上海市静安区2017届高三一模数学试卷(含答案)

1、2017年上海市静安区高考数学一模试卷一、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果， 每个空格填对得5分，否则一律得零分.1 . V 0”是“豕a”的充分非必要条件，则a的取值范围是 .2 .函数fG)=36门2(/4)的最小正周期为 .3 .若复数z为纯虚数，且满足(2-i)z=a+i (i为虚数单位)，则实数a的值为.4 .二项式展开式中x的系数为5 .用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 一立方米.6 .已知a为锐角，且匕口号,贝U sin a二.7 .根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假

2、设饮酒后，血液中的酒精含量为Po毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式 产即飞这(r为 常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89毫克/100毫升，2小时后，测得 其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过一小时方可驾 车.(精确到小时)8 .已知奇函数f (x)是定义在R上的增函数，数列Xn是一个公差为2的等差 数列，满足f (x7)+f (x8)=0,则x2017的值为.9 .直角三角形ABC中，AB=3, AC=4, BC=5点M是三角形ABC外接圆上任意 一点，则标怒的最大值为.10 .已知 f (x) =ax- b ( (a&

3、gt;0 且且 a*1, b C R) , g (x) =x+1,若对任意实1 A数x均有f (x) ?g (x) < 0,则一*的最小值为.a b二、选择题本大题共有 5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是 正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则 一律得零分.11 .若空间三条直线a、b、c满足a±b, b±c,则直线a与c ()A. 一定平行B. 一定相交C. 一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能12 .在无穷等比数列a/中，lim (5+ a/，则为的取值范围是( n-*8A.,)B./ 1) C. (0,1

4、) D.当Ug，1)13 .某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有()A. 336 种 B. 320 种 C. 192 种 D. 144 种14 .已知椭圆G,抛物线C2焦点均在X轴上，G的中心和C2顶点均为原点O, 从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1的左焦点到C2的准线之 间的距离为( )x3-24y0一4A.B.C. 1 D. 215.已知y=g (x)与y=h (x)都是定义在(-°0, 0) U (0, +oo)上的奇函数，f J, 0<x<l _且当 x>0 时，, h (x)

5、=klog2X (x>0),右 y=g (x)I Six _ 1A 工-h (x)恰有4个零点，则正实数k的取值范围是()A TB. - C.- D三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.16 .已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1, AB=a, AA二2a, E, F 分别是棱 AD, CD 的 中点.(1)求异面直线BG与EF所成角的大小；(2)求四面体CAEF的体积.2 v217 .设双曲线C：片-gn, F1, F2为其左右两个焦点.(1)设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求ONFM的取值范围;

6、(2)若动点P与双曲线C的两个焦点Fi, F2的距离之和为定值，且cos/ FiPF2 的最小值为一1,求动点P的轨迹方程.18 .在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A (看做 一点)的东偏南8角方向(cosS二噂), 300km的海面P处，并以20km/h的速 度向西偏北45。方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并 以10km/h的速度不断增大.(1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由；(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？19 .设集合Ma=f (x) |存在正实数a,使得定义域内任意x都有f (x+a) >f

7、(x). (1)若f (x) =2x x2,试判断f (x)是否为Mi中的元素，并说明理由； (2)若晨6二1 .肝3,且g (x) Ma,求a的取值范围；(3)若h(x)=l口h(k/)，宜£ L +8)(kC R),且 h (x) M2,求 h (x)的最小值.20 .由n (n>2)个不同的数构成的数列 a1，m,为中，若1&i<j&n时，司 <a (即后面的项引小于前面项a),则称ai与马构成一个逆序，一个有穷数列 的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3, 2, 1,由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个

8、，在第三项1后面比 1小的项没有，因此，数列 3, 2, 1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列 L =,一1的逆序数为4. N 4 q(1)计算数列 %二-2n+19(l<n<100,nEN")的逆序数； 7/防奇数(2)计算数列a =(1<n<k, n C N*)的逆序数；一以，n为偶数 n+1(3)已知数列a1, a2,力的逆序数为a,求an, an 1,a的逆序数.2017年上海市静安区高考数学一模试卷参考答案与试题解析、填空题本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得5分，否则一律得零分.1 . & 0&q

9、uot;是a a”的充分非必要条件，则a |j勺取值范围是（0, +8）.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义求出a的范围即可.【解答】解：若 &0”是“Ma”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0, +°°）,故答案为：（0, +8）.2 .函数f（x）=1-3鼠口2叁二）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法.【分析】利用三角包等变换化简函数的解析式， 再利用正弦函数的周期性，求得 f （x）的最小正周期.【解答】解：函数f二3sin%T）=1 3?Lc口式2工6）=一1?（1+sin2x） =-2- |sin2x的

10、最小正周期为 看；=% LaLiii故答案为：工3 .若复数z为纯虚数，且满足（2-i） z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由（2-i） z=a+i,得干不 然后利用复数代数形式的乘除运算化简 复数Z,由复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案.【解答】解：由（2i） z=a+i,徂_（2-©2行工 2-i = （2-5= 5 F1':复数z为纯虚数，喑声。解得a=T7.则实数a的值为：2故答案为:2-4.二项式展开式中x的系数为 10【考点】二项式定理.【分析】利用二项式（J*）E展开式的通项公式即可求得答案.【解答】解：

11、设二项式（/号广展开式的通项为Ms, 则 Tr+1=Cgx2 5" ?X-r=Cg?X103r,令 10- 3r=1 得 r=3,.二项式（J*尸展开式中x的系数为牖=10.故答案为：10.5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 H 立方米.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案.【解答】解：半径为1米的半圆的周长为£父2兀乂九， U则制作成圆锥的底面周长为 Q母线长为1,设圆锥的底面半径为r,则2冗二,冗即r=y.:圆锥的高为h=Jj -仔）2二亨.v=|x nx 心）2乂*=/|/ （立方

12、米）. qU乙u- Wt, _, JsTT故答案为：一五一.6.已知a为锐角，且ccis（u+；）J,则sin a二室 .Q 3TO【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由a为锐角求出a+与的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 SinTT（o+y）的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：: a为锐角，age (4等),: cos (sin ( o+1-cos2 (Q C)=|,一.7T ITIT贝 sin a =sn( a+) =sin ( o+-) co义丝退故答案为:10返10H / 孔、.n 4、，6s- cos ( o

13、+一)sin-=-X-444 527.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于) 升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为20毫克/100毫po毫克/100毫升,经过x个小时，酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式p二p旷01y (r为 常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为 89毫克/100毫升，2小时后，测得 其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 8小时方可 驾车.(精确到小时)【考点】函数模型的选择与应用.【分析】先求出 染牛 再利用89?exr<20,即可得出结论. -J【解答】解：由题意，61=89?e2r, .er=J,

14、-J ,-89?e<r<20, . x>8,故答案为8.8.已知奇函数f (x)是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差 数列，满足 f (x7) +f (x8)=0,则 x2017 的值为 4019 .【考点】数列与函数的综合.【分析】设设x7=X,则x8=x+2 ,则f (x) +f (x+2) =0,结合奇函数关于原点的 对称性可知，f (x+1) =0=f (0) , x7=- 1.设数列xn通项 xn=x7+2 (n-7) .得 到通项xn=2n-15.由此能求出x2011的值.【解答】解：设x7=x,贝U x8=x+2, f (x7)+f (x8)=0,

15、 f (x) +f (x+2) =0,结合奇函数关于原点的对称性可知，, f (x+1) =0=f (0),即 x+1=0. x=- 1 , 设数列xn通项 xn=x7+2 (n-7) =2n- 15. .X2017=2X 2017- 15=4019.故答案为：40199 .直角三角形ABC中，AB=3, AC=4, BC=5点M是三角形ABC外接圆上任意 一点，则标的最大值为12 .【考点】向量在几何中的应用.【分析】建立坐标系，设M ( y+cosa , 24-sinCl )，则Rj =.3 SE 、 一， 、9 16.<(y+ycosd , 2+sind.),四二(3, 0), A

16、B 三。41 d【解答】解：如图建立平面直角坐标系，A (0, 0) , B (3, 0) , C (0.4), 三角形ABC外接圆(x-,)2+ (y-2) 2=与， LiJL设 M(£W8sd, 2垮言in。)，则知=(£谤二口吕仃，2+ysinCl ) , AB=(3, 0), bl 心血占 直面9 15-AB AH yHT-cos Q 41 士，故答案为：12.10 .已知 f (x) =ax- b ( (a>0 且且 a*1, b C R) , g (x) =x+1,若对任意实14数x均有f (x) ?g (x) < 0,则一r 的最小值为 4 . a

17、【考点】基本不等式.1 4【分析】根据对任意实数x均有f (x) ?g (x) <0,求出a, b的关系，可求一七y a d的最小值.【解答】解：f (x) =ax- b, g (x) =x+1,那么：f (x) ?g (x) < 0,即(ax-b) (x+1) <0.对任意实数x均成立，可得ax- b=0, x+1=0,故得ab=1.那么："bT>N1=4，当且仅当x=y=时取等号.故L+4的最小值为4- a b故答案为：4.二、选择题本大题共有 5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分

18、，否则一律得零分.11.若空间三条直线a、b、c满足a±b, b±c,则直线a与c （）A. 一定平行B. 一定相交C. 一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线 a、b、c满足a±b> b±c,贝U a/ c,或a与c相交，或 a与c异面.【解答】解：如图所示：a±b, b±c,a与c可以相交，异面直线，也可能平行.从而若直线a、b、c满足a，b、b，c,则a/c,或a与c相交，或a与c异面.故选D.12

19、 .在无穷等比数列an中，lim （5+将/十己“），则ai的取值范围是（：r1T8工A.V)B.告, I) C (0,1) D. y)Ue，i）【考点】数列的极限.【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出 ai的取值范围.【解答】解：在无穷等比数列an中，15 （% +七+/）4， rr*8&. ”1可知| q| <1,则不二二方， J. J 乙切=11 - q）e （0, 2） U （5, 1） .故选：D.13 .某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少 有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A. 336 种 B. 320 种 C. 192

20、种 D. 144 种【考点】排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都 参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加,有 C21?C4【解答】解：由表可知：抛物线 C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2： y2=2px?A4（p>0）,则有二二2p （xw 0）, x据此验证四个点知（3, -2近），（4, -4）在C2上，代入求得2P=4,抛物线C2的标准方程为y2=4x.则焦点坐标为（1, 0）,准线方程为：x=- 1 ,=192种情况；若甲乙两人都参加

21、，有C222P=4,即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C1： S=1 （a>b>0）, a b把点（-2, 0）,（加，乎），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C1的左焦点到C2的准线之间的距离.?C42?A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A.14 .已知椭圆G,抛物线C2焦点均在x轴上，G的中心和C2顶点均为原点O, 从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 C1的左焦点到C2的准线之 间的距离为（ ）x3-24y0-4A.1 B 1 C, 1 D. 2【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质.【分析】由表可知：抛物线C2

22、焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2: y2=2px （p>0）,则有=2p （xw0），将（3, - 2信 ,（4, 4）在C2上，代入求得 xa2Vd 2b22j-设椭圆Cl：三耳=l(a>b>0),把点(-2,0),(而，挈)代入得,，a2 b222一. G的标准方程为 +y2=1 ；4由 c=J 丁史， 左焦点(瓜0),。的左焦点到C2的准线之间的距离加-1, 故选B.15.已知y=g (x)与y=h (x)都是定义在(-°0, 0) U (0, +oo)上的奇函数,且当x>0时，晨工)二彳X：, h (x) =kiog2x (x>0),若 y=g

23、(x)g(x 1).-h (x)恰有4个零点，则正实数k的取值范围是()A 1，二 B.- C 不】D L1 ' -1:【考点】根的存在性及根的个数判断.即g (x)和h (x)有4个交点,图象，结合图象得到关于k的不等式组，解出即可.【解答解：若y=g (x) - h (x)恰有4个零点，【分析】问题转化为g (x)和h (x)有4个交点，画出函数g (x) , h (x)的结合图象得：klcts kiog23>r解得：-k k< log32, 故选：C.三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的 规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.16.

24、已知正四棱柱 ABCA AiBiCiDi, AB=a, AA二2a, E, F 分别是棱 AD, CD 的 中点.(1)求异面直线BG与EF所成角的大小；(2)求四面体CAEF的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【分析】(1)连接AiCi,由E, F分别是棱AD, CD的中点，可得EF/ AC,进 一步得到EF/ AiG,可知/AiGB为异面直线BC与EF所成角.然后求解直角三 角形得答案；(2)直接利用等体积法把四面体 CAEF的体积转化为三棱锥 Ai-EFC的体积求 解.【解答】解：(D连接AiG,. E, F分别是棱 AD, CD的中点，. EF/ AC,则 E

25、F/ AQ,/AiCiB为异面直线BG与EF所成角.在AiCiB 中，由 AB=a, AAi=2a,得 CB =己，广小一返 . cos/ AiCiB= 2 a_Vio ,Vs a 10异面直线BG与EF所成角的大小为ar8白宕WF；(2)VcrN="尸也吉仔2说言.22i7.设双曲线C: - f 1, Fi, F2为其左右两个焦点.(D设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；(2)若动点P与双曲线C的两个焦点Fi, F2的距离之和为定值，且cos/ FiPE 的最小值为y,求动点P的轨迹方程.【考点】直线与双曲线的位置关系.【分析】（1）设M（x,y）, x&am

26、p; ,左焦点尸1（-灰，0）,通过 赢邛淖二（x, ?），6+而1 V）利用二次函数的性质求出对称轴 产一胃<的，求 出阳彳的取值范围.22（2）写出P点轨迹为椭圆 三十三二1,利用 恒1/2七2的，|PF1|+| PE|=2a,结 a2 所求动点P的轨迹方程为=-+十二1则亚(30e-IQt) -，( - 2iO&+CK/t) - 0 M(60+10t), 300t2 - 10800t+86400W 0,即 t2 - 36t+288< 0,解得 12<t<24-该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.19.设集合Ma=f (x) |存在正实数a,使得定义域内任

27、意x都有f (x+a) >f (x). (1)若f (x) =2x x2,试判断f (x)是否为Mi中的元素，并说明理由； b2合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可.【解答】解：（1）设M （x, v） , xA/L左焦点Fj一在，。）， _ 2 而,不二刖yAa+遥，W= J+我什/=/+近父备 得一+而L S （ X加） U对称轴三- ”<表，豳不E 2+V10. +00）22（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆号+/二1 , |FtF2k2Vb ,| PF|+| PE| =2a|PFt |2+ |PF2 I2 - 20 4”-2|PF1 | |PF- 20_cosZ 卜

28、1 PF 2二2|PF1|PFzl=2怛|忸匕1=4a2-20.ii; 1 2|PFi|PF?|由基本不等式得2a 二|PF1|+|PF2|>R|PF|P可|,当 且 仅 当|PF|二|PE|时 等 号 成 立2|P%|* IPF? |<a2=cosZ- 1 = - -=2=l2 = <=, b2=42a918.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 A (看做 一点)的东偏南8角方向(85日书),300km的海面P处，并以20km/h的速 度向西偏北45。方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并 以10km/h的速度不断增大.(1)问

29、10小时后，该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由；(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？【考点】圆方程的综合应用.【分析】(1)建立直角坐标系，则城市 A (0, 0),当前台风中心P(30加，- 210正)，设t小时后台风中心P的坐标为(x, y),由题意建立方 程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A.(2) t小时后台风侵袭的范围可视为以P(3O&41W，-210«+1限历1)为 圆心，60+10t为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果.【解答】解：(1)如图建立直角坐标系，则城市A (0, 0),当前台风中心P(30&，-210&)

30、,设t小时后台风中心P的坐标为(x, y),fx=30V2 - 1崎七,一,则 :：L L，此时台风的半径为60+10t, ly=-210V2+10V2t10小时后，|PA=184.4km,台风的半径为r=160km, vr<| PA| ,10小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A.(2 )由(1 )知t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30& - 210的+1啦。为圆心，60+10t为半径的圆，若城市A受到台风侵袭，(2)若晨由:工3 $+3,且g (x) e Ma,求a的取值范围；(3)若 h6)= 1口h收在)，k£1, +8)(kCR),且 h (x) CM2,求

31、 h (x)的最小值.【考点】函数与方程的综合运用.【分析】 利用f (1) =f (0) =1,判断f (x) ?M1.(2) f (x+a) - f (x) >0,化简，通过判别式小于 0,求出a的范围即可.(3 ) 由 f ( x+a ) f ( x )> 0 , 推出h&+2)- h&)=1 /g2)4y - 1目式衅)X,得到歼2+占>什区>。对任意xC 1, +8)都成立，然后分离变量，通过当-1<k00时，当0<k<1时，分别求解最小值即可.【解答】解：(1) vf (1) =f (0) =1, /. f (x) ?M1.(2)由 gG+o) - g (x)= (x+a) 3 - x 3 (x+ a) +rx-3ak + 3 ” x+a一点a>C=9a4 - 12式 ” -%)<0,故a>1.(3)由人(叶2)-卜&)=1%("2)壶-1吟(")“即：一 , , -.J x+2 J x.,+2+占>"上>。对任意x 1 , +oo)都成立 x+Z zfk<x(x+2) fk<3 一 . X 9 qKk<j-，当-1<kw 0 时，h (x) min=h (1) =log3 (1+k)；当 0<