21山东(20)(本小题满分12分)

1、21山东(20 )(本小题满分12 分)在等差数列 何中，a3 a4 a 84, a9 = 73 .(i)求数列an的通项公式；(n)对任意 m N*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bn，求数 列bn的前m项和sm.(20)解：(i)因为an是一个等差数列，所以 a3 a4 a5 -3a -84，即 a 28 .所以，数列an的公差d =号二了3”28二9,所以，an 二a4 (n-4)d = 28 9(n-4) = 9n-8(n N*)(n)对 m N *，若 9m ： a* ： 9m ,则 9m 8 : 9n ： 92m 8，因此 9m仁 n 岂 92mJ ,故得 b

2、m =92mJL -9m (lb ylfx )于是 Sm = th b2 b3 . bm-(9 93 95 . 92m)-(1 9 92 . 9mJ) _9 (1-81m) j _9m_1-81_ 1 _ 9_ bm 1 -10 9m 1- 8022陕西17.(本小题满分12分)设'aj的公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差数列.(1) 求数列的公比；(2) 证明：对任意kNSk.2, Sk, Sk1成等差数列.【解析】(1)设数列 a; 的公比为 q ( q - 0, q 1)。由 a5, a3, a4成等差数列，得 2a3 =a5 a4，即 2a1qa1

3、q4 - a1q3。由 & = 0, q = 0得 q2 q - 2 = 0 ,解得 q = -2 , q1 (舍去)，所以 q = -2。(2) 证法一：对任意k N .,2 22 1 - 2Sk = Sk 之-2 广！ Sk 1 - Sk=ak 1' ak 2 ' ak 1=2aki ak1-2= 0,所以，对任意k N .，Sk 2, Sk, Sk 1成等差数列。证法二：对任意kN，2氏="1，1qSk 2 Sk 1k 2k 1k 2 k 1(1q)丄 q(1q ) d(2q -q )1 -q1 -q1-qkk<2k；：12Sk-Sk2 * 严1

4、i 2q q1 -q1 -qaikk 2 k 11_q 2-q 一 2q-q因此，对任意k N .，Sk 2, Sk, Sk 1成等差数列。123上海6有一列正方体，棱长组成以1为首项、3为公比的等比数列，体积分别记为Vi, V2/，y,，则 nm(V1 V2v)=【答案】【解析】1由正方体的棱长组成以1为首项，一为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了2一个以11为首项，8为公比的等比数列，因此,1 8lim(y V2 Vn厂n，171 8【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义考查知识较综合.，属于中低档题24上海18.设an=s巾号5，Sn = a1

5、 a2n 25+an，在3冷2,，000中，正数的个数是(B . 50C. 75D. 100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题解决此类问题主要找到规律,从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力25 上海 23对于数集 X=-1,X2,Xn，其中 0 ：为：:：X2：:：Xn，n 2，定义向量集Y二a|a =(s,t), X,tX.若对于任意a； Y，存在Y，使得ai a =0，则称X具有性质P.例如X =-1,1,2具有性质P.(1) 若 x> 2,且 -

6、1, 1, 2, x，求 x 的值；(4 分)(2) 若X具有性质P,求证：1 X,且当Xn> 1时，禺=1; (6分)(3) 若X具有性质P,且X1=1,X2=q(q为常数)，求有穷数列Xi,x2,Xn的通项公式.(8分)解(1)选取a(x, 2), y中与a垂直的元素必有形式(-1,b).2分所以x=2b,从而x=4.4分(2)证明：取a =(洛，捲)y.设霭=(s,t) y满足a1 & =0.由(s t)x0得S t =0，所以S、t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以 s、t中之一为-1，另一为1 ,故1 X.7分假设 xk =1，其中 1 ”： k : n，则 0 ：为

7、：:1 ： xn.选取=(为，xn) Y，并设 a2 = (s, t) Y 满足 a1 a2 =0，即 sx, txn = 0 , 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1，则2,矛盾;若 t=-1，则 xnSX, ： S 空 xn，矛盾.所以X1=1.10分(3)解法一猜测X=qZ，i=1,2,n.12分记 Ak = -1, 1, X2, Xk , k=2, 3,n.先证明：若A< 1具有性质p,则A也具有性质P.任取a (s, t) , s、r Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a d =0 ; 当 sH1 且 t1 时，s、t 羽.因为Ak1具有性质P,所以有

8、a?巩和切,S、trAk1，使得a1a；",从而S和t1中有一个是-1，不妨设S =-1.假设帚Ak 1 且 t<-Ak，则tXk1 .由(s,t)(-1, Xk1)=0，得 stXk1 -Xk -1,与s A矛盾.所以tAk .从而A也具有性质P.15分现用数学归纳法证明：Xj=q2 , i=1,2,n.当n=2时，结论显然成立；假设 n=k 时，人=_1,1, x2,xk有性质 P,则 N 討-1, i=1,2,k；当 n=k+1 时，若 A i = -1,1, X2, Xk,Xk 1有性质 P,则 Ak 二-1,1必，,Xk也有性质P,所以A 1二-1,1,q,，qk，X

9、k取q =仇1, q)，并设a2 = (s, t)满足a1 a2 = 0，即Xk ds q0 .由此可得 s 与t中有且只有一个为-1.若t - -1，则1,不可能；所以 S - -1，Xk 1= qt X qk± qk，又 Xk d qk J，所以 Xk qk.综上所述，幷=q*X =q* , i=1,2,n.18分S112 解法二设 a1 = (% tj , a2 = 6, t2)，则 a1 a2 =0 等价于石=-忘.记B=；|sX,r X,|s| |t |，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.14分注意到-1是X中的唯一负数，B (二，0) =-X2, - X3,，

10、-Xn共有n-1个数, 所以B (0, ：)也只有n-1个数.一 XXXXW118由于 才：xn；寸：:寸，已有n-1个数，对以下三角数阵xnxnxnxn-<<V Xn丄Xn_2X2X1Xn 1x- 1Xn 1<=< L<XnXn卫X1X2X1xn注意到斤XX1一、> X1'所以Xn_Xn丄一XnXn1X2- x：,从而数列的通项公式为qk_1, k=1,2,n.【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义X具有性质P ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视.26四川 12、设函数f (x)二2x -cosx , an是公差为 的等差数列，82f(aj f厂住5)=5二，则fQ) -盼3=()121 213 2A、0B、C、D、二16 8 16答案D解析数列an是公差为一的等差数列，且f佝) f(a2) f(a5) =5二8 2(a1 a2a5) _ (cosa1 cosa2cosa5)=5：二(cosa1cosa?亠亠 cosa5)=0, 即2( a1a?亠 -a5)