2020届高考模拟试题(数学理科)四川卷(word版,(有答案))(已审阅)

1、/普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1 .【题设】设集合 A x| 2 x 2 , Z为整数集,则 AI Z中元素的个数是(A) 3(B) 4(C) 5 (D) 6【答案】C【解析】试题分析：由题意，AI Z 2, 1,0,1,2,故其中的元素个数为 5,选C.考点：集合中交集的运算.2 .【题设】设i为虚数单位，则(x i)6的展开式中含x4的项为(A) 15x4(B) 15x4(C) 20i x4(D) 20i x4【答案】A【解析】试题分析二二1页式a+i产展开的通

2、项工.广十="则茸展开式中含/是当6r =4,即则屣开式中含X4的项为Cyp = -1短，胡选M考点：二项展开式，复数的运算 .一 ._ 冗._3 .【题设】为了得到函数 y sin(2x )的图象，只需把函数 y sin 2x的图象上所有的点3(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动 个单位长度. .冗 它(C)向左平行移动三个单位长度(D)向右平行移动 三个单位长度66【答案】D【解析】 试题分析：由题意，为得到函数 y sin(2x ) sin2( x ),只需把函数y sin 2x的图像36上所有点向右移 一个单位，故选 D. 6考点：三角函数图像的平移 .4 .【题设

3、】用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A) 24(B) 48 (C) 60(D) 72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复白五位奇数，则个位数应该为1、3、5,其他位置共有 A4 ,所以其中奇数的个数为 3A472 ,故选D.考点：排列、组合5 .【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12 = 0.05, lg 1.3 = 0.11, lg2 = 0.30）（

4、A） 2018 年 （B） 2019 年 （C） 2020 年 （D） 2021 年【答案】B【解析】试题分析:设第库年的研发投资资金为，勺=130则%由题意，需-130x1.12200,解得色5,故从如打年该公司全年的投入的研发资金超过工其万.选民考点：等比数列的应用.6 .【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n, x的值分别为3, 2,则输出v的值为(A) 9(B) 18(C) 20(D) 35【答案】Bt解析】试题分析：

5、程序运行如下7=Zx = 2Tv = lj=2A0Tv = lx2+2 = 4，=lA0->v = 4x2+l=9,1=00v = 9x2 + 0 = 18 j = -L<0=结束循环，输出v = 18,故选H.考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.7.【题设】设p：实数x, y满足(x-1)2-(y-1)%2, q：实数x,y满足x 1,1 x,则p是q的1,(A)必要不充分条件【答案】A(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件/【解析】(如图所示)，可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC在命题p中不试题分析：画出可行域8.【题设】设O为

6、坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y22 Pxe0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM =2 MF，则直线OM的斜率的最大值为(A)(D) 1【解析】试题分析：设2pt2,2pt , Mx , y (不妨设t0),则uuuFP2pt2p,2Pt.QuuuuFM1 uuu3fp，P22M32P 2t32pt3 ,koM2t2t2 112t11k _1k0M max 2/-/,故选C.考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算.9.【题设】设直线11, 12分别是函数f(x)=直相交于点P,且 12分别与y轴相交于点(A) (0,1)(B) (0,2)(C) (0,+ 8)【答案

7、】AIn x,0 x 1ga r -图象上点P1, P2处的切线，l1与l2垂 lnx,x 1,A, B,则 PAB的面积的取值范围是(D) (1,+ 8)【解析】试题分析：设4(巧1百)，与(叱L叱)(不妨设个丐Ml),则由导数的几何意义易得切线匕J2的斜率分别为kl = = k2=-.由已知得桃工=-1 = .项巧=9二二切线匕的方程分别为v-lna3 = (x-xj ,切线右的方程为¥ +山三二一,乂一”?)，即一不力=0得留01+】口西)*(0+ 111也).又A与。的交点为Li身*，* / > 1 0 -_ 3 1Xi! . I 一 I =卜 <,分别令l =&

8、lt;1,片女选 A。考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围10.【题设】在平面内，定点uur- DA =-2 ,动点 P,M满足A,uuuAPuuuB, C, D 满足 DA =uuuu uuuu=1, PM = MC ,则uuuruuir uuinuuur uuiruur uurDB = DC , DA . DB = DB . DC = DC uuuuurBM2的最大值是(A)竺4【答案】B(B)4937 6、337 2 33(D)/【解析】试题分析：由已知易得ADCADBBDC 120 ,uuuDAuuinDBuuuDC2 .以D为原点,

9、直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则2,0 ,B 1,C1, 33 .设 P x, y ,由已知uuuAPy2 1 ，uumPMumr MC ,uuur BM1 y 33/uuuu2 x 1 2 y 3 3BM y2 1上点x.y与点 1,3/3距离uuuri2 BMmaxDB竺，故选Bo41平方的4考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角;3.解析几何中与圆有关的最值问题二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分,共25分。 冗 冗11 .【题设】cos2 - -sin2 =试题分析.由三角图数半角公式鬲3段一口吃=一T笈 T霭1 + cow- 1cos71应 =cos =42考点：三角函数

10、半角公式12 .【题设】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功, 则在2次试验中成功次数 X的均值是,（正反），（反正），（反反），所试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正）111以在1次试验中成功次数的取值为 0,1,2 ,其中 P( 0) ,P(1) ,P(2)-,424在1次试验中成功的概率为P( 1)所以在2次试验中成功次数X的概率为P（X1)c；34EX816考点：离散型随机变量的均值13 .【题设】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是【答案】_!3【解析】试题分析:由三棱锥的正视

11、图知，三楼锥的高为，底面边长为2道，42 -所以,三棱锥的体积为11 君百F X xix 2x x 1 13 223考点：三视图，几何体的体积 .14.【题设】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vxv 1时，f (x)=4x,则f () + f (1) =。【答案】-2【解析】试题分析：因为函数 f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f( 1)f(1),f( 1) f( 1 2)f(1),所以 f(1) f(1),即 f(1) 0,15111；5f( -)f( -2) f( -) f(-)422,所以 f( 5)f(1)2.22222考点：函数的奇偶性和周期性. yx15

12、 .【题设】在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P( 22一2)；x y x y . . . . . . . I当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C 定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点 A单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线" C'关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 (写出所有真命题的序列).【答案】1解析】试题分析；对于,若令网），则其伴随点为？（一 J，而弓一 J

13、的伴随点为（-L-D ,而不是P, 曲错误；对于，谩曲线（三必二。关于H报寸称，则/（兀-1）二0对曲线/（X二。表示同一曲纥 其 伴随曲线分别为=。与./（-二r ： -） = 0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线M 4 ¥ JT + VM + V JT + V*farrar分别为不/=。与？y = FG=O的图象关于了轴对称用所以正确J 0今单位圆上点的坐稳为Pcos工Inx）其伴随点为尸,回口工一85JC）仍在单位图上,故正前 对于，直线p = Ax+b上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆.，故卒制吴.所以正确的为序号为.士十f +尸考点：对新定义的理解、函数的对称性.三、解答题：本

14、大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 .【题设】（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准X （吨）、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5）, 0.5,1）,，4,4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III ）若

15、该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准X （吨），估计X的值，并说明理由【答案】（I） a 0.30； （n） 36000； （m） 2.9.【解析】试题分析！本题主要考查频率分布直方图.频率、埴数的计算公式等基础知识？考查学生的分析问题解决 问题的能力第一周 由高X组距却率J计算每组中的频率J因为所有频率之不叱I b计算出口的值j第 二问，利用高乂组距=频率先计算出每人月均用水蚩不低于3吨的频率，再利用频率然样本总数掰数1 计算所求人刿；第三问，将前皆组的频率之和与前5组的频率之和迸行比较，得出2.5金<3,再进行计算.试题蟀析Y I)由频率分布直万图知,月均用水量在。5)

16、中的骑率为。现同理，在。53, 1,5,2), 2,25), 33文趋4)"440中储率分别为。0.20,。.私OM, 0.叫0.02.由0.04位战M.加歼0.20).26位泰什0.婚位04-02=1,解得加。3。.(II)由(I 3 1的位居民每人月士丽水量不低于3吨频率为励6M04林02H工,由认上样本的频率分布j可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0MM.1F36 000.<111)因为前 6 里的频率之和为 0.04-fl.OSH),15-0.20-0.2d+0.15=O.SS>0.8?而前5组的频率之和为0一电4团。80.1，0为华&q

17、uot;-0：3H万，日似2 w由 0.3x(r-2.5)=C.35-0 75,解得后2.9.所以,怙计月用水量标准为29吨时n $5%的居民招月的用水量不超过标准.考点：频率分布直方图.17 .【题设】(本小题满分12分)在4ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosA cosB sinC .a b c(I)证明：sinAsinB sinC ;2226(II)右 b c a -bc,求 tan B.5【答案】(1)证明详见解析；(2) 4.【解析】试题分析:本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基受皓眼，考查学生的分析问题的能力和计算育幼, 第一问利用正弦定理;将边角进行转化j

18、结合诱导公式进彳而明J第二问，利用余弦定理解出ms且=|, 再根据平方关系解出血，%代入已知中解出血国的信.试题解析:（I）根据正弦定理，可设二一=3"三小匕。.sm ji sin 方 sin C贝!>=AsjhB, c=£sin C.代人中，83 Asin C+-上如 X kLnB 左 sinC；交能可得sin J sin B=sin J cce htcs 工 sin B=sio（/一芭）.在AffC中,由d+君十5% 有近1（胃-3>站口（1（7>虹口 C所以 sia Jsia S=sin C.3I,由已知，岁也。=儿.，根据相玄定理,有Ibc所以 3

19、口 A= VI - cos2 A由（1 ）? sin Jsin B=sin J cos-4siu 5 7、443所CA sin 5= c<ts 5- - sin 3 ；. sin 3故 un B-=4 .cos考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系 18 .【题设】（本小题满分12分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD / BC, ADC= PAB=90 ° , BC=CD= - AD.E 为边 AD 2的中点，异面直线 PA与CD所成的角为90° .（I）在平面PAB内找一点M,使得直线 CM/平面PBE,并说明理由；（II）若二面角P-CD-A的大小为4

20、5° ,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值./1【答案】（I）详见解析；（n）-.3【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识F考查空间想象能力、分析问题的能力、计 算能力,第一问，利用线面平行的定理.先证明线线平行，再证明线面平行!第二问，可以先找到线面角， 再在三角形中解出正弦值J还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（I ）在梯形.出力中，且3与a不平行一延长w% 0cs相交于点平面却点取即为所求的一个点.理由如下：由已知,且五D.所以四边形58耳是平行四边形.从而CU/W&又无E仁平面CAAT平面声曲,所以CU#平面PBE.（说明士延

21、长AP至点N,使得£P=P%n则所找的点可以是直线MV上任意一点）（n）方法一：由已知，CDXPA, CDXAD , PA AD=A ,所以CD,平面PAD.从而CDXPD.所以 PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以 PDA=45 ° .设 BC=1 ,贝U在 RtAPAD 中，PA=AD=2.过点A作AH，CE,交CE的延长线于点 H,连接PH.易知PAL平面 ABCD ,从而PAXCE.于是CEL平面PAH.所以平面PCEL平面PAH.过A作AQ，PH于Q,则AQ，平面PCE.所以 APH是PA与平面PCE所成的角.在 RtAAEH 中， AEH=45 °

22、 , AE=1 ,所以AH=在 RtPAH 中，PH= VPA2_AH 2 =32 , 2-AH 1所以 sin APH=PH 3方法二:由已知/ cd_Lpa, cd_Lad, PACAD=Aj所以CELL平面PAD，于是CD1PD.从而Z pda是二面角P-CD-A的平面角，所以/PDA-45 L由PA_LaB2可得R_L平面ABCI>设 BC=1,则在跳APAD 中，PA=AI>2.作AyADj以A为原点,以而.善的方向分身供J X轴，工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系上对耳则 A(QO；O)f P (C.0,2), Q2qlj0>, E(1 见外uuuuuuu

23、uur所以 PE= (1,0,-2), EC= (1,1,0), AP= (0,0,2)设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),UUUUUULU,n PE 0,x由 uur 得n EC 0,x2z 0,设 x=2,解得 n=(2,-2,1). y o,uuuu设直线PA与平面PCE所成角为a,则 sin a = 1n ALL =L一， 一一 ，、，1所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 一3|n| |AP| 2 ,22 ( 2)2 12考点：线线平行、线面平行、向量法 .19 .【题设】(本小题满分12分)已知数列an 的首项为1, Sn为数列an 的前n项和，Sn1 q0 1 ,其中q

24、>0, n N(I)若2a2，a3，a2 2成等差数列，求an的通项公式；5 2 y2L 5 、r4n 3n(ii)设双曲线x 1的离心率为en ,且色一，证明：e %en -an33n 1.【答案】(I ) an=qn-1 ; (n)详见解析.【解析】试题分析：本题考查数列的通项公式、双曲骗的离心瘁、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析日领解诟可题的能力十算能力.黄一可 利用g=5工陀式相朴得出鼬列力对用列，利用等比数列的通项公式得到内仅第二问，先利用双婵黄的离心率得到”的表达式，再解出q的直最后利用等比数列的求和公式计算证明.试题解析：(I)由已知，Sn+1 = qSn+1,

25、Sn+2= qSn+1+ 1,两式相减得到 an+2 = qan+1，n? 1 .又由S2 = qSi + 1得到a2 = qa1,故a»1 = qan对所有n 3 1都成立.所以，数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而 an=qn-1.由 2a2, a3 a2+2 成等比数歹U,可得 2a3=3a2+ 2,即 2q2=3q+ 2,贝U (2q+ 1)(q- 2) = 0 ,由已知，q > 0 ,故q=2 .所以 an= 2n- 1(n? N*).(n)由(I )可知，an = qn-1所以双曲线x22-yr= 1 的离心率 e = Ji + an2 = Ji + q2(

26、" 1) an由 q = Jl+ q2 = 5解得 q = 4. 33因为 1+q2(k-1)>q2(k-1),所以 J1;q> qk- 1(k?N*).是 ei + e2 + 舒 & > 1+q + 鬃_ nn-1 q - 1=,q- i/n nw一43故 & +% +鬃e3 > 一nz-v3考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式20 .【题设】（有小题满分13分）已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线|：y=-X+3与椭圆E有且只有一个公共点 T.（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；（II）设O是

27、坐标原点，直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点 A、B,且与直线l交于点P.证明：存在常数入，使得I PT I 2=入1 PA 1 1 PB 1 ,并求入的值.x2 y2.4【答案】（D 1 ,点T坐标为（2,1） ； （n）.6351解析】试题分析：本题考查椭图的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数结合的思 想第一问，利用直线木球圆只有一个公共点，联立方程,方程有两个相等实根，解出b的值，从而得到椭 图的标准方程i第二问，利用椭圆的几何性质，教形结合,利用根与系数关系）进行求解.试题解析：（0由已知，也,则椭圆百的方程为2X有方程组272by2 1,得 3X2 12

28、x (18 2b2) 0 .y x 3,方程的判别式为二24（b2 3）,由=0 ,得b2=3 ,此方程的解为x=2,22所以椭圆E的方程为 '匕1.63点T坐标为（2,1）/-/(id由已知可设直线r的方程为y二：工十档推二，有方程蛆1v = x+ m,2y =-j+3i可得、2m x=2 ：3.2mv = H.血尸点坐标为<2-芋+半)卡心的设点上的坐标分别为/(& K), 85 = %).6 3可得 37 + 4的+(4 加-12)=。,¥ x4 mr方程的判别式为d=16192)，由,解得一乎 < 超vq由得Xi. 24m4m 12X2= , X1X233所以PA(22m 2 2m 25k)(1%)3322m2X13同理PB,522m3所以PB4(24(210 2一m .9PB2m)232m3)2故存在常数4(22m3Xi)(22m3X2)(2(22m)(Xi X2)X1X22m3)(管)4m2 1234使得5P