三角形的证明(培优).docx

1、精品文档三角形的证明(培优)出题人：张丹霞姓名：题型一全等三角形例1.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图 中的两张三角形胶片 ABC和 DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把 DEF绕点B顺时针方向旋转，这时 AC与DF相交于点0 .(1)当旋转至如图 位置，点B ( E) , C, D在同一直线上时， Z AFD与N DCA的数量关系是；(2)当4DEF继续旋转至如图 位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(3)在图中，连接BO、AD ,探索B0与AD之间有怎样的位置关系，并证明 .变式1:如图，已知点D为等腰直角 aABC内一点，Z CAD二NCBD=15&#

2、176; , E为AD延长线上的一 点，且 CE=CA.(1)求证：DE平分ZBDC ；(2)若点M在DE上，且DC二DM ，求证：ME二BD.变式2:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图 是由它抽象出的几何图形，点B、C、E在同一条直线上，连接 DC.（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） 2）求证：DC ±BE.变式 3:在 4ABC 中，NACB = 90° ， AC = BC,直线 M N 经过点 C ,且 AD_LMN 于 D, BE_LMN 于 E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD +

3、BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE二AD -BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.题型二 等腰三角形的性质例2.如图1, ABC的边BC在直线1上，AC ±BC ,且AC=BC ； EFP的边FP也在直线1上，边EF与边AC重合，且EF=FP.(1)在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出 AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将4EFP沿直线1向左平移到图 2的位置时，EP交AC于点Q ,连结AP, BQ.猜想并写出 BQ与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想

4、；(3)将4EFP沿直线1向左平移到图3的位置时，EP的延长线交 AC的延长线于点Q,连结AP、BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.变式1:如图，已知4ABCCD相交于点F, H中，Z ABC =45° ， CD ± AB是BC边的中点，连接DH于D, BE平分NABC,且BE_LAC于E,与与BE相(1)求证：BF二AC(2)求证：CE二BF ；2(3) CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.变式2:已知：如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边4OAB的顶点B在第一象限，顶点 A在x轴的正半

5、轴上.另一等腰 AOCA的顶点C在第四象限，OC = AC, NC=120。.现有两动点P、Q分别从A、0两点同时出发，点 Q以每秒1个单位的速度沿 0 C向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A-0-B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的 OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边4OAB的边上（点A除外）存在点D ,使得4OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件 的点D的坐标；（3）如图日 ,现有NMCN = 60° ,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN .将ZMCN绕着C临旋转（0

6、6; V旋转角V 60° ）,使得M、N始终在边0B和边AB上.试判断在这一过程中，4BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由.题型三等腰三角形的判定例3.如图，RtA ABC中，ZACB=90° , CD ± AB,垂足为D , AF平分ZCAB ,交CD于点E,交CB于点F.(1 )求证：CE=CF；(2)将图中的AADE沿AB向右平移到A'DE'的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图 所 示，试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系 ？请证明你的结论.变式1:已知：在AABC中，AD是B

7、C边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC ,延长BE交AC于F,求证:AF二EF.1变式2:如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线1： y=x+rn与X、y轴的正半轴分别相交于点A、2B,过点C ( 4, 4)画平行于 y轴的直线交直线 AB于点D, CD =10 .(1)求直线1的解析式;(2)求证：4ABC是等腰直角三角形;(3)如图2,将直线1沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线1与x、y轴分别相交于点a，、在直线CD上存在点P,使得AA' B' P是等腰直角三角形.埴直承写出所有符合条件的点 R的坐标.国1精品文档题型四等边三角形例4.（1）如图1,点0

8、是线段AD的中点，分别以 A0和DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边尼角形OCD ,连接AC和BD,相交于点 E,连接BC.求NAEB的大小；（2）如图2, 0 AB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕点0旋转（AOAB和AOCD不能重叠），求NAEB的大小.变式1:如图1,已知NABC=90° , ZABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连 接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段 AQ,连接Q E并延长交 射线BC于点F.（1）如图 2,当 BP=BA 时，NEBF =,猜想NQFC =；（2）如图1,当点P为射线BC上任意一点时，猜想NQFC的度数，并加以证明；（3 ）已知线段AB二d3,设BP=x,点Q到射线BC的距离为y,求y关于x的函数关 系式.图：题型五直角三角形MCN 45°.例 5.已知 Rt ABC 中，ACB 90° , AC BC ,(1)如图。，当M、N在AB上时，求证:2MN AM22BN ：Q)如图,将MCN绕C点旋转,当M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.变式1：如图，在Rt ABC中,A 90° , D为斜边BC的中点，DEDF