五年级奥数.计数综合.计数方法与技巧

1、知识结构(1) 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系.(2) 整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑, 从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系.(3) 对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这 两种事物在数量上是相同的.事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式.(4) 递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这 一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法.例题精讲

2、5条直线最多分这个平【例1】一条直线分一个平面为两部分.两条直线最多分这个平面为四部分.问面为多少部分？【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【例2】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?Page 1 of 8【巩固】10个三角形最多将平面分成几个部分?【例3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分例1 一个正方形的内部有 1996个点，以正方形的 4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形.问：一共可以剪成多少个三角形

3、？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀 ？【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这 100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小 三角形？【例4】 在8X8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个?【巩固】用一张如图所示的纸片盖住 6 6方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法?【例5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字 大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个?【例6】 学学和思思一起洗 5个互不相同的碗

4、（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法.，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最【巩固】学学和思思一起洗 4个互不相同的碗（顺序固定）Page 3 of 8上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有 种不同的摞法。【例7】一个正在行进的 8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列 的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的 人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法.【巩固】将112这12

5、个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法?【例8】 圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余 10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的多边形称为红色（蓝色）多边形.不包含红点及蓝点的称无色多边形.试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数可以从三角形到 12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数， 哪一种较多？多多少个？【巩固】有一类各位数字各不相同的五位数 M ,它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两Page 4 of 8位数字大.另有

6、一类各位数字各不相同的五位数W,它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小.请问符合要求的数M与W,哪一类的个数多？多多少？【例9】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第 10级，共有多少种不同走法?【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法?【例10】有一堆火柴共12根，如果规定每次取 13根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?【巩固】一堆苹果共有8个，如果规定每次取 13个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法?【例11】如下图，一只蜜蜂从 A处出发，回到家里 B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不 准逆行，共

7、有多少种回家的方法？【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A房间到达B房间有多少种方法?:匚少课堂检测【随练1】如图所示，在2X2方格中，画一条直线最多穿过 3个方格；在3q方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在 5X5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。Page 7 of 8【随练2】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片?【随练3】在8X8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的L”形（如图），一共有多少种不同的方法?BGW片家庭作业【作业1】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块.（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【作业2】在一个六边形纸片内有 60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形， 最多能剪出个.【作业3】图中可数出的三角形的个数为 【作业4】在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了7张选票。在将 7张选票逐一唱票的过程中，昊昊的得票始终没有超过铮铮。那么这样的唱票过程有 种 不 同 的情况。【作业5】请问至少出现一个数码 3,并且是3的倍数的五位数共有多少个?【