八年级上册数学第三四章 知识点与习题(教师)

1、第三章 位置与坐标1平面直角坐标系： （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点这个平面叫做坐标平面（2）两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限(如图151所示）2点的坐标： （1）对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y 轴作垂线，垂足在x轴y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标有序数对（a、b）

2、叫做点P的坐标 （2）坐标平面内的点可以用有序实数对来表示反过来每一个有序实数对都能用坐标平面内的点来表示；即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应关系 （3）设P（a、b），若a=0，则P在y轴上；若b=0，则P在x轴上；若a+b0，则P点在二、四象限两坐标轴夹角平分线上；若a=b，则P点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上 （4）设P1（a，b）、P2（c，d），若a=c，则P； P2y轴；若b=d，则P； P2x轴3. 对称点坐标点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，b），关于y轴对称的点的坐标为（a，b），关于原点对称的点的坐标为（a，b），反过来，P点坐标为P1（a1，b1），P1

3、（a2，b2），若a1=a2, b1+b2=0, 则P1 、P2关于x轴对称；若a1+a2=0， b1=b2， 则P1 、P2关于y轴对称；若a1+a2=0， b1+b2=0， 则P1 、P2关于原点轴对称.4. 确定位置的方法 确定位置的方法主要有两种：（1）由距离和方位角确定；(2)建立平面直角坐标系由一对有序实数对确定 第四章 一次函数一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分

4、母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五一次函数与一元一次方程的

5、关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值其它知识点见下列具体题型中题型一、点的坐标方法： x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，

6、横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、 若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第_ 4_象限；2、 若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a,b的范围为 a<1/2 ;b<3/2 ；3、 已知A（4，b），B（a,-2），若A，B关于x轴对称，则a= 4 ,b= 2 若A,B关于y轴对称，则a=_-4_b=_2 若A，B关于原点对称，则a= -4 b=_-2_ ；4、 若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第_一_象限。题型二、关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵

7、坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点的距离为； 若ABx轴，则的距离为； 若ABy轴，则的距离为； 点到原点之间的距离为1、 点B（2，-2）到x轴的距离是 2 ；到y轴的距离是_2_；2、 点C（0，-5）到x轴的距离是_5_；到y轴的距离是_0_ _ ；到原点的距离是 _5 _；3、 点D（a,b）到x轴的距离是 |b|_ ；到y轴的距离是 |a|_ ；到原点的距离是 ；4、 已知点P（3,0），Q(-2,0),则PQ=_ 5 _,已知点,则MQ=_1 _; ,则EF两点之间的距离是_7 ;题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b是常数，k

8、0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。A与B成正比例óA=kB(k0)1、当m 3 时，是一次函数；2、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为_y=9/2x+3 _；3、当m为 -2 ，函数y=（m2）x+（m-4）是一次函数题型四、函数图像及其性质方法：函数图象性质经过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且k0）k0b0b=0b0k0b0b=0b0 一次函数y=kx+b（k0）中k、b的意义： k(称为斜率)表示直线y

9、=kx+b（k0） 的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k0）与y轴交点的距离，也表示直线在y轴上的位置。 同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k10）与 y=k2x+b2（k20）的位置关系：（1）两直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 特殊直线方程： X轴 : 直线 x=0 Y轴 : 直线 y=0 与X轴平行的直线 y=x+b 与Y轴平行的直线 y=b 一、三象限角平分线 y=x 二、四象限角平分线 y=-x 1、对于函数y5x+6，y的值随x值的减小而 减小 。2、对于函数, y的值随x值的 减小 而增大。

10、 3、一次函数 y=(6-3m)x(2n4)不经过第三象限，则m、n的范围是 m>2 n>2 。4、直线y=(6-3m)x(2n4)不经过第三象限，则m、n的范围是 m>2 n>2 。5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第 一 二 三 象限。6、无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第 一 象限。7、已知一次函数    （1）当m取何值时，y随x的增大而减小？ m>1/2    （2）当m取何值时，函数的图象过原点？ M=1/3题型五、待定系数法

11、求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k0）的解析式。 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k0）； 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。1、 直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的解析式。 Y=-3k+132、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。解：设：一次函数的表达式为：y=kx+b， 因为，图像经过点A（0，40），B（8，0）， 所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y

12、=kx+b中， 得：40=k×0+b，0=8k+b 解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，行驶的时间是0小时；当汽车油箱里的油是0升，行驶的时间是8小时，所以，自变量x的范围是：0x8.3、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式。解：设一次函数解析式为：y=2x+b 将点代入：b=4 所以解析式就是：y=2x+44、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。解法1：设A（x，y）是直线y= -3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y ）， 则有：

13、y= -3x+7，y= -kx+b 整理，得：-3x+7= -kx+b， 得：k=3，b=7。解法2：设A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，其关于y轴对称的点的坐标为（a，b）， 则有：b=n，m=-a， 因为，A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点， 所以，点的坐标满足函数的表达式，即n=-3×m+7， 把n=b，m=-a，代入上式，得：b=-3×（-a）+7， 整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，所以：k=3，b=7。题型六、平移方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代

14、入解析式求出b即可。直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y=x向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7. 直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。8. 直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线_。9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是_ _。10. 过点（2

15、，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是_.11把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是_；12直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=_；题型七、交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；1、 如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），

16、直线PB交y轴于点D，AOP的面积为6；（1） 求COP的面积；（2） 求点A的坐标及p的值；（3） 若BOP与DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。2、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D （1）求直线的解析式； （2）若直线与交于点P，求的值。解：（1）过点（-3，-2）        解得m4    的解析式为  过点（2，-2），C（0，-3）   

17、解得    的解析式为（2）在中，由x0，得y4    A（0，4），    在中，由y0，得x63已知如图，直线y=x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P（1）求点P的坐标；（2）求SOPA的值；（3）动点E从原点O出发，沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S求：S与a之间的函数关系式分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标 （2）把OA看作底，P的纵坐

18、标为高，从而可求出面积 （3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解解答：解：（1）x+4=x 解得：x=3， 将x=3带入y=x 解得 y= 所以P（3，） （2）直线与x轴交于A点，0=x+4 解得x=4即A（4,0） SOPA= 4××=2 故面积为2 （3）当E点在OP上运动时，F点的横坐标为a，所以纵坐标为a， S=aa×aa=a2 当点E在PA上运动时，F点的横坐标为a，所以纵坐标为a+4 S=（a+4）a（a+4）a=a2+2a题型八、实际应用问题1、 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b

19、（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？分析 设举办乒乓球比赛的费用y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用b（元）和参加比赛的人数x（人）的函数关系式为y=kx+b（k0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k，b的值，进而求出y与x之间的函数关系式，当x=50时，求出y的值，再求得y÷50的值即可解：（1）设y1=b，y2=kx（k0，x0），y=kx+b又当x=20时

20、，y=1600；当x=30时,y=2000，y与x之间的函数关系式为y=40x+800（x0）.（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）每名运动员需支付2800÷50=56（元答：每名运动员需支付56元2、某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：设生产产品件，请解答下列问题：（1）求的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；（2）若甲种原料50元kg，乙种原料40元kg ，说明（1）中哪种方案较优？解：（1）根据题意，得 这个不等式组的解集为 又为整数，所以或26 所以符合题意的生

21、产方案有两种： 生产种产品25件，种产品15件； 生产种产品26件，种产品14件 （2）一件种产品的材料价钱是：元方案的总价钱是：元 一件种产品的材料价钱是：元 方案的总价钱是：元 元 由此可知：方案的总价钱比方案的总价钱少，所以方案较优3、某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%。经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数且时，时，。 （1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）由题意得 解得 所求一次函数表达式为 （2） 抛物线的开口向下，时，w随x的增大而增大，而 时， 即当销售价定为84元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是864元。4、甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题： 分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） 当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的