2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试1月试卷理

1、2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理本试卷共150分，考试时间120分钟。、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合 A= x| 1<x<2, B= 2, 0, 1, 2,则 AAB=A.B.0,1 C.0, 1, 2D.-2, 0,1, 22.若(2 + i)z=5,的虚部为A. - 1B.1C.i D.ij , ,x23.已知双曲线22 y_ b21（b 0）的两条渐近线互相垂直，则b =A.1 B. 2C.3D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为皿

2、现国A. B.5.函数f(x)C. 兀 D.2 兀 26.已知关于x的不等式= (x22x)ex的图象可能是ax22x+3a<0在（0 , 2上有解，则实数 a的取值范围是A.4 C.-3D.7.已知a, b为实数，则0<b<a<1 是 log ab>log ba 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量E , Y的分布列如下表所示。则123PJ.32_67123P2 23A. E E ,DD B. E,D DC. E E ,DD D. E,D D9.在 ABC中，若A.1 B.2210.在矩形ABC邛,已知AB=

3、 3, AA 4, E是边BC上的点，EC= 1, EFCD,将平面 EFDCg EF旋转90°后记为平面“，直线AB绕AE旋转一周,则旋转过程中直线 AB与平面a相交形成的点的轨迹是A.圆 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 抛物线11.已知函数 f(x) = (lnx 1)(x 2) i m(i = 1,2) , e是自然对数的底数，存在mC RA.当i =1时，f(x)零点个数可能有 3个 B.当i =1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i=2时，f(x)零点个数可能有 3个 D.当i = 2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an(2Sn-a

4、n) = 1,则下列结论中数列Sn2是等差数列; anan+ 1<1A.仅有正确 B.仅有正确C.仅有正确D.均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.1742 年 6 月 7 日,哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“ 1 + 1”。1966年，我国数学家陈景润证明了“1 + 2”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数,则两数之和不超过 30的概率是sinA14.已知 ABC的面积等于 1 ,若BC= 1 ,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,22

5、x y15 .已知F是椭圆C:工 -y_ i(a b 0)的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C a b的焦半径。设 C的左顶点与上顶点分别为 A、B,若存在以A为圆心，|FP|为半径长的圆经过点 B, 则椭圆C的离心率的最小值为。16 .设函数f(x) = |x 3 6x2+ ax+ b| ,若对任意的实数 a和b,总存在xo 0 , 3,使得f(x o) > m, 则实数m的最大值为 。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17 .(1

6、2分)已知角”的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1, J3)。求cos()的值； 2(2)求函数f(x) = sin 2(x + a ) - cos2(x - a )(x C R)的最小正周期与单调递增区间。18 .(12分)如图，多面体ABCDE冲，四边形ABE林口四边形 CDF比两个全等的菱形， AB= 2, / BAF=/ ECD= 60°。(1)求证：BD± DC(2)如果二面角B-EF- D的平面角为60° ,求直线BD与平面BCE/f成角的正弦值。19 .(12分)已知等比数列an的公比q>1,且& + a3+a

7、5 = 42, a3+9是a1, a5的等差中项。数列bn上一2n*的通项公式bn/,n N。a 1 0 1 1(1)求数列an的通项公式；(2)证明：b b2bn J2n 1 1,n N*。20 .(12分)已知抛物线C: x2=2py(p>0),焦点为F,准线与y轴交于点E。若点P在C上，横坐标为2,且满足:PE物 PF|。E/(1)求抛物线C的方程;M, N(其中，点M在第一象(2)若直线PE交x轴于点Q过点Q做直线l ,与抛物线C有两个交点限)。若qM mN ,当入e (1, 2)时，求SOMP的取值范围。S ONP21.(12 分)已知函数 f(x) =(x + 1)(e x1

8、)。(1)求f(x)在点(一1, f( 1)处的切线方程;(2)若方程f(x) = b有两个实数根 xi , x2,且xi<X2,证明:x1x2 1b e 1 ebo3e 1 e 1(二)选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。22.选彳4 4:极坐标与参数方程(10分)(1)以极坐标系Ox的极点。为原点，极轴x为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程sin0 + p 2cos 0 = 2化成直角坐标方程。(2)在直角坐标系XxOy中，直线l :数),其中a>0。23.选

9、修45:已知正数x, y,(1)求证:若曲线C上所有点均在直线不等式选讲(10分)z 满足 x + y + z = 1。2y2y 3z 2z 3x 2x 3y13t cos4 (t为参数)，曲线C:+ . 3t sin 一4l的右上方，求a的取值范围。2cos 、，公(0为参sin12一；(2)求16x 16y 16z的最小值。5中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试1234567gg101112BABCBAACcDcD理科数学（一卷）答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，

10、共20分.16. 2每个试题考生都必须作答.第22. 23题为选考题.(1)必考超：60分.17.解：(1)由题急得。尸=2,则cosa = 一,， 2z 7T.V3cos(a+) = -sin a =.“ J i v? Y i(2)y Jx) = Slnxcosx cosx +I 22)1mt 2i故 T = = 7T 2一由2上万-万4 2%M 22万.知单调递增区间为kr-考生根据要求作答.sina = ,2 分25分V3.Y1?_sin x cos 2x 8 分2)210分- - .krr (/r e Z) .12 分三解答JH：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骡.第17

11、21题为必考题,D（第18题图）F （第i$题图）18. t?： （1）如图，取EF的中点G,连接方G、DG 在菱形ABEF中, , "NF = 60 , ASEF是正三角形， EF1BG,I分同理，在菱形CD庄中，可证EF1Z>G,vDGBGG,2 分且DGf 6G均在面BDG内；.E尸_L平面BDG ,BD u 画BDG/. EF1 BD4 分又 CDh EF.:.CD1BD.5 分（2）由（1）知，/BGD就是二面角B-EF-D的平面角.即 ZBGD = 60，又 BG = GD = 6所以ABDG是正三角形，故有即如图，取DG的中点0,连接8。，则夕0J,DG, 又由（

12、D得EFLBO.又因为DGCEF ,G.DGu平面CDE尸" u平面CDE尸3所以.301平面CDEE.且30 =一 . 2又 8D1CD.在直角ARM中.BCJ .所以 5皿=；"J，9分设。到¥面BCE的距离为人，则Vs 皿=-B0 S6DC =-x -x x4 = Ud-bb = hs皿E=gxhx = R 所以）="工 JJT /故直线B。与平面ECE所成角正弦值为七=#.12分(建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分)19 .解：(1)由%+9是q, 4的等差中项得4+% =2%+18，I分所以q+%+氏=泡+18 = 42, 矫得力=8。3分

13、由4+4=34,得 4+8 = 34,解得相=4或/=L q-4达为0>1,所以g = 2.5分所以图二2'.6分(2)法 1：由(1)可得"=I ' / , nwN .2n224-1-，27-1)b = "j1 1= ,/ K V2H-1+。2川 一 1 (V2W-1 + 42川 1 Xv2w-1-42 向一 1)=?(甲一:= ,环严工)=6口一行工 .9分2" 1 2 +12”. 4 十为+4 = (22-1 -) + (723-1 -722-1)+ 72"*1-1 - V2"-l=-T-l-lvT-l.12 分法2

14、：由(1)可得 b =、/ i . nwN "三十在y我们用数学归纳法证明.(1)当”=1时，4=r一厂=Q-1小,不等式成立； 7分(2)假设，=A (左wV)时不等式成立，即斗他+瓦<代，.那么，当 = A + 1时，4 + b?十十4 + bk4 < ,2t _ +:7r甲tJT亭匚TSJ）即当 = + 1时不等式也成立.11分根据(1)和(2),不等式a+也+ 4 ，2”】一1,对任苣蔺成立.12分20 .解：由己知可得尸|0用，E 0,-" P 2,-v|PZ?| = V2|PF|,00,.,夕二2，.,.抛物线C的方程为Y = 4y.4分(2)由(1

15、)得。(2.1), £(0,-1),易求得0(1,0).5 分由题意得，直线/的斜率存在且不为0.可设直线/的方程为x = /«y + 1 , fx = my + 1x2 = 4y整理得 m1y2 + （2w 4）y + l = 0, A = 1646w >0 w < 1.设点（天.弘）,"（2.力），联立方程组4 ,=口，+_1 = 4-2叫 1 % %必=4(乃一为)，匕=” 4+1之三（1.2）,二江=为z + 1|(4-2根从-2| |(4-2历)-2|设AOMP在OP边上的高为h“，XONP在OP边上的高为八邸,Sromp .芸 °

16、斗垢 _%-2对 _|5 2)升+1|_|(2加一4)乂十2Sgp 1. OP h. h 卜2%| |(m-2)y2+l| |(2w-4)y2+2设宜 x) = *(x + l) e1一21 A、，、1构 造 F(x) = f(x)(x + l) = (x+l) ex 9 F/(x) = (x + 2)ex一一，e e)eFr(x) = (x + 3)ex. 所以产'(x)在(yo,-3)上单调递诚，在(-3,-)上单调递增. 5分又尸(_3)= _；,V0, UmF'(x) = 一L 产(-1) = 0,所以尸(x)在(-8,-1)上单调1 e递减，任(-1.XO)上单调递增

17、.所以尸(x)之尸(T) = 0=/(x)NS(x)=(x + 1).当 e且仅当4 - 一1时取“二”.方程匕£(' + 1)=6的根土'=卢-1.又3 = sJ = /(西)2(再)，由5(上)在火上单调递减,所以x：4%.7分另一方面，/在点(L2e-2)处的切线方程为y = (3e-l)x-c-l.S /(x) = (3e-V)x-e-构造 G(x) = f(x) = (x + l)t” -l)-(3e-l)x + 0+l=(x +1 )。"-3幺 + 0.G'(x) = (x+ 2)/ -3e . G"(t) = (x + 3)/

18、 .所以G'(x)在在(y,-3)上单调递减，在(-3,十8)上单调递轨9分又G(-3)= -J-3e<0,嗯G'(x) = -3e, G (1) = 0.所以G(x)在(f.1)上单调递成，在(1.)上单调递增. 所以G(x)NG=0=>/(引2”兀)=(3-1)工一e-l ，当且仅当x = -l时取“=”10分v 方程，(#=(3。-1).50-1=6的根x；二二又b=八月)=与)2£(巧)，由在R上单调递增，所以超工石,所以/ _玉-X =1 +Z> + <? + l3e-lcbde-1证.12分(-)选考题：共10分.请考生在第22,

19、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.作答时请写清题号.22 .【选修4-4：坐标系与参数方程】(10分)解：(1)当。工0时，极坐标方程两边同乘以夕得sine+/cose=2"在直角坐标系下，x = pcos6.y = psin= x2 +y2.故化成直角坐标系方程y十+y2) = 2jM+y2 ,不包括点(0,0)3分当/产0时，(0,0)满足原极坐标方程，4分综上，所求的直角坐标方程为+ x (1 +y2)=2j+ J3 5分(2)由题意得，直线/的普通方程为x + y+3 = 0.设曲线C上的动点(2cos8。sin8)(8wR),因为曲线。上所有点均在直线/的右上方，所以对ewR恒有2cos8 + asin8 + 3>0，7 分即 7oZsin( 6+0)>-3,其中 1m。=二,。>0.所以1d +4 <3, 9 分