中学构造数学模型解题方法探析课件

1、曲靖市2007年秋中学数学骨干教师培训结业论文论文题目： 中学构造数学模型解题方法探析 指导教师： 钟朝艳 姓 名： 陈晓轩 学 号： 21 单 位： 麒麟区越州一中 曲靖师范学院成职教学院 制2007年12月11中学构造数学模型解题方法探析 摘 要数学建模已成为国际、国内数学教育中稳定的内容和热点之一人们在建模内容、模式、范围与课堂教学内容真正意义的结合上进行了不断的努力和探索开展中学数学建模教学的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有重要意义数学模型方法是数学解题中借用数学模型处理各类问题（包括数学理

2、论和实际应用等方面）的方法.本文从加强中学数学建模的重要性入手，着重阐述了中学数学模型的几种常用构造方法，并对中学数学建模教学作初步探讨关键词：数学模型方法 数学建模 构造模型 思维能力目录1 引言12 有关理论22.1数学模型22.2数学建模22.3数学模型方法33 数学模型方法与中学数学33.1 整个中学数学可视为一个数学模型33.2 中学数学的教学就是模型的教学34 中学构造数学模型进行解题的方法44.1 构造函数模型44.2 构造数列模型44.3 构造方程或不等式模型54.4 构造解析几何模型64.5 构造立体几何模型75 中学数学问题构造模型的步骤86 总结9参考文献10致谢111

3、引言智力的核心是思维，有思则明，明则通，通则能应变中学数学教学大纲指出：数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心数学教学中如何使学生很好的掌握基础知识和基本技能，提高灵活运用知识的能力，关键在于狠抓思维的启发、诱导、训练和发展随着当前社会经济迅猛发展，以及面向生活、面向大众的国际教育浪潮的冲击，中学教学开始数学应用的教育和训练，这在全国高考和各地中考试题中都有明显体现.培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识培养贯穿于教学的始终，让学生学得活泼生动，使数学素质教育跃上一个新的台阶，是 21世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和

4、社会实践的要求运用数学解决实际问题是通过数学模型这个桥梁来实现的美国数学学会主席D.L.伯恩斯在1978年指出：“人们可以从现实世界中的问题出发，直接通过观察或实验，从而获得现实世界的解，但是这样做往往是行不通的，或者由于花费昂贵只好作罢，所以制胜的办法就是通过数学模型，走一条迂回的道路”用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型数学建模作为一个学数学，用数学的过程，给学生们再现了一个微型的科研过程,这对学生们今后学习和工作无疑会有很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求近年来, 数学建模已成为国际、国内数学教育中稳定的内容和热点之一国内外有关中学数学建模的研究很多，但主

5、要还是局限于研究中学数学建模的必要性、数学建模的作用、数学建模的学习特点、较笼统的数学建模课程设置方式以及中学数学建模的意义研究美国教育部、美国国家基金会（NSF）、美国数学会（AMS）、美国数学协会（MAA）及全美数学教师联合会（NCTM）等官方或民间组织都很重视在中学开展数学知识应用的活动，由NCTM编写的“美国学校数学课程与评价标准”等书还详细分析了应用在中学数学教学中的地位在NSF的资助下，NCTM等组织还举办过全国性的中学数学建模的培训班并编写了“中数课程中的数学建模课堂练习资料导引”一书国外数学建模的教学和研究各国、各地区存在很大差异，主要有：两分法（前一部分处理纯数学内容、后一部

6、分处理数学应用和数学建模）、多分法、混合法、数学课程内并入法、课程间并入法1国内很多人也对中学数学建模教学：北京市数学会自1994年起组织了“中学数学教学改革和数学建模”讨论班，主要研究中学数学中数学建模的必要性，数学建模的题型、数学建模题的出题方式、数学建模的教学等各个领域北京的张思明老师多年致力于中学数学模型的教学研究，主张数学建模过程是学生主动探究问题的过程，他探索出许多与中学数学各个知识点相结合的具有探索性、实用性的数学建模案例同时探索数学建模的教学模式如：统一问题研究报告模式、调查报告模式、导学探索模式、论文研读模式等教学模式2四川川北教育学院的陈国树老师做过初等数学建模的各种方法研

7、究，主要有：枚举法、配方法、均值不等式法、坐标法、图解法等，所列举的方法涵盖了部分中学数学模型，还有待于完善淮北煤炭师范学院附属中学的陈锴、山东菏泽师专的姜玉武也做过中学数学建模题型归类，他们把中学数学模型归类为函数模型、方程和不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、直角坐标系模型（实际上就是线性规划）等几种，涵盖了部分中学数学模型题型，但是相对类型较少，实际上中学数学模型可以覆盖中学数学中绝大多数知识点，题型多样，本文就在这一方面做了一定补充本文通过结合中学数学学科的教学，对数学建模及构造数学模型方法解决实际问题进行了研究和探讨，旨在拟出一套具有较强操作性，行之有效的培养学生数学建模能力的

8、途径和方法2 有关理论2.1 数学模型所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及其规律的一种数学方程式按广义的解释，凡一切数学概念，数学理论体系，各种数学公式，各种方程（代数方程、函数方程、差分方程、微分方程、积分方程）以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型.但按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型，而构造模型的目的是为了解决实际问题，数学模型是建立在模型和原型的数学形式相似的基础上的。数学模型不是对现实系统的简单的模拟,它是人们对现实对象进行分析、提炼、归纳升华的结果，是以数学语言来精确地描述现实对象的内在特征，以便于通过数学上的演绎推

9、理和分析求解深化对所研究的实际现象的认识32.2 数学建模 数学建模就是将某一领域部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学模型，然后求解该数学模型，并对结果进行解释和验证，若通过就投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改造，数学建模就是这样的一个多次循环的过程42.3 数学模型方法所谓数学模型方法是指通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法.一般分四步进行:（）理解问题.通过观察,了解问题的情况,并找出影响该问题的重要因素.（）模型建立.通过合理假设,排除次要因素,猜测重要因素之间的关系并数学的阐明它们,去得到问题的一个数学模

10、型.（）求解模型.利用数学工具处理这个模型,得到初步结果.（）检验模型.对得到的初步结果进行翻译、解释、得问题的正确解答5数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际数学问题的一般数学方法数学模型方法的学习与掌握、运用与深化，一般是按模型模仿模型转换模型构建的主线发展的，而这也符合“具体抽象具体”的认识规律63 数学模型方法与中学数学3.1 整个中学数学可视为一个数学模型中学数学内容包括初等代数、初等几何、平面三角、初等微积分、概率统计初步，逻辑与计算机初步等，它们都是数学模型.其中有的模型又包括一些子模型.例如二次方程这个数学模型就是初等代数模型的一个子模

11、型.3.2 中学数学的教学就是模型的教学在数学模型方法指导下的数学教学，要重视对现实原型的分析和抽象，特别是获得数学概念、基本关系、公式、定理，建立起相应的数学模型时，应力求给出（有时需要设计出）一个恰当的典型的原型展现给学生例如我们在给出公式： (1)时，可以用下面正方形面积问题（图）作为原型由图显见正方形ABCD的面积=，因此，借助于面积问题这一原型，对公式 (1) 的接受与理解便十分自然 4 中学构造数学模型进行解题的方法4.1. 构造函数模型函数是中学数学的重要内容之一，构造函数模型一般从函数解析式入手，首先要合理设元，可直接设元，也可间接设元，再建立目标函数，确定变量的约束条件，最后

12、在定义域范围内运用函数知识和方法解决问题在实际生活中，有关用料最省、造价最低、利润最大、容积（面积）最大等问题，往往可以通过分析、联想，构造“函数模型”，转化为求函数最值问题。例1某服装市场今年一月、二月、三月分别销售1万件、1.2万件、1.3万件服装。为了估测今后各月的销售趋势，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟销售量与月份之间的关系，模拟函数可以选用二次函数或y=(a、b、c为常数)，已知四月份的实际销售量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，求出此函数。解：设 则.解得又设则 ， 解得由于，所以用作为模拟函数较好。这是一个函数模型，对于市场预测问题关键是选准模拟函数.

13、74.2. 构造数列模型数列作为特殊函数,在实际问题中有广泛应用.如增长率,利润,保险,浓度匹配等问题在实际生活中，有关产量增长、资金增长、存贷利率、工程用料等问题，可以通过分析题目所提供的有关数据，构造“数列模型”，再借助数列的性质与求和，使问题获得解决.解答数列模型的应用题,可充分利用观察，归纳，猜想的手段，建立等差数列，等比数列或递推数列的模型，再结合其它数学知识解决问题例2.某种机器，每天要付维修费，若在买回来以后的第天，应该付的维修费为元（买回的当天以计算），又买机器时，花的费用为万元，问买回来以后的第多少天报废最合算？解：设买进以后第天报废最合算，则买进以后的天内所付的维修费为：=

14、加上购买机器的万元，设每天的平均损耗为元，则：当且仅当 即 时取“=”号.故知在买回机器后的第1000天报废最合算.84.3. 构造方程或不等式模型在实际生活中，有关最佳决策、合理调配、统筹安排最优化问题，一般可以通过对给出的一些数据进行分析、转化，构造“方程或不等式（组）模型”，再求在约束条件下方程或不等式（组）的解集.当实际问题的数量关系为等量关系，可设元将等量关系转化为方程（组），建立方程模型，当涉及的数量关系为不等关系时，可将其转化为不等式（组），建立不等式模型，再通过解方程和不等式求得问题的解例3.某企业出售某种牌号的收音机，每台成本元，如直接设门市部销售，每台售价元，销售费用每月元

15、.如批发给商家销售，出厂价每台元.问每月销售多少时，需要设立门市部？若要求销售量每月达到台，试问采用哪种销售方式效益好？ 略解 效益好坏的依据是销售利润的大小，为此，设为两种销售形式下利润相等时的销售量，依题意可得： 解之得：（台） 即当销售量为台时，这两种销售方式的利润相等。而当台时，直接销售的利润大于间接销售的利润，这时应设立门市部. 因此，每月销售台时，采用设立门市部直接销售的效益较好9.例4.某工厂制定明年一种新产品的生产计划，人事部门提出该厂实际生产的工人数不能多于人，每人年工时为小时；销售科预测明年的销售量至少是件；技术科计算每件产品的工时定额为小时，需钢材千克；供应科说目前库存钢

16、材吨，而今年尚需用去吨，明年能补充吨。试根据以上信息决定明年可能生产量.分析：根据题设条件，明年的产量应受人事信息与技术定额、销售预测、原材料供应等因素的制约，各种因素共同决定了明年的生产量，各个条件联合起来便产生一个不等式组模型.设明年的生产量为件，则从总工时考虑，共需要小时完成，而全年工人总工时数为，即可建立不等式：再从钢材数量考虑，共需要千克，而明年总钢材数量为千克，即可建立不等式：.从而建立了不等式组于是得.所以明年的计划产量可在60000到72000之间考虑10.4.4. 构造解析几何模型解析几何应用问题一般紧扣课本，贴近生活，具有跨学科特点当实际问题涉及解析几何中的直线、曲线时，可

17、建立适当的坐标系，构造解析几何模型求解 例5. 有一种商品在 两地都有出售,且两地的价格相同,但是某地区居民从两地往回运时,每单位距离从地运的运费是从地运的倍,已知A、B 两地的距离是千米,顾客购买这种商品时选择从地买或从地买的标准是:使包括运费在内的总费用比较便宜,求从两地购买此种商品运费相等的点轨迹图形,并指出在轨迹图形上,图形内,图形外的居民如何选择从地或地购买最合算. 分析:这道应用题,可以通过建立直角坐标系,从而建立”解几模型”,使问题得以解决. P 一y O B x 如图:取的中点为原点 ,直线为轴,建立直角坐标系,则有, ,设是区域分界线上任一点,从地往 处运货的单位距离的运费为

18、 ,则依题意有方程: 即 于是 故从两地购买此货运费相等的点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,圆上的居民从两地购买此货的总费用相同,圆内的居民从地购买合算;圆外的居民从地购买合算11.4.5. 构造立体几何模型立体几何知识在实际生活中有广泛应用，它常与函数，不等式，三角等知识综合，具有较强的综合性首先要能理解题意，作出空间示意图，其次要从图形中寻找数量关系，建立立体几何模型求解例6若锐角，满足，求的最小值分析：锐角，满足形式满足长方体的三度平方和等于对角线的平方，故可构造长方体，使三棱长分别为,对角线为1，对角线与三条棱所成的角分别为，则故的最小值是.说明：由于长方体一条对角线和它过同一顶点的三

19、条棱所成角的余弦值的平方和等于1，为此可构造一个长方体，如图所示使 D A C B D A 此外还有三角函数模型,复数模型等.在中学应用性问题教学中,只有教给学生数学建模的方法和规律,才能从根本上提高学生数学建模能力,进而提高学生解决应用问题能力12.5 中学数学问题构造模型的步骤中学数学教学目标明确指出：“逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、论证、运算、检验，使问题得到解决”在应用性问题教学中，注重以数学建模的高观点处理教学内容，将有助于学生抓住问题的关键，提高用数学解决问题的能力运用数学建模方法解决应用性问题的一般步骤是：审题建模求模还原（）审题：现在的

20、中学数学应用问题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力通过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量和未知量的内在联系审题时要准确理解关键语句的数学意义如“至少”，“不大于”，“总共”，“增加”，“减少”等，明确变量和参数，合理设元（）建模：在审题基础上，假设和选取主要变量，确定变量间的关系和数学结构，将其用数学语言抽象概括成数学模型，构造准确的数学模型是解答应用性问题的关键和难点（）求模：运用数学知识和方法求解数学模型，得到数学结论（）还原：把求得的数学结论回归到实际问题中去，检验其真伪，判断是否可靠，必要时给出修正136 总结高新技术的本质是数学技术，数学的应用非常

21、广泛，它已成为人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学技术必不可少的工具数学应用是数学科学的重要组成部分，还是数学教育的重要内容，应用数学解决实际问题是学习数学的主要目的呼唤数学应用意识，提高数学应用教学的质量，已成为广大数学教育工作者的共识中科院院士姜伯驹教授提出“数学不仅是理性的音乐，是思维的体操，而且是生活的需要，是最后制胜的法宝”因此我们在给学生传授数学理论知识的同时，还需不断提高学生数学应用的意识和能力这方面正是中学数学教育的薄弱环节，也是建国以来历次中学数学教学改革中想要解决而未能突破的困难问题近几年在我国正兴起的中学数学建模教学和高中数学知识应用竞赛为解决这一困难问题打开了思路，开辟新的途径，大大促进了在中学数学教学中加强数学应用教育的改革探索14建模能力是解题者对各种能力的综合应用，它涉及文字理解能力，对实际的熟悉程度，对相关知识的掌握程度，良好的心理素质，创新精神和创造能力，以及观察、分析、综合、比较、概括等各种科学思维方法的综合应用. 数学模型方法是数学解题中借用数学模型处理各类问题的方法15.本文从加强中学数学建模的重要性入手，着重阐述了中学数学模型的几种常用构造方法，并