【苏教版】三角函数精编教案1.任意角的三角函数及诱导公式

1、一任意角的三角函数及诱导公式一.课标要求：1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2 .三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（nt2± a , nt的近弦、余弦、正切）三.要点精讲1 .任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点。按逆时针方向旋转到终止位置 OB,就形成角a。旋 转开始时的射线 OA叫做角的始边， OB叫终边，射线的端点 O叫做叫口的顶点。为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成

2、的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。2 .终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。终边相同的角是指与某个角 a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k兀（kCZ）,即3 3| 3=2kTt+a , kCZ,根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如a a| = , o3 .弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆

3、心角叫做1弧度角，记作irad ,或1弧度，或1（单位可以省略不写）。0,角的正负主要由角角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 -兀，-2兀等等，一般地，正 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是的旋转方向来决定。角a的弧度数的绝对值是:= L ,其中，l是圆心角所对的弧长, rr是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住180'=冗rad。弧度与角度互换公式：1rad= 180 ° 57.30° =57°18,、1 ° =0.01745 (rad)。弧长公式：l=|口 |r （口是圆心角的弧度数） 112扇形面积公

4、式：S= lr=|u|r 。 224.三角函数定义在a的终边上任取一点 P（a,b）,它与原点的距离r =Ja2+b2 >0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sins =岖=kOPcosa=OM/；tan八空 J。OP rOM a利用单位圆定义任意角的三角函数， 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么：(1) y叫做a的正弦，记做sin a ,即sin a = y ；2 2) x叫做a的余弦，记彳cos« ,cos a = x；3 3) 叫做a的正切，记做tana , xy，tana =i(x #0)。x5.三角函数线三

5、角函数线是通过有向线段直观地表示 出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径 画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个 单位长度不一定就是1厘米或1米)。当角a为 第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y),过点P作PM _Lx轴交x轴于点M , 根据三角函数的定义：| MP |=| y | =| sin 豆 | ； | OM | =| x |=| cos。|。我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角a的终边不在坐标轴时，以。为始点、M为终点，规定：当线段O

6、M与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值 x;当线段OM与x轴反向 时，OM的方向为负向，且有正值 x；其中x为P点的横坐标.这样，无论那种情况都有OM = x = cos：同理，当角a的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向，且有正值v ；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y ;其中y为P点的横坐标。这样,无论那种情况都有MP = y = sina。像MP、OM这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段。如上图，过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与«的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形

7、的知识，借助有向线段OA AT,我们有tan : - AT = 丫x我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。6.同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、"害用"弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。几个常用关系式：sina+cosa , sin a -cos a , sin a - cos a ；（三式之间可以互相表示 ）设sinQ +cosa =任i反 南 两边半方，得t3 -11 + 2sin Cl * cosCl = F n stnCl * cos Cl =,2又 1 - 2

8、sin * coed = 2= stn。-cosCl = ±12- tL同理可以由sin a cosa或sin a cosa推出其余两式。 1+sina =ll+sin 巴I 2 J当xw fo, i时,2有 sin x < x < tanx。7.诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” 。诱导公式一：sin(a +2kn) =sina , cos(a +2kn) =cosa ,其中 k Z诱导公式二：sin(180'+o() = sinct ; c o s (1c8+0z =)-cos诱导公式三：sin(-a) = -sin a ；cos(a) = c

9、osa诱导公式四：sin(180 -口)= since ； cos(180c -a) = -cosa.诱导公式五：sin(360' -«) = sina ；cos(360') = cos®一 Ct冗-an+C£2冗-a2。+ot(k w Z )ji-a2sinsinasin asinasinasin«cos«coscos«一cos"cos口cos 口cos«sin 口（1）要化的角的形式为 k 180c ±口 （k为常整数）；(2)记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；(3) sin(k

10、兀 + a )=(1)ksin 口 ； cos(k 兀 + a )=(1)kcos(kCZ);(4) sin x+ l=cos - -x f= cos x - - I; cos x+ 1 = sin 一x I。,44.4 '44四.典例解析题型1:象限角例1.已知角口 =45。；(1)在区间7207 0，内找出所有与角 a有相同终边的角P ;(2)集合 M f x|x=kx18O+45：kwZ;, N =jx| x=k ><180+45： Y Z 那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角ct有相同终边的角可表示为：45口+kM360"kw Z),贝 U令-72

11、00<45o + kx360fi<0a,得 - 765 < k 360 < -45765 ,45解得_ k _360360从而k = -2或k = -1代回 P = 675 口或 P = 315*(2)因为M =x|x = (2k+1)M45：kw Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N =x|x = (k+1)M45kw Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而： M ? N。点评：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角仪有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k,代回求出所求解；(2)可对整数k

12、的奇、偶数情况展开讨论。例 2.若 sin 0 cos 0 > 0,贝U 0 在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：答案：B;sin 0 cos。>0, sin 0、cos 0 同号。当sine >0, cose >0时，e在第一象限，当sine <0, cose <0时，e在第三象限，因此，选 B。例3.若A、B是锐角 ABC的两个内角，则点 P (cosB-sinA, sinBcosA)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：.A、B 是锐角三角形的两个内角，.1.A+B> 90&#

13、176; ,B> 90° - A,cosBv sinA,sinB>cosA,故选 B。例4.已知“ 口是第三象限角，则:是第几象限角？3解法一：因为a是第二象限角，所以 2E十n <a < 2依十一 n(k= Z ),22 k二：2kJi + < < n +3333|（k"Z），当 k=3m ( m C Z)时,巴为第3当 k= 3m + 1(mJ)时,当 k= 3m+2(mJ)时,ot故为第一、三、四象限角。3解法二：把各象PM均分3等份，再从x轴的正向的上方起.依次将各区域标上I、n、出、W,并依次循环一周，则a原来是第出象限的符号所

14、表示的区域即为差的终边所在的区域。3由图可知，巴是第一、三、四象限角。3点评：已知角口的范围或所在的象限，求 巴所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法n和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、n、出、IV,并循环一周，则 口原来是第几象限的符号所表示的区域即,a *为一（n C N ）的终边所在的区域。n题型2:三角函数定义例5.已知角a的终边过点（a,2a）（a #0）,求a的四个三角函数值。解析：因为过点（a,2a）（a#0）,所以 r=J5|a|, x=a, y=2a。当 a - 0时,sin2a2a2、5cos =5a5 a

15、x,tan -2a5a2a.5|a|- 5a2,55xcos： =一 r 2m,求 cos® ,sin & 的值。4tan" =2。例6.已知角a的终边上一点 P（-73, m）,且since解析：由题设知 x =-73, y = m,所以 r2 =|OP |2 = (J3)2 + m2,从而sin ：, 2mm m4 r 3 m2，解得 m=0或 16=6+2m2= m=±T5。当 m=0 时，r=73,x = _5/3, cosot =个=_1,tano( ="y =0 ；rx当 m=>/5时，r =272, x = -73 , cos

16、t ='=它,tana ='=15 ；r 4 x 3当 m = 75时，r=2V2,x = 73,x. 6y15cos- =- = - ,tan-=r4x 3题型3:诱导公式cos405 八例 7. tan300 0 + cos405 的值是()sin 405A. 1+ J3B. 1- J3C. - 1- V3D. -1+ V3 “cos4050cos(3600 450)cos450解析：答案：B tan300° + =tan(360° 60° )+L = tan60° + 0000sin 4050sin(3600450)sin4501

17、33 0例8.化简：-sin(180 3工)sin(-： ) -tan(360：) tan(二二180、)cos(F) cos(180 t )sin(二 n 二)sin(: - n二)sin(二，n 二)cos( i - n二)(nZ)解析：（1）原式:号吧二处二皿 =Jon%=7； tan-： ' cos- -cos- tan -(2)当n=2k*Z时，原式4+阿书 sin(-< ； 2k二)cos(: -2k二)ocos：当n=2k4,kwZ时，原式sin： (2k 1)二sin： (2k 1)二=2sin-( ； (2k 1)二cos： -(2k 1)二cos：点评：关键抓

18、住题中的整数 n是表示元的整数倍与公式一中的整数 k有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论题型4：同角三角函数的基本关系式例9.已知1 sine1 -sin ;解析:1 sin :1 -sin :1 - sin :1 sin :又| cos j | cos -： |1 sin 二1 sin 二 ,1 sin 二|cos- | cos 二|cos二：|1 - sin ：-,=-2 tana ，即得 sin a =0 或 | cosot |= -cos a # 0.|cos二",._._3二所以，角a的集合为：ot | 口 = kn或2kn + <a < 2

19、kn +，k三Z222 cos二 一sin 二例 10. (1)证明：-cos 二sin 二1 sin：工，cos， 1 sin：1 cos：(2)求证:cosx 1 sin x1 - sin x cosx-sn " = -2 tan a，试确定使等式成立的角 a的集合。1 sin 二(1 sin :)2(1 -sin : )2rRosr，|1 sin ： | |1 -sin : 1 sin ： -1 sin: 2sin :解析：(1)分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证 只要证A , D=B - C,从而将分式化为整式，2. 2证法一cos：之 -cos :

20、-sin： - sin :右边=1 sin" 1 cos：cos sn：工!1 cos； sin ;1 sin ： coss ； sin 二；cos： 2 cos"： -sin 1 cos二, sin ;2 1 sin 二'cos 工" sin 二 cos：2 cose- -sin ：工！1 cos 工" sin 二一 .22_ ._ .1 sin " " cos Q： 1, 2sin" 1 2cos" , 2sin - cos-二左边2 cos - -sin 11 sin 二'cos:1 sin

21、工"cos-证法二：要证等式，即为2 cos二一sin jcos： -sin " !1 sin 二 cos;1 sin 二cos：1 sin : 1 cos :2只要证 2 (1 + since) (1+0 s) =(1 + since + cosot )即证： 2 2sin " - 2cos：£ - 2sin 二 cos：22=1 +sin a +cos a + 2sina +2cos« +2sin« cos« ,22即1 = sin a +cos ct ,显然成立，故原式得证。点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明

22、时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用 倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。(2)同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、 倒数关系。(2)证法一：由题义知 cosx 00,所以 1+sin x=0,1 sin x。0。cosx(1 sin x)-左边=(1 -sin x)(1 sin x)cosx(1 sin x)2 cos x1 sin x .二右边。cosx，原式成立。证法二：由题义知 cosx # 0,所以1十sin x # 0,1 sin x # 0。22又.(1sin x)(1 +sin x) =1sin x = cos x = cosx cosx

23、 ,cosx 1 sin x=。1 -sinx cosx22cos x -1 sin x(1-sinx)cosx=0,证法三：由题义知 cosx # 0,所以1+sin x # 0,1sin x # 0。cosx 1 sin x cosx cosx-(1 sinx)(1-sinx)1 -sin x cosx(1-sinx)cosxcosx _ 1 sin x 1 - sin xcosx点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边(如例 5的证法一)；(2)证明左右两边同等于同一个式子(如例 6) ; (3)证明 与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。五.思维总结1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为:角的终边所在位置角的集合X轴正半轴七|口=小360： YZ)Y轴正半轴G |a =k360° + 90° kW Z)X轴负半轴G |a =kM3600+180©