的切平面方程。5的平行于平面222 2 zx y22x 2y的切平面方程。5、交换二次积分的积分次序:2odyy4 _yf (x, y)dx。16、计算0dx xe 2 dy7、设f (U)是连续函

25、数，试将2 x0叭f G. x2 y2)dy在极坐标系下为二次积分。8、设函数f (x, y, z) = xy zx zy - x - y - z 6，问在点M (3,4,0)处沿怎样的方向I'， f的变 化率最大？并求此最大变化率。9、 计算二重积分.I (x2 y2)dxdy，其中D为x2 y2 =2x所围平面区域。D(注学习工科分析基础的作(1)，其余作(2)In 22证明等式.1.1 f (xy)dxdyf (u)du，其中D是由直线y = x, y = 2x与双曲线D2xy =1,xy =2所围成的位于第一象限的闭域。23把正数a分成三个正数 x, y, z之和，并使f(x,

26、 y, z) = xy z取得最大值。:z10、(1)(2)二、(8 分)三、(8分)设z = y f (x - y , xy)其中f具有二阶连续偏导数，求cxcy1 1从平面薄圆板 x2 "(y1)2 -1的内部挖去一个园孔 x2 (y )2后，得到一个薄板,4若其上名点处的密度为二、x2 y2，求此薄板的质量。xy22 ,x y0,(7分)若点M0(X0,y0,Z0)是光滑曲面 必定过坐标原点.四、(7分)证明：f(x, y)=(X,y)W0)在点(0,0)处偏导数存在但不可微。五、(x,y) =(0,0)F (x, y, z) = 0上与原点距离最近的点，试证过点M °

27、;的法线（2004 年）、解答下列各题(每小题6分，总计12 分)1、求曲线 x = a cost, y 二 bsi n t, z = ct 在点b 二a,2,6 C处的切线方程.- 挣2 将 I = ：02 dx 0 f（x,y）dy Rdx 0RR2 _x2f (x, y)dy化为极坐标系中先对 r后对日的二次积分。二、解答下列各题(每小题1 在曲线x二t, y322、求曲面x '三、（8 分）计算26分，总计12分)2 2=2t , z = 3t上求点，使该点处曲线的切线平行于平面8x 7y - 4z = 1 .y2 xz z =3在点(1,1,1)处的切平面方程.I 二 | x

28、2y2 -2 | dxdy，其中 D : x2y2 乞 3.D四、（7 分）五、（7 分）六、（7 分）；z : z:x ；y设函数f (t,s)具有连续的一阶偏导数，而u = f (x y z，xyz)，求du.f 2xy/、 /cc、_x2 +y4 ,(x, y) = (0'0) 在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数0,(x,y)=(0,0)=f (x)g(y), f (x)0，其中f, g为可微函数，求证明：f (x, y)壬七、（9 分）八、（9 分）2x22在椭球面y - z =1上求距离平面3x 4y T2z = 288的最近点和最远点.96设y = y(x), z =

29、 z(x)是由方程z = xf (x y)和F (x, y, z)二0所确定的函数，其中f和Fdzdx.分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求九、2 2 2(9分)设球体x y z < 2az (a 0)中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比试求该球体的质量与质心 .2 y_ b2 十一、( 8分)设由y =1 nx, y = 0及x二e所围的均匀薄板(密度 的直线旋转时转动惯量最小？十、2x(9分)试求正数的值，使得曲面 xyz - 与曲面二a2-z2 -1在某点相切.c' - 1)求此薄板绕哪一条垂直于x轴（2003 年）、解答下列各题（每小题5分，总计15分）w

30、h-*ffc>Li.fc-rfc-fc-r1、设 a= ij，b= ij - 4k，c= i - j,求（ab）c.2兀22、求曲线 x =t , y =cost,z =sint 在点（，1622 2,)处的切线方程.2 22x3、设f (x,y)为连续函数，交换累次积分J0dxJx f (x, y)dy的积分次序.二、解答下列各题(每小题6分，总计12分)1、试求平行于x轴，且过点(3,-1,2)及(0,1,0)的平面方程.I 二 x2 y2d二.D四、(7 分)设 f (x, y)=/ xcfx +(y 1)arccos ，求(0,1),_切丿次(0,1).2、试求曲面z _ez 2xy =3在点(1,2,0)处的切平面方程. 2 2 2 2三、(8分)设区域D由x y < 1,x y < 2x及y_0所确定，计算二重积分五、(7 分)设 z =(1 xy)x，求 dz.六、(7分)一直线在平面 二:x 2y = 0上，且和两直线xI1 :-1=_y-4-1x -4 y _ 1 z-2I2:都相交，求该直线的方程2 0-133 2D:Q< x < 2,0乞y乞2上的最小值和最大值.七、(9分)求函数z