信号与系统 课件 奥本海姆 第一章

1、第第1 1章章 信号与系统信号与系统Signals and Systemsn信号的描述信号的描述n信号的自变量变换信号的自变量变换n基本信号基本信号n系统及其数学模型系统及其数学模型n系统的性质系统的性质本章的基本内容本章的基本内容: :1.0 引言引言 ( Introduction ) 讨论信号与系统的基本概念，建立其讨论信号与系统的基本概念，建立其 相应的数学描述方法，以便利用这种数学相应的数学描述方法，以便利用这种数学描述及其表示方法，建立一套信号与系统描述及其表示方法，建立一套信号与系统的分析体系。的分析体系。目的：目的： 1.1 连续时间与离散时间信号连续时间与离散时间信号（Cont

2、inuous-Time and Discrete-Time Signals）一一. .信号的分类：信号的分类： 信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信信号可以描述范围极其广泛的物理现象。信号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连号可以分为确知信号与随机信号，也可以分为连续时间信号与离散时间信号。续时间信号与离散时间信号。 确知信号可以表示成一个或几个自变量的函确知信号可以表示成一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信数。作为信号分析的基础，本课程只研究确知信号。号。1、确定信号与随机信号、确定信号与随机信号 按照信号的确定性划分，信号可以分为确定信按照信号的确定性划分，

3、信号可以分为确定信号与随机信号。号与随机信号。 若信号能够被表示为确定的时间函数，在定义若信号能够被表示为确定的时间函数，在定义域内的任意自变量都有确定的函数值，这种信号称域内的任意自变量都有确定的函数值，这种信号称之为确定信号，例如我们熟悉的正弦信号。之为确定信号，例如我们熟悉的正弦信号。 但是，传递信息的信号往往具有不可预知的不但是，传递信息的信号往往具有不可预知的不确定性，这种信号称之为随机信号。随机信号不能确定性，这种信号称之为随机信号。随机信号不能给出确切的函数表示，只能用统计规律来描述。给出确切的函数表示，只能用统计规律来描述。 2、连续时间信号与离散时间信号、连续时间信号与离散时

4、间信号 按照信号自变量取值的连续性划分，信号可按照信号自变量取值的连续性划分，信号可以分为连续时间信号与离散时间信号。以分为连续时间信号与离散时间信号。 如果信号的自变量是连续可变的，除若干个如果信号的自变量是连续可变的，除若干个不连续点以外，任意自变量都对应确定的函数值，不连续点以外，任意自变量都对应确定的函数值，则此信号称为连续时间函数。则此信号称为连续时间函数。 如果信号的自变量是离散取值的，只在某些如果信号的自变量是离散取值的，只在某些不连续的时间值上给出函数值，在其他时间没有不连续的时间值上给出函数值，在其他时间没有定义，则此信号称为离散时间信号，有时称为离定义，则此信号称为离散时间

5、信号，有时称为离散时间序列。散时间序列。 连续时间信号的例子：连续时间信号的例子：离散时间信号的例子：离散时间信号的例子： 连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。一个离散时间信号。信号的描述：信号的描述： ( ),x t12( , ).x t t离散时间信号离散时间信号( ),x n12( ,).x n n人口人口年份年份190019001930193019301930196019601960196020002000人口统计数据人口统计数据连续时间信号连续时间信号3、模拟信号与数字信号、模拟信号与数字信号 按照信号自变量和幅值取值的连

6、续性划分，按照信号自变量和幅值取值的连续性划分，信号可以分为模拟信号与数字信号。信号可以分为模拟信号与数字信号。 连续时间信号与离散时间信号的幅值可以是连续时间信号与离散时间信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，自变量和幅值都是连连续的，也可以是离散的，自变量和幅值都是连续的信号称之为模拟信号，自变量和幅值都是离续的信号称之为模拟信号，自变量和幅值都是离散的信号称之为数字信号。与数字计算机相关的散的信号称之为数字信号。与数字计算机相关的信号总是数字信号。信号总是数字信号。信号的能量与功率：信号的能量与功率：12 , t t212( )ttEx tdt连续时间信号在连续时间信号在 区间的平均功

7、率定义为：区间的平均功率定义为：12 , t t212211( )ttPx tdttt连续时间信号在连续时间信号在 区间的能量定义为：区间的能量定义为：4、能量信号与功率信号、能量信号与功率信号离散时间信号在离散时间信号在 区间的能量定义为区间的能量定义为12 ,n n212( )nn nEx n离散时间信号离散时间信号在在 区间的平均功率为区间的平均功率为12 ,n n212211( )1nn nPx nnn在无限区间上也可以定义信号的总能量：在无限区间上也可以定义信号的总能量：dtdtEtxtxTTT)()(lim22 连续时间情况下连续时间情况下:离散时间情况下离散时间情况下: :22)

8、()(limnxnxENNN在无限区间内的平均功率可定义为：在无限区间内的平均功率可定义为：NNNnxNP2)(121lim21lim2( )TTTPdtTx t1. 能量信号能量信号信号具有有限的总能量，信号具有有限的总能量， 即：即：三类重要信号（三类重要信号（按照信号的可积性或可和性划分）：,0EP 2. 功率信号功率信号信号有无限的总能量，但平均功率信号有无限的总能量，但平均功率 有限。即：有限。即：,0EP3. 信号的总能量和平均功率都是无限的。信号的总能量和平均功率都是无限的。 即：即：,EP 如果信号是周期信号，如果信号是周期信号，则则()( )x tTx t()( )x nNx

9、 n5、 周期信号与非周期信号：周期信号与非周期信号：或或连续时间周期信号连续时间周期信号离散时间周期信号离散时间周期信号201( )TPx tdtT（以（以T为周期）为周期） 或或21( )2TTPx tdtT1201( )NnPx nN（以（以N为周期）为周期）或或21( )21NnNPx nN如果信号是非周期的，且能量有限则称为如果信号是非周期的，且能量有限则称为能量信号能量信号。 这种信号也称为这种信号也称为功率信号功率信号，通常用它，通常用它的平均功的平均功率来表征。率来表征。6、一维信号与多维信号、一维信号与多维信号 按照信号自变量的维数划分，信号可以分为按照信号自变量的维数划分，

10、信号可以分为一维信号与多维信号。一维信号与多维信号。 语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。黑白照片可以表示为亮度随空间这是一维信号。黑白照片可以表示为亮度随空间位置变化的函数，这是二维信号。动态图像除了位置变化的函数，这是二维信号。动态图像除了考虑空间位置，还要考虑时间变量，是三维函数。考虑空间位置，还要考虑时间变量，是三维函数。本书一般情况下只研究一维信号。本书一般情况下只研究一维信号。1.2 信号的基本运算信号的基本运算1.2.1 自变量变换自变量变换 （Transformations of the Independent Vari

11、able)由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。必然会使信号的特性相应地改变。( )x t0()x tt当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00t 0t00t 时，信号向左平移时，信号向左平移0t( )x n0 x nn当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00n 0n00n 时，信号向左平移时，信号向左平移0|n1. 时移变换：时移变换：Shift of Signals2. 反转变换：反转变换：Reflection of Signals ( )x t()xt信号以信号以 为轴呈镜像对称。为轴呈镜像对称。0t (

12、 )x n()xn与连续时间的情况相同。与连续时间的情况相同。3. 尺度变换：尺度变换： Scaling( )x t()x at1a 时时, 是将是将 在时间上压缩在时间上压缩a倍，倍，()x at( )x t01a 时时, 是将是将 在时间上扩展在时间上扩展1/a倍。倍。()x at( )x t实例：实例： 照片放大。照片放大。离散时间信号的尺度变换离散时间信号的尺度变换 离散时间信号尺度变换是指将离散时间样本序列离散时间信号尺度变换是指将离散时间样本序列减少或增加，分别称为抽取与内插零。减少或增加，分别称为抽取与内插零。 抽取是指离散时间变量抽取是指离散时间变量n变换为变换为Mn（M为正整

13、数），为正整数），由此由此xn变换成变换成xMn ，又称，又称M：1抽取。抽取。 xMn只保留只保留原序列在原序列在M整数倍时刻的序列值，其余序列值均被丢弃整数倍时刻的序列值，其余序列值均被丢弃了。了。 内插零是指在原序列中每两个相邻的序列值之间插内插零是指在原序列中每两个相邻的序列值之间插入入M-1个零值，即个零值，即xn变成变成x（M）n （为正整数），定义（为正整数），定义为为n,2,1,00)(llMnlMnMnxnxM11( )()(3)22x tx txt综合示例：综合示例：这里有一种有条不紊的途径：据值先时移这里有一种有条不紊的途径：据值先时移，再据值进行尺度变换，再做时间反转。

14、，再据值进行尺度变换，再做时间反转。 由由1( )(3)2x txt0 01 1( )x tt1 10 0t1 11/21/23/23/20 0t1 11/21/21/61/61()2x t 1(3)2xt 12tt 3tt做法一：做法一：做法二做法二 ：1( )(3 )(3)2x tx tx t做法三做法三 ：11( )()(3()66x tx txt0 01 1( )x tt1 10 0t1 11/31/3(3 )xt0 0t1 11/61/6 1/21/216tt 3tt1(3)2xt 1 10 0 1 1( )x tt0 0t1 11/61/67/67/61()6x t 0 0t1 1

15、1/61/6 1/21/21(3)2xt 16tt 11362tt先右移2/6再压缩三倍1.2.2相加与相乘相加与相乘 信号的相加与相乘也是经常遇到的两种运算。信号的相加与相乘也是经常遇到的两种运算。例如，在语音或图像中叠加背景就是信号相加的例如，在语音或图像中叠加背景就是信号相加的例子，而在通信中可以依靠信号相乘来实现调幅、例子，而在通信中可以依靠信号相乘来实现调幅、混频和检波等功能。混频和检波等功能。 两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映在波形上则是将相同时刻函数相加（乘），反映在波形上则是将相同时刻所对应的函数值相加（乘）。图所

16、对应的函数值相加（乘）。图1-11(a)和图和图1-11(b)别是两信号相加与相乘的例子。别是两信号相加与相乘的例子。 1.2.3 微分与积分微分与积分 对连续时间信号进行锐化与平滑处理时，常对连续时间信号进行锐化与平滑处理时，常常用到信号的微分与积分运算。图常用到信号的微分与积分运算。图(a)和和(b)分别是分别是连续时间信号微分与积分的例子。连续时间信号微分与积分的例子。 由图由图(a)可见，信号经微分后突出了它的变化可见，信号经微分后突出了它的变化部分，没有变化的部分微分结果为部分，没有变化的部分微分结果为0。若是图像。若是图像信号，那么微分运算的结果就是突出图像的边缘信号，那么微分运算

17、的结果就是突出图像的边缘轮廓。轮廓。 由图由图(b)可见，信号积分的效果刚好与微分可见，信号积分的效果刚好与微分的效果相反，平滑了信号的变化部分，利用这一的效果相反，平滑了信号的变化部分，利用这一作用可消弱混入信号的毛刺（噪声）的影响。作用可消弱混入信号的毛刺（噪声）的影响。1.2.4 差分与累加差分与累加 离散时间信号的差分与累加分别对应于连续离散时间信号的差分与累加分别对应于连续时间信号的微分与积分。图时间信号的微分与积分。图(a)和和(b)分别是离散分别是离散时间信号差分与累加的例子。时间信号差分与累加的例子。例例1-1判断下列信号是否为能量信号、功率信号判断下列信号是否为能量信号、功率

18、信号 n(1) n(2) n(3) ttxcos)(1)88(1njenxtetx)(2解：解：(1) 是周期为 的周期信号，其能量与功率分别为能量无限而功率有限，因此是功率信号。)(1tx2dttdttxE221cos)(21cos1cos221cos21)(1)(212/2/222/2/222/2/121limdttdttdttdttxTdttxTPTTTTT（2） 是离散时间周期信号，其能量与功率分别为能量无限而功率有限，因此是功率信号。 1nxnnnjnenxE12)88(21111211211211212)88(2121limNNnNNnNNnnjNNnNNeNnxNnxNP例1-2

19、已知 波形如图所示，试画出 的波形。 )(tx)32()(1txtx解1：解2：1.3 复指数信号与正弦信号复指数信号与正弦信号 （Exponential and Sinusoidal Signals ）一一. 连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号与正弦信号( )atx tCe其中其中 C, a 为复数为复数1. 实指数信号：实指数信号： C，a 为实数为实数0a 呈单调指数上升。呈单调指数上升。0a 0 0t( )x tc c0a呈单调指数下降。呈单调指数下降。0a ( )x tC是常数。是常数。2. 周期性复指数信号与正弦信号周期性复指数信号与正弦信号:0aj，不失一般性取，不失

20、一般性取1C 000( )cossinjtx tetjt实部与虚部都是正弦信号。实部与虚部都是正弦信号。( )x t显然是周期的，其基波周期为：显然是周期的，其基波周期为：002T0 0一般情况下一般情况下0( )cos()x tAt0022jtjtjjAAe eee其基波周期为其基波周期为 , 基波频率为基波频率为 ，当，当 时时通常称为直流信号。通常称为直流信号。002T000对对 而言，它在一个周期内的能量是而言，它在一个周期内的能量是它的平均功率为：它的平均功率为：0( )jtx te00020001TTjtTEedtdtT1TP 3. 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集

21、:0( )jktkte,0, 1, 2k 当当k取任何整数时，该信号集中的每个信号都是取任何整数时，该信号集中的每个信号都是彼此彼此独立的。只有独立的。只有该信号集中的所有信号才能构成该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。一个完备的正交函数集。0k0 该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别分别为为 ，都是，都是 的整数倍，因而称它们是的整数倍，因而称它们是成成谐波关系谐波关系的。的。0002T02kTk0T 信号集中信号的基波频率为信号集中信号的基波频率为 ，基波周期为，基波周期为 ， 各次谐波的周期分别为各次谐波的周期分别为 ，它

22、们的公共周期，它们的公共周期是是 。4. 一般复指数信号一般复指数信号:( )atx tCe其中其中 C, a 为复数为复数令令 则则 jCC e0arj00()( )jtjtjrtrtx tC e e eC e e 该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。指数规律变化的正弦振荡。当当 时，是指数增长的正弦振荡。时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡。时，是等幅的正弦振荡。0r 0

23、r 0r 0r 0r 0r ( )nx nC当当 时，呈单调指数增长时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减时，呈单调指数衰减 时，呈摆动指数衰减时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长时，呈摆动指数增长10110 1 二二. 离散时间复指数信号与正弦信号离散时间复指数信号与正弦信号( )nx nC,C 一般为复数一般为复数1. 实指数信号：实指数信号： 均为实数均为实数,C10110 1 2. 正弦信号：正弦信号：0( )jnx ne其中其中 为实数。为实数。0000( )cossinjnx nenjn( )cos(2/12)x nn( )cos(8/31)x nn( )cos( /6)x nn

24、 离散时间正弦信号不一定是周期的离散时间正弦信号不一定是周期的，这是与连，这是与连续时间正弦信号的重大区别。续时间正弦信号的重大区别。0 离散时间信号的频率表示为离散时间信号的频率表示为 ，其量纲是弧度。，其量纲是弧度。3. 一般复指数信号：一般复指数信号：( )nx nCjCC e0je0()( )njnx nCe00cos()sin()nCnjn令令则则 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。序列。当当 时幅度呈指数增长，时幅度呈指数增长， 时时幅度呈指数衰减。幅度呈指数衰减。1111 离散时间复指数序列离散时间复指数序列 不一定是周期性

25、不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。的，要具有周期性，必须具备一定条件。 0( )jnx ne()( )x nNx n0000()jn NjnjNjneeee01jNe即即02Nm于是有于是有02mN三三. .离散时间复指数序列的周期性离散时间复指数序列的周期性设设 则有：则有： 表明表明只有在只有在 与与 的比值是一个有理数时的比值是一个有理数时， 才具有周期性才具有周期性。020jne0( )jtx te0 对对 ，当，当 时，对应的信号振荡频率越时，对应的信号振荡频率越来越高不会发生逆转。来越高不会发生逆转。 而对而对 ， 当当 时，只要是时，只要是 变化变化 的的范围，如

26、范围，如 ，则由于，则由于 ，总是，总是会有会有 。这表明：当。这表明：当 变化时，并非变化时，并非所有的所有的 都是互相独立的。都是互相独立的。离散时间信号的有离散时间信号的有效频率范围只有效频率范围只有 区间。区间。其中其中 ， 处都对应最低频率；处都对应最低频率； 或或 处都对应处都对应最高频率。最高频率。 0jne00202kk21jkne0kjnjnee00jne202 k 2 k( )cos(0)1x nn( )cos(/8)x nn( )cos(/4)x nn( )cos(/2)x nn( )cos()x nn( )cos(3/2)x nn( )cos(7/4)x nn( )co

27、s(15/8)x nn( )cos(2)x nn 在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数的两个正整数 m, N 使得：使得：02mN（m与与N无公因子）无公因子） 此时此时 即为该信号的周期即为该信号的周期, , 也称为也称为基波周期基波周期, ,因此该信号的基波频率为因此该信号的基波频率为 。02Nm02Nm 离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。波关系的信号集。2( )jknNkne0, 1, 2k 该信号集中的每一个信号都是以该信号集中的每一个信号都是以N为周期的为周期

28、的, N是它们的基波周期。是它们的基波周期。称为直流分量，称为直流分量， 称为基波分量。称为基波分量。0k 1k 称为二次谐波分量等等。称为二次谐波分量等等。2k 每个谐波分量的频率都是每个谐波分量的频率都是 的整数倍。的整数倍。2N 特别值得指出的是：特别值得指出的是：该信号集中的所有信号并不该信号集中的所有信号并不是全部独立的。是全部独立的。( )( )k Nknn 这表明：这表明：该信号集中只有该信号集中只有N个信号是独立的个信号是独立的。即。即当当k 取相连的取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此个整数时所对应的各个谐波才是彼此独立的。因此，独立的。因此，由由N个独立的谐波分量就能

29、构成一个个独立的谐波分量就能构成一个完备的正交函数集完备的正交函数集。 显然有：显然有：这是与连续时间的情况有重大区别的。这是与连续时间的情况有重大区别的。 信号信号 和和 的比较的比较n 不同，信号不同不同，信号不同n对任何对任何 信号都是周信号都是周期的期的n基波频率基波频率n基波周期：基波周期：T0频差频差 的整数倍时，信号相同的整数倍时，信号相同仅当仅当 时，时， 信号是周期的信号是周期的基波频率基波频率基波周期：基波周期：N2002mN002T02Nm00jte0jne一一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃离散时间单位脉冲与单位阶跃1. 单位脉冲序列单位脉冲序列( )n:1.4 单位冲激

30、与单位阶跃单位冲激与单位阶跃（The Unit Impulse and Unit Step Functions）( )n10n 00n 定义定义( )n1n0 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列 :( )u n，定义定义( )u n 100n 0n ，( )n( )u n与与 之间的关系：之间的关系：( )( )(1)nu nu n一次差分一次差分( )u nn100( )( )()nkku nknk( )n具有提取信号具有提取信号 中某一点的样值的作用。中某一点的样值的作用。( )x n( ) ( )(0) ( )x nnxn000( ) ()() ()x nnnx nnn1()nknk 单位阶

31、跃单位阶跃( )u t( )u t 10，0t 0t 10( )u tt2. 单位冲激单位冲激( ) t 定义：定义： 定义的不严密性，由于定义的不严密性，由于 在在 不连续，因不连续，因而在该处不可导。而在该处不可导。( )( )du ttdt( )( )tu td ( )u t0t 二二. 连续时间单位阶跃与单位冲激连续时间单位阶跃与单位冲激定义：定义：定义定义 如图所示如图所示:( )ut10( )utt0( )ut( )u t可认为可认为( )( )duttdt( ) t01t0lim( )( )tt( ) t即即 可视为一个面积始终为可视为一个面积始终为1的矩形，当其宽度的矩形，当其

32、宽度趋于零时的趋于零时的极限极限。显然当显然当 时时( ) t表示为表示为10( ) tt00()tt0tt1 矩形面积称为矩形面积称为冲激强度冲激强度。( )1t dt0( )( )()tu tdtd 显然有：显然有：三、冲激函数的性质三、冲激函数的性质 （1）与单位阶跃信号的关系）与单位阶跃信号的关系 单位冲激函数单位冲激函数 的积分等于单位阶跃信的积分等于单位阶跃信号号 ，即，即 反之，连续时间单位冲激函数反之，连续时间单位冲激函数 是单位阶跃是单位阶跃信号信号 的一次微分，即的一次微分，即 tdtu)( ( )du ttdt)(t)(t)(tu)(tu 类似地，离散时间中单位冲激函数求

33、和得到类似地，离散时间中单位冲激函数求和得到单位阶跃信号，是的一阶差分单位阶跃信号，是的一阶差分 nkknu 1nunun（2）单位冲激信号具有单位面积）单位冲激信号具有单位面积 1)( dtt 1nn（3）单位冲激信号的抽样性质）单位冲激信号的抽样性质 任何信号与函数相乘，所产生的仍是一个冲任何信号与函数相乘，所产生的仍是一个冲激函数，只是冲激的位置与强度发生变化。激函数，只是冲激的位置与强度发生变化。 )()0()()(txttx0nxnnx进一步可得出进一步可得出)0()()0()()(xdttxdtttxnnxnxnnx00更一般地更一般地 0000txdttttxdttttxnnnx

34、nnnxnnnx0000( ) ( )(0) ( )x ttxt000( ) ()( ) ()x tttx ttt0lim0(0)()(0) ( )xttxt0t1(0)x(0)( )xt( ) t也具有提取连续时间信号样本的作用。也具有提取连续时间信号样本的作用。n 单位冲激函数具有抽样出信号中任意单位冲激函数具有抽样出信号中任意函数值的特性。函数值的特性。n 由于单位冲激函数具有抽样特性，因由于单位冲激函数具有抽样特性，因而许多信号可以表示为单位冲激信号的线而许多信号可以表示为单位冲激信号的线性组合，从而引出信号与系统分析的新方性组合，从而引出信号与系统分析的新方法。法。 （4）单位冲激信

35、号是偶函数）单位冲激信号是偶函数 )()(ttnn（5）尺度变换性质）尺度变换性质 )(|1)(taat 按照阶跃函数的定义，任何函数与阶跃函按照阶跃函数的定义，任何函数与阶跃函数相乘后将切除函数的一部分，称为阶跃函数的数相乘后将切除函数的一部分，称为阶跃函数的切除特性，即切除特性，即 利用阶跃函数的切除特性，可以方便地归纳利用阶跃函数的切除特性，可以方便地归纳一些分段函数一些分段函数。 0000)()()(tttttxttutx0000nnnnnxnnunx四、阶跃函数的性质四、阶跃函数的性质 用阶跃表示矩形脉冲用阶跃表示矩形脉冲)()()(tututG)()()(001ttuttutGG(

36、t) 0 tG1(t) 0 t0 t五、其它奇异函数五、其它奇异函数 奇异函数不仅仅包括奇异函数不仅仅包括连续时间冲激函数与阶跃连续时间冲激函数与阶跃函数，它们的若干次积分函数，它们的若干次积分与若干次导数也属于奇异与若干次导数也属于奇异函数。例如，对单位阶跃函数。例如，对单位阶跃函数进行积分，可得函数进行积分，可得 000)()(tttdutrt 单位冲激函数的微分称为单位冲激偶，定义为单位冲激函数的微分称为单位冲激偶，定义为dttdt)()(单位冲激偶的重要性质单位冲激偶的重要性质n1n2)( )()(00txdttttx式中 为 在点 的导数值。)( 0tx)(tx0t0)(dtt即面积

37、为零，这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消了。1.5信号的分解信号的分解 1、 分解为偶部与奇部分解为偶部与奇部n偶信号定义为偶信号定义为 n奇信号定义为奇信号定义为)()(txtxnxnx)()(txtxnxnx 一般地，可以将任何信号分解为偶部与奇部，一般地，可以将任何信号分解为偶部与奇部，各自满足偶对称和奇对称的条件。各自满足偶对称和奇对称的条件。 )()()(txtxtxOdEv)()(21)()()(21)(txtxtxtxtxtxOdEv连续时间信号连续时间信号离散时间信号离散时间信号2121nxnxnxnxnxnxOdEvnxnxnxOdEv2、分解为实部与虚部、分解为实部与虚部

38、 复信号可以分为实部与虚部，即复信号可以分为实部与虚部，即其共轭函数为其共轭函数为)()()(txjtxtxImRe)()()(*txjtxtxImRe)()(21)()()(21)(*txtxtxtxtxtxImRe)()()()()(*2txtxtxtxtx22ImRe3、分解为冲激信号、分解为冲激信号 nmnxnmmxmmnxnmnxnmmx输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。连续时间系统连续时间系统( )x t( )y t1.5 连续时间与离散时间系统连续时间与离散时间系统 一一. 系统系统（Continuous-Time and Dis

39、crete-Time Systems）连续时间系统：连续时间系统： 系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入输出关系的方程。通常表现为描述输入输出关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。离散时间系统离散时间

40、系统( )x n( )y n离散时间系统：离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。 本课程所研究的对象本课程所研究的对象LTI（Linear TimeInvariant Systems）系统就是这样的一类系统。系统就是这样的一类系统。 （2）很多工程实际中的系统都能够利用这类系统很多工程实际中的系统都能够利用这类系统的方法建模（即具有普遍性）。的方法建模（即具有普遍性）。为此要求所研究的系统具有以下为此要求所研究的系统具有以下两点重要特性两点重要特性: :（1）这一类系统应该具有一些性质和结构，通过这一类系统应该具有一些性质和结构，通过

41、它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这它们能够对系统的行为作出透彻的描述，并能对这一类系统建立有效的分析方法（即可行性）。一类系统建立有效的分析方法（即可行性）。 可以通过对简单系统（子系统）的分析并通可以通过对简单系统（子系统）的分析并通过子过子系统互联而达到分析复杂系统的目的。系统互联而达到分析复杂系统的目的。 也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。综合都是十分重要的。二二. . 系统的互联系统的互联 （Interconnectio

42、n of Systems） 现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的组合。组合。2. 并联并联 ( parallel interconnection )( )x t( )x n( )y t( )y n1. 级联级联 (cascade interconnection)( )x t( )x n( )y t( )y n3. 反馈联结反馈联结 ( Feedback interconnection )( )x n( )x t( )y t( )y n工程实际中也经常将级联、并

43、联混合使用，如：工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：III 在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是无记忆系统无记忆系统。否则就是。否则就是记忆系统记忆系统，即，即（memory systems 或或 systems with memory )。 如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关, ,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。统是记忆的。1.6 系统的基

44、本性质系统的基本性质 ( Basic System Properties ) 1. 记忆系统与无记忆系统记忆系统与无记忆系统 (memory systems and memoryless systems)例如：例如：1( )( )ty txdC（电容）（电容）( )(1)y tx tRC、RLC电路电路( )( )nky nx k（累加器）（累加器）( )( )(1)y nx nx n（差分器）（差分器）等都是等都是记忆系统记忆系统 在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即有的输出响应与输入信号都相同，即有 , 或或 。这样

45、的无记忆系统称为。这样的无记忆系统称为恒等系统恒等系统 ( identity system )。 ( )( )y tx t( )( )y nx n2. 可逆性与逆系统可逆性与逆系统 (Inveritibility and inverse systems) 如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是是可逆系统可逆系统( invertible systems )。 如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是

46、不可逆的，称为号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不不可逆系统可逆系统( noninvertible systems )。 如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等个恒等系统，则称后者是前者的系统，则称后者是前者的逆系统逆系统 ( inverse system )。( )x t( )x n( )y t( )y n( )x t( )x n例如例如:1( )( )2y tx t 是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:( )2 ( )y tx t( )( )nky nx k 是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:( )( )(1)y

47、 nx nx n还原为还原为 。输入输入 时时, ；输入；输入 时时, 。2( )( )y tx t是不可逆系统，是不可逆系统，因为有两个不同的因为有两个不同的( )x t( )x t( )( ) (1)y nx n x n也是不可逆的，也是不可逆的，因为因为 ( )n( )0y n (1)n( )0y n ( )(2 )y nxn是不可逆系统，是不可逆系统，因为无法从因为无法从 (2 )xn( )x n( )( )dx ty tdt不可逆；不可逆； 也是不可逆系统。也是不可逆系统。( )0y t 调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。

48、器或解码器。而而输入输入 和和 能产生相同的输出。能产生相同的输出。 如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是后的输入无关就称该系统是因果的因果的( causal )。否则就否则就是是非因果的非因果的( noncausal )。3. 因果性因果性 (causality) 一般说来，一般说来，非因果系统是物理不可实现的非因果系统是物理不可实现的。这体。这体现了因果性对系统实现的重要性。但对非实时处理现了因果性对系统实现的重要性。但对非

49、实时处理信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时间概念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理间概念的情况，因果性并不一定成为系统能否物理实现的先决条件。实现的先决条件。 例如在图像处理中例如在图像处理中, , 自变量是图像中各点的坐标自变量是图像中各点的坐标位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统，如位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统，如股市分析、经济预测等股市分析、经济预测等 , ,实际上是以足够的延时来实际上是以足够的延时来换取非因果性的实现。换取非因果性的实现。( )()y nxn0n 时时 决定于以后时刻的输入。决定于以后时刻的输入

50、。( )y n( )( )(1);y nx nx n( )(2 )y txt是非因果系统。是非因果系统。RLC电路电路, , ,都是因果系统。都是因果系统。 ( )( )(1)y nx nx n( )( )nky nx k4. 稳定性稳定性 ( stability ) 如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是界的，则该系统是稳定系统稳定系统(stable system)。否则，否则，就是就是不稳定系统不稳定系统(unstable system)。例如：单摆、例如：单摆、RC电路都是稳定系统；电路都是稳定系统； 也是稳定系统。也是稳定系

51、统。( )(1)y nx n( )( ),nky nx k( )( ),( )( )ty txdy ttx t都是不稳定系统。都是不稳定系统。 如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是其它变化，则称该系统是时不变的时不变的(time-invariant)。否则就是否则就是时变的时变的( time-varying )。 工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。稳定性对系统

52、来说是非常重要的。5. 时不变性时不变性 ( Time-invariance )即：若即：若 ( )( ),x ty t00()()x tty tt则系统是时不变的。则系统是时不变的。检验一个系统时不变性的步骤检验一个系统时不变性的步骤: : 令输入为令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输，根据系统的描述，确定此时的输出出 。 将输入信号变为将输入信号变为 ，再根据系统的描述确定输，再根据系统的描述确定输出出 。 3. 令令 根据自变量变换，检验根据自变量变换，检验 是否等于是否等于 。1( )x t1( )y t210( )(),x tx tt2( )y t2( )y t10()y tt2

53、( )x t如如当当 时，时，( )(1) ( )y nnx n1( )( )x nx n11( )(1)( )y nnx n2( )( )x nx n时，时，22( )(1)( )y nnx n由于由于100102()(1)()( )y nnnnx nny n系统是时变的。系统是时变的。当当令令210( )()x nx nn则有：则有：210( )(1)()y nnx nn又如：又如：( )()y txt1( )( )x tx t11( )()y txt210( )()x tx tt22( )()y txt该系统是时变的。该系统是时变的。1010102() ()()( )y ttxttx t

54、ty t当当 时，时，当当 时，时，2( )( )x tx t令令则有：则有：210( )()y txtt 而而6. 线性线性（Linearity） 11( )( )x ty t22( )( )x ty t1212( )( )( )( )ax tbx tay tby t 其中其中a,b是常数是常数（包括复数），满足此关系的系统是线性的。（包括复数），满足此关系的系统是线性的。若若 例如：例如： , ,满足可加性，但不满足齐满足可加性，但不满足齐次性。当次性。当 时其实部变为虚部，虚部变为实部时其实部变为虚部，虚部变为实部。( )Re( )y tx taj满足齐次性但不满足可加性。满足齐次性但不满足可加性。21( ) ( )( )y tx tx t因为，若输入为因为，若输入为 则则12( )( )x tx t2212121( )( )( ) ( )( )y tx tx tx tx t22212121212( )( )( )(