2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题解析

1、精品文档2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题答案<-)填空题(本大超共10小题.每小题S分，共so分,请将答案填写在答题纸指定位置.)(1)复数需满足忖=4,且04比江是纯盅数.则=.解;由已知得|(3中旬三|=|3 + 4小同= 25,故。十布)工=125门由此得j = *t(4 + 30.所以言，上(4-驾)*'3 +耶答案；z = t(4 -3Q,(2)方程曲，7酬7茎1的解为.杷 由方程得再/工=1+85“工§】，则85工=0闻口“±，故耳"-3* £*)Ju-答案上工=5+ 1(上£，).2(3)设函数#)=丝平坟

2、的最大值为“，最小值为用，则M +高十1解:由已知得人若=在哗警M +在半，函数以功=名竿为奇函题，则Y+lX 4-1厂 + 1氟工)的最大值砥和最小值M，滥足此+ 乂=0.又M = M,+1,N = NJ1,则廿十尹=2,答案：2(4)如图，。是半轻为1的球的球心，点48C在球面上,Q&OB3 两两垂直，民F分别是圆孤dB/C的中点，则点出F在该球面上的球面 距离始解由已知得面G/E1面owe.如图所示,在平面Q0内过£作EM1OA.垂足为时.连接腐，易知MCM,则A佰IMF且ZWEZWF-.由此得鹿=财产=立，£产=1,因此M?£f为正 42三角形，&

3、#163;3 吟、则E* F在该球面上的球面距离为小答案：J(5)已知工小电”0且满足？+炉+均7.剧/的雄大值=解：由已知得j? +3xy+ / -I = (x + y-lX3 + V _呼十彳十>十1 = 0.又+工4y41之孙+ X+N+】a0由此得了> = 1,故即15V. 等号成立当且仅当尹1,即耳二百 此时尸；，故当尸：时，V,取« .F£,J。得最大值2.(6)将正整数列L23)中的所有完全平方数去掉后.按原膜序构成数列，则n M：设P<.<Ok + iy«EW>,则在败列123,中，在.之前共去掉上个完全平 方数，因此

4、4H/t + it 故由*沏5 + h(m，即，W，得上,45,.广如60.咐+1);2014答案* 2060* (7)把123.4,5.6这六个敷蕨机挂成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减,这样 的数列共有 个.解法一：从L2.3,4.5中选出I个数排在6的右便I,其余数排在$的左健，蹲到先增后减 的数列有C；个工从L2.345中选出2个数样在6的右侧，其余数排在6的左侧,得到先增后减 的数列有C：个；，因此满足条件的数列共有C；+C；+C； + G = 2,42w30个.2015年山东省高中数学赛赛预鑫试题答案 第2页C共£页)解法二，由国意知，1可锹第一第或第六项,即有2

5、种选择 2可做第二项或第五项， 即有2种选择：同理3,4%也各有2种选择，又因为6不能做第六项和第一项t所以数列恰好 先增后减的情况共有2, - 2 = 30个.答案：30.(3>设口>1,若关于，的方程工无实根，则实数己的取值范国为.解£由函数,二/和二工的图像可知，着口,1.且"二工无实根，则优工恒成立.设/(工)二，一工,则ra)="lnQ7 >0.则工>-log式!)1口)，所以/(工)=口一工在 (7,-1口及。口&)上递减.在上递增，所以八K)在工工-log式加白)时取得最小 值，即/-=/(-1%(由") =

6、一(一啕(ln©)>0，即-(-log-(taa)>0,maij_j_i£又=10e, 一10gsOnG = lcgJ% 所以 10£/>1值产，由此得始0>-.即4>e*.Ina£答案；a > e*.(9)在 MBC 中，角 4ac 满足，且 sin/ * .iiq + *inC =6，则 cos A + 83 B + gobCza-.解，由至里±虹巫 /cos A + 8s B + cos C(sln -旧 oosA) +(sinB-有 cosR +($inC 6 coscJ = 0 .由此得2§

7、;iM/ -3十 2 s：n(B+ 2sin(C - ? = 0,即sin(A + sin(d sin(j4 S左)=° 整理得4T R-三sin-sin-sib = 0 2221所以W8，C中至少有一个为生，又4VBe 则8=g. 33答案早 3(10己知集合M = 12,为,现随机选取M中9个元素做成子集.记该子集中的最 小数为，则& =M：集合M中以正整数上。0 $ 99)为最小数的9元子集共有4个所以,，随机变量§的分布列为:trl®k k（4+%+c；）=F=i°答案.10.（二）解答题（本大题共4小题，共70分，答题需给出详细的解答过

8、程没有过程不得分.）（11）（本小题满分15分）求证：不存在这样的函数/：Et】,2t3，满足对任意的整数七小若教-汴%3司,则上冲3证明：假设存在这样的函数/,则对任意的整数R，/（,）和/S + 2）, *3）,/S +5）均不相同.（5分）由于/:Zt123,则项至少有两个是相同的.（I。分）又+/5+3）工/5 + 5）,则必有/0> + 2）="3），由此得/加+3） = /（片+4）,故/S+2） = /M，4）矛盾.因此假设不成立，即不存在这样的函数/.<15 分） .（12）（本小息满分15分）对任意的工和自然致加，比较心加”工和dnisinnx的大小，解

9、：可以证明：nsin2 jc - sin xsin nx= sin x（rasin x - sift /w） 0 .（5分）当sinl=0舱.结论显热成立： ”0分）当疝尸。时，可以证明怜当布. I sinx I事实上，当用三I时，结论显然成立,假设口«£时,结论成立，当内=*+1附.cosixsin(JtH-l)x| siriifcrcosx+cosJbfsinx stnxsinx故当拜Kjt+I时，结论成立,由效学归纳怯知,sin axsinx踪上所述，sin j；(MSi n r - sin wc) S 0» KPnsin2 rS sinxsinw t(15

10、 分)（13）（本小题满分20分）已知椭圆=1,不过原点的直线，和椭圆相交于两点as.（1）求三角形面积的坦大值工 （II）是否存在椭脚弓，使得对于J的每一条切线和椭胸G均相交，设交于46两点,且巴小恰取最大值？若存在，给出谟桶圆，若不存在，说明理由，解工（D若宣战J的斜率存在,设/的方程为了工匕+股*将尸=去+用代入插圆方程得节 W）必 + 切Jbnx*#3 _ 工=0.设/£两点分别为j（NM）,A（弓通则w 一而奇，一一 因此网餐屁_.广+值二= M+.，（&-F 二 4内巧7""1 +，" 设AQ4B中期边上的高为人则h-±L.

11、J14 Jk1因此三角形AQ仍面方为阳"" ? !WyJF+犷, 15 分） 上a k +p固定A,则1£_ J了.¥ZT口6a*k* +A*2由此得，对任意的A，&的嘤，等号成立当且仅当调.9若直底/的斜率不存在.设/的方程为工二加，则易证$如M或，等号成立当且仅当 2口=2用，所以三角形AG4H面积的最大值为色.（0分）i21（n）存在桶圆该椭勘的任一切线和椭圆G 亭白I交于两点（15 分）当2二上时,2国加=”仍然成立，此时过椭4g,且%uji =*事实上，设满足条件的椭回为14,过椭圆上任一点（,%）的切线方程为该切和椭OG :捺十营，1

12、交于两点/田若% = 0.则%= ±aVZ*由切然方程得工=幺" = 土口3.由tl） fib曷皿b = F的充要条件是 口士 = 2（。' = 2JU11（瑞，为）的切线方程为JW一犬+肥，M（-尤§）工+肥8。十与4），又迪r则n友亏工2», 2*4方=al(-4/ + 方产(I +（20 分）保上所述，存在栖凰G：M+4 = :，使得对于G的每一条切SE和栩圆C1相交于4g r G 2两点，且恰取最大值(14)本小题满分20分)已知数列辘足q = 1,4蚱=/ 之2).C I )求证当内之2时.>3胖*(H)当r>A4时，求依“

13、."工表示不大于刀的效部分.)证明: Ci)由等式口川=.+1两边立方得。：& =4 +3+得4十当郡w2时，叼=2)W=8，所以"a弱假设当界二#时,结论成立，邺4>3和则当口 = 上十】时，4+1 = E + 3+- 41 > 3i 4 314%由数学归纳法，结论成立. co分)(10由(D知当门之2时，力>3比9状= 27/,故人当打之4时* 士 < - .且J1之lyfn之JJJ + J*二1 t因此 4 3H域如=b；+38+3(p +近*33卜£+*£)+沁审乃) I 1 . 11 一 1. 11、V I +

14、3/t +34 F (' 'L ' 产 + +"fj- -) +1 4一- + -* - + )2 3 /a + VJyn + J/r - j9 1x2Pl x (n - 1)+ (1*- -1)9 n父34+ «+5由此得，当冷上4时,&*<心士父3讨4G +51所以4# <27k5 < 27nJ +3/ + 5M27/ 4 27ffl 小9用 +1 = 0n + 1户.因此a, <3 + 1.所以因此3M】=3八3?! < %, <3再+1 .(20 分)2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛.试题（一

15、）填空题（本大题共10小熟，何小睡8分，狭80分，请将答案填写本答题砥指定位置，） （I）复数三满足同=5,且0+旬工是纯虚数.则亍=,（2 ）方程 $ir? "（OS x- 1 的解为.（耳）设函数刃="?3丫的最大值为最小值为N,则M + N .X十1（4）如图，。是半粒为I的球的理心，点4BC在球面上.O4（7B,OC两两垂直旦产分别是圆孤的中 7 n r点,则点瓦尸在该率面上的球面处离是 Q1（5）已知品产£0,3）且满足/ +/#3号=1.则k/的最大值:（门将正壑数列123,）中的所有完全平方数去抻后.按原顺序构成数列4 .则= 一. . "

16、（7）把1,2,3.45,6这六个数随机排成 例组成 个数列，要求该数列恰好先增后减，这样的数列共有1 个.8设廿>匕若美于X的方程4=常无实根，则实数。的取（K范围为 .（”在AJ8c中，谢4A.e满足/sE<C,且sin / +吧亘±山£史,则cos A + Cffii-13 + cos CZB- <10）已知集合M = 1,2,99,现随机选取M中9个元素做成子集，记该子集中的最小数为d则2015年山东省高中数学联赛预赛团题第1页（共2页）（-）««« （本大题共4小,我了口分.答题需维出洋州1的解答过程，没有过程不耙分.）（II）（本小题满分15分）求证：不存在这样的函数/;Zf也2a，满足对任宜的整数若|k .恒2,3,5,则人工）工，0.（12）（本小跑满分15分）时任苣的/和自然数人 比