人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]函数(基础)

1、精品文档用心整理高考冲刺：函数编稿：辛文升 审稿：孙永钊【高考展望】函数知识是高中数学的重要内容之一，也是每年高考必考的重要知识点之一，分析历年高考函数试题，大致有这样几个特点：1 .常常通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象.2 .在解答题的考查中，常常与不等式、导数、数列，偶尔也与解析几何等结合命题，以 综合题的形式出现.3 .从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查.4 .每年高考题中都会涌现出一些函数新题型，但考查的重点仍然是对函数有关知识的深 刻理解.【知识升华】1 . 了解映射的概念，理解函数的概念并能在简单的问题中应用.2 .理解函数的单调性和奇偶

2、性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，并能 利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.3 .掌握基本初等函数的图像，掌握某些简单函数的图像变换4 .理解分数指数的概念，掌握有理指数哥的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5 .理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6 .能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 368992知识要点】【典型例题】类型一：函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解

3、决有关问题例1.函数y = Jlog2x-2的定义域是（）（A） （3,+ 川 （B）3, + oo）（c）（4, + oo） （D） 4, + 8）【思路点拨】此为复合函数的定义域求解，对数、根式等不能漏X 0【斛析】由nX*4.,故选D.log2x -2-0举一反三：.、,.sJx-2-1【变式1】函数f（x）=-的定义域为 .10g2（X -1）【答案】3,二）【解析】由x2 1 之0且x1 >0且x1#1得x23例2.若函数f (x) =loga (x+1) (a>0, awl)的定义域和彳1域都是0, 1,则a等于A. -B. 2C.D.232【思路点拨】因为底数不确定，

4、需要讨论.【解析】f(X)=lOga(X+1)的定义域是0, 1, 1, 0< 1,则1a+1W2.当 a>1 时，0=logaiwiog (x+1) <log,2=1, . a=2；当 0vav1 时，loga2wiog (x+1) <log1=0,与值域是0, 1矛盾.综上，a=2.【答案】D举一反三：【变式1】函数y = Jx(x 1) +我的定义域为()A. x|xA0 B. x|xA1C. x|xA1|J0D. x|0< x< 1【答案】C.【解析】由x(x -10且x>0得x21或x = 0.类型二：复合函数问题复合函数问题属于偏难些的内容

5、.此类题目往往分为两类：一是结合函数解析式的求法来 求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域 1 1例3.若函数y = f (x)的值域是,3,则函数F(x) = f (x广的值域是2 f(x)( )r1105 10101A. ,3 B, 2, C, , D , 3,一 232 33【思路点拨】对于复合函数的很多问题都是可以通过换元法来解决的【答案】B1 110【解析】令 t = f(x),则 t一,3, F(x)=t+w2,2 t 3举一反三：1【变式1】函数f (x )对于任意实数x满足条件f(x + 2) =,若f(1)=-5，则f xf f 5 =.-1【答案】-511

6、，【斛析】由f (x+2 )=，得f (x+4 )= f(x),所以f xf x 2.11f(5) =f (1) = -5,贝 U f (f (5)=f (-5) = f(-1) = -= -.f(一1 2)5【高考冲刺第3讲函数的概念、图象和性质 368992例1x2 (x<0)例 4.已知 f(x) =73 (0 <x<1) 求 f(f(f(a)。10gl x (x >1)、3【思路点拨】分段函数求值，也应该从自变量的分段开始【解析】当 a<0时，f(f(f(a) = f(f(2a) = f(V3) = 112当 0 wa W1 时，f(f(f(a) = f

7、(f (73) = f()=logia22当 a>1 时，f (f(f (a) = f (f(1og1a) = f (2 3) = #3(a :二 0)所以 f( f (f(a) = (0 < a <1)V3 (a >1)x2,【变式1】设函数f(x) = |1；x2 x -2,x0 1,皿 则x 1,1，一f ()的值为()f(2)15 A.16 【答案】27B.16C.D. 18一一一2 一 一f(2) =2 +22 =4 ,)=f(;)=1-(;)2=16资料来源于网络仅供免费交流使用类型三：函数的重要性质(单调性、奇偶性和周期性)函数的单调性、奇偶性和周期性是高

8、考的重点内容之一，考查内容灵活多样.这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇 偶函数的图象.例5.若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足 f (x)-g(x) = ex ,则有()B. g(0) < f(3)< f(2)A. f (2) <f (3)<g(0)C. f (2) <g(0) < f(3)D. g(0) < f(2) < f(3)【思路点拨】根据两个函数的奇偶性可以分别求出这两个函数，再看各自的单调性【答案】D【解析】f (x) g(x) =ex f(x) g(x)

9、=ex4即f (-x) -g(-x) =e-f (x) -g(x) =e"x_xx_xe -e / 、 e e- f (x) =-， g(x) = -22ex - e -x一一 一一一一e2 - e-2 g(0) =1,又. f (x) = e-J 单调递增，. . f (2) < f (3)且f (2) =e>1.22举一反三：【变式1】f (x), g(x)是定义在R上的函数，h(x)= f(x)+g(x),则“f (x), g(x)均为偶函数”是h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【答案】B【解析

10、】先证充分性：因为 f (x ), g(x)均为偶函数，所以 f (-x) = f (x) , g(x) = g(x),有 h(x) = f (x)十 g(x) = f (x) +g(x) =h(x),所以h(x)为偶函数.反过来，若h(x)为偶函数，f(x), g(x)不一定是偶函数.如 h(x) =x2 , f (x) =x, g(x) =x2 -x ,故选 B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证.例6.设f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f (x) g(x) =x2 - x ,求f (x).【思路解析】f(x)、g(x)的奇偶性已知，可以从奇函数、偶函数的定义来分析问题。【解析

11、】f(x)为奇函数二f(x) = f(x)g(x)为偶函数二 g(-x) = -g(x)2 2f(x)-g(x)=x - x f (-x) - g( -x) = x x从而 -f (x) - g(x) -x2 x, f (x) g(x) - -x2 - x23 f(x) g(x) = x x = ,f(x) = x2 Lf(x) +g(x) = -x2 -x kg(x) =-x举一反三:【变式1】设奇函数f(x)在(0,+W 上为增函数，且f(1) = 0 ,则不等式f (x) 一 f ( x)_- < 0的解集为()xA. (-1,0川(1,+叼B. (-o,-1)U(01)C. (_

12、oo,_1)U(1,+ 七)D. (-1,0)U(01)【答案】D.【解析】由奇函数f(x)可知f(x) f(x) =211x20,而f(1)=o, xx则 f (1) = f (1)=0 ,方法一：当 x>0时，f(x)<0 = f(1)；当 x<0 时，f (x) A0= f (1),f(x)在(,0)上为增函数,又f (x)在(0,+9)上为增函数，则奇函数0 : x ：: 1，或-1 : x ：: 0 .方法二：作出函数f (x)的示意图，有当 x>0时，f (x) <0 = f(1)即 0<x<1;当 x<0时，f(x) A0 = f(

13、1),即1<x<0.类型四：函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例7.(2015安徽高考)函数f(x户ax+b2的图像如图所示，则下列结论成立的是()x cA. a>0,b>0,c<0 B. a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D. a<0, b<0,

14、c<0【思路点拨】分别根据函数的定义域，函数的零点以及f(0)的取值进行判断即可.【答案】C【解析】函数在点 P处无意义，由图像看 P在y轴右边，所以-c>0即c<0 bf 0 ;=/ 0 b 0 cbb .由 f (x )=0得 ax + b = 0 即 x = -由图像知 一一 a 0, a < 0aa综上 a<0,b>0,c<0 故选 C.【总结升华】函数图像的判断问题，可以根据函数图象变换方法判断，也可以根据函数图像中关键点，关键线，关键值进行解答.举一反三：【变式】(2015北京高考)汽车的 燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描

15、述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是()0 M SO 速度 Uh)A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使 5千米B. 以相同的速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于选项 A,从图中可以看车当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米没升，故乙车消耗 1升汽油的行驶路程远大于 5千米，故A错误.对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故 B错误.对于选项C,甲车以80千

16、米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为 10,故 消耗8升汽油，故C错误.对于选项D,因为在速度低于 80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故 D正确.例8.直线y=x+b与函数y = J1-x2的图像有两个不同的交点， 求实数b的取值范围。【思路点拨】在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，当直线介于AB和CD之间时，直线和函数y = -1 -x2的图像有两个不同的交点。【解析】如图，直线CD和半圆相切，所以因为点B(0,1)，所以1 =b .b=1所以实数b的取值范围为1,，2)举一反三：【变式1】设函数f(x) =|x+1|+|xa|的图象关于直线 x = 1对称，则

17、a的值为()(A) 3(B)2(C)1(D) -1【答案】A【解析】.函数f(x) =|x+1| +|xa|的图象关于直线 x = 1对称f (0) = f (2)即2ha | | 2 a |,把选项 ABCD的值逐一代入，可以确定选A.类型五：函数与其它知识的综合应用与数列知识结合的函数、不等式，解题时往往以不等式和数列知识结合为工具，结合函数知识通过计算和推理来解决问题 .例9.设数列 匕的前n项和为Sn,点ln,-Sn- |'(nw N*)均在函数y=3x 2的图像上.n(i)求数列an的通项公式；3. ，(n)设 bn = , Tn 是数列bnanan 1，一 一一_ m ，一

18、 *，、的刖n项和，求使得Tn < 一对所有n = N都成 20立的最小正整数m.【思路点拨】数列是特殊的函数，因此绝大多数的数列综合题都可以应用函数的方法、 思想来解决.【解析】(I)依题意得，Sn-=3n-2,gpSn=3n2-2n.n当 n 之2 时，an =Sn Sn_1 = (3n2 -2n) - 3(n-1 2 2(n 1) j= 6n 5 ;2当 n=1 时，aI=S1=3M1 -2 = 1=6父1-5.所以 an =6n -5(n N ).一 31111(II)由(I)得 bn = =(i=( -),anan 1(6n -5) 6(n 1)-5) 2 6n-5 6n 1身 n,10 1、/1、,故 Tn-、b= (1 - -)(_ _).(1 n 142_77136n 5 6n 111)=(1 -).2 6n 1因此，使得1(1-) < (ne N* )成立的m必须满足1 <,即m>10,2 6n 1202 20故满足要求的最小整数 m为10.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a2x2+anxn(n C N*),且an a2, as,，an构成数列an, 又 f(1)=n2.(1)求数列an的通项公式；-1、，(2)求证：f (-) <1 .3【解析】(1