【北师大版】必修一数学：3.5《对数函数问题》导学案(含答案)

1、§ 3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是().A. y=log2(3x)3B. y=log 2xC. y =logi x41D- y =iogi 2 X(2)写出下列函数的反函数：G 1 X丫二 o i； y= in X.2迁移与应用1 .若对数函数f(x)的图像经过点(16, 2),那么f(x)的解析式为 .2 .若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且aw 1)的反函数，其图像经过点(，a, a),则f(x)等于().1 2A. log2xB. log1x C. 2xD. x2-：名 4©

2、 淖 «(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a的值.(2)函数y= log ax的反函数是 y= ax( a>0,且aw1)；函数y= ax的反函数是y= log ax(a >0,且 aw 1).二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)"刈=皿：夏)；(2)y =log 0.1(4 x3).迁移与应用求下列函数的定义域：1()y-皿 x+1)3(2) y = 'log 3x 1.：i名帏津«求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的

3、求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零.三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f(x) = |log 3x|的图像，并求出其值域和单调区间. 迁移与应用函数f (x) = log 41的大致图像为().x1 .作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用；2 .一般地，函数y= f (x)与y= f (x)的图像关于x轴对称，函数y = f(*)与丫= f(x) 的图像关于y轴对称，函数y= f (x)与y=f(x)的图像关于原点对称.四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：4-1610gl 与10g亍；2 527 10gl3与 10gl 3

4、； 25 10g a2 与 10g a3.(2)若10g a(1 - 2x) > 10g a(1 +2x),求实数x的取值范围.迁移与应用1 .设 a= 10g 2 兀，b= 10g 2j3, c= 10g 3-2,则().A. a>b>c B. a>c>bC. b>a>c D . b>c>a2 .若log a3< 1,求a的取值范围.1：¥名 柄0I «(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后

5、 比较；底数与真数都不同，需寻求中间值比较.分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与 1比较，分类讨论.(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性.(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件.当堂检测1.若函数f(x)= 一)的反函数是y=g(x),则g(3)=().3“1 ccA. 27 B . 27C. - 1 D .12.若log 5xv 1,则x的取值范围是（）.A.x<-B.0<x<-55C. x>7D.x>553.下列不等式成立的是（）.A. log 32

6、 V log 23 V log 25B. log 32 V log 25 V log 23C log 23 V log 32 V log 25D. log 23 V log 25 V log 324 .函数y =Jlog（1x）的定义域是 .5 .画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间:（1） y=log 3（x2）；（2）y=i logp |. 2提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。【问题导学】活动与探究1思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y=ax与对数函数y= log ax的关系直接

7、写出函数的反函数.(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数y = l0gl x是对数函数，其余选项中的函4数均不是对数函数，故选 C.(2)解：指数函数y=它的底数是1,它的反函数是对数函数y = l0glx.2 2 2对数函数y=ln x,它的底数是e,它的反函数是指数函数y = ex.迁移与应用 1.f(x)=log1x 解析：设f (x) = log ax( a>0,且aw 1),由已知得log ai64一 一， -2 ，r1 -.=-2,因此 a =16,解得 a = 4，故 f (x)=log1x.42. B解析：由题意，知f (x) =log ax.其图像过(下，a),1

8、 a= log a/a. a=2. /. f (x )= 10glx.2活动与探究2思路分析：(1) x取值需使分母不等于零且真数为正实数;(2) x取值需使被开方数为非负数且真数为正实数.4-x>0,解：(1)要使函数有意义，需有x3W0,解得x<4,且xw3,所以函数的定义域为(一8, 3) U (3,4).(2)要使函数有意义，需有4x-3>0,Ilog 0.1 (4x-3) >0,4x 3>0,3即,解得二VxW1.4x-3<1,4333 3x+1*103,得4|x>-1,所以函数的定义域为",1lg( x+1) -30,迁移与应用解

9、：(1) :由k+ 1>0,1, x>- 1,且 xw999,.函数的定义域为x|x>1,且xw999.(2)要使函数有意义,应有 log 3x-1>0,即 log 3x> 1,所以 x>3,即函数的定义域为x|x>3.活动与探究3思路分析：将函数f(x)化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出 函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间.解：f (x) = |log 3x| =log 3x, x> 1 ,log 3x, 0Vx<1,所以f(x)的图像在1 ,+8)上与y= log 3x的图像相同，在(0,1)上的图像与y= log 3x

10、的图像关于x轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f(x)的值域为0, +8),递增区间是1 , +8),递减区间是(0,1)迁移与应用 D解析：由于f (x) = log 4-= - log 4X,其图像与y=log4x的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究4思路分析：(1)中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；中 同真不同底，可结合图像判断；中底数中含有字母，需分类讨论.(2)对底数a进行讨论，结合对数函数的单调性求解.解：(1)y = log-x在(0 , +8 )上递减，2一，4 6 ,46又因为所以log 1 一>log 1 一5 725万7因为在xe（1 , +

11、8）上，y = 10glx的图像在y = l0glx图像的上方，所52log1 3V10gl 3.25当a>1时，y= log ax为增函数，所以 log a2 V log a3.当0vav1时，y= log ax为减函数，所以 log a2 > log a3.1-2x>0,（2）当a>1时，依题意有i1+ 2x>0, 11-2x>1 + 2x,1-解得2<x< o；1-2x>0,当0vav1时，依题意有，1+2x>0,解得0vxv3. 2 !j-2x<1 + 2x,因此当a>1时，x的取值范围是 : 2, 0 j,当0v

12、av1时，x的取值范围是Jo, 迁移与应用1. A 解析：,函数y = log 2x在（0 , 十°°）上是增函数，log 2 % > log 2/3,即 a> b.一 .1,八 111.又. b= 2log 23>2, c=2log32<2, . t»c.a>b>c.2.解：当a>1时，原不等式可化为log a3vlogaa, a>3.当0vav1时，原不等式可化为loga3vlogaa,a< 3.又< 0< a< 1, 1- 0< a< 1.综上知，所求a的取值范围是(0,1)

13、 U(3, +8).【当堂检测】1. C 解析：依题意 g(x)= 10glx,所以 g(3) =log13 = 1.33112. B 解析：由 10g 5x< 1 可得 10g 5x< log 冶，所以 Ovxvg.3. A 解析：. y=1og 2x在(0 , +8)上是增函数，1. log 25>log 23> log 22 = 1.又y = 1og3x在(0 ,十8)上为增函数，1. log 32 V log 33= 1.1. log 32V log 23V log 25.4 . 0,1)解析：由 10gl (1x) > 0,2得 0V 1 xW 1 ,0

14、< x< 1.5 .解：(1)函数y= log 3(x2)的图像可看作把函数y= log 3x的图像向右平移2个单位10g2x,x1,2其图像如图.其定义域为(0 ,图十 °°),值域为0, +8),在(0,1上是减少的，在(1 ,+8)上是增加的.答案：课前预习导学【预习导引】1. y = log ax 底数 10 e预习交流1提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y= log ax( a>0, aw1, x> 0)形式的函数才是对数函数.例如y=log 3x(x>0) , y = log1x(x>0)是对数函数，而 y =2210g 2x, y = log 1 x* 1 2 3 4等都不是对数函数. 22.反函数互换 y = x3. (1)描点法 先画函数x= log 2y的图像，再变换为y=log 2x的图像.(2)(1,0) y轴右边 x轴上方 x轴下方 (0, +oo)4. (0 , +&