2019-2020学年江苏省淮安市高一下期末数学试卷((有答案))

1、江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. （5 分）2sin15cos15=.2. （5分）一组数据1, 3, 2, 5, 4的方差是.3. （5分）若xC （0, 1）则x （1 - x）的最大值为.4. （5分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是.十kgbb-2/愉出,/5. （5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2m的概率是.6. （5分）已知实数x, y满足，2工力+2）0 ,则目标函数z=x-y的最小值为.1T>07. （5分）在 ABC中，/ A, /B, /C所对的边分别

2、是a, b, c,如果a： b： c=2: 3: 4,那 么 cosC=.8. （5分）若 tan a = 2, tan （ o+B） =y,则 tan B的值是.9. （5分）已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若2a7-a5-3=0,则S17的值是10. （5 分）已知 ABC中，AB=/3, BC=1, A=30°,贝U AC=.11. （5 分）在数歹U an中，a1=2, an+1=2ai, S为an的前 n 项和.若 sn=254,贝U n=12. （5分）已知an是等差数列，a1=1公差dw0, Sn为其前n项的和，若a1，a2, a5成等比 数歹!J, Sio=13

3、. （5 分）在锐角 ABC中，sinA=sinBsinC 贝U tanB+2tanC 的最小值是.14. （5分）已知 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a, b, c成等比数列，则22立七的取值范围为ab二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .15. (14分)已知sin金，Ct E (三,五).52(1)求smcg+口)的值；(2)求3s5 )的值.16. (14分)已知等差数列a中，其前n项和为Sn, 82=4, S5=30.(1)求an的首项a1和公差d的值；(2)设数列bn满足bn号，求数列bn的前项和Tn.17.

4、(14分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50名就餐的教师和学生.根据 这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据 分组为40, 50), 50, 60),，90, 100.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)从评分在40, 60)的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在40, 50)上 的概率；(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.18. (16 分)已知函数 f (x) =ax2+ (a- 2) x-

5、 2, aCR.(1)若关于x的不等式f (x) W0的解集为-1, 2,求实数a的值;(2)当a<0时，解关于x的不等式f (x) <0.19. (16分)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH上的一点B的正北 方向的A处建设一仓库，设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF (其中EF在GH上)，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路 AB, AC,已知AB=AG1,且/ABC=60.(1)求y关于x的函数解析式，并求出定义域；(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问：x取何值时, 该公司建设

6、中转站围墙和两条道路总造价 M最低.公蹈 一一. C.J 、.20. (16分)已知数列an的前n项和为 氢 且满足S=n2-4n,数列bn中，对任意 正整数n>2, b.i十b/仔)(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数 内使得数列3n?bn+ 4是等比数列？若存在，请求出实数N及公比q的值, 若不存在，请说明理由；(3)求证:b十b之+江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. (5 分)2sin15cos15=. 一一【解答】解：原式二sin30=,故答案为： 22. (5分)一组数据1, 3, 2, 5,

7、 4的方差是 2 .【解答】 解：G= (1+2+3+4+5) +5=3,S2=| (1 -3) 2+ (2-3) 2+ (3-3) 2+ (4-3) 2+ (5-3) 2 =2.故答案为：2.3. (5分)若xC (0, 1)则x (1 - x)的最大值为【解答】解：=x (1-x) S)=，xC (0, 1).二当x时，x (1-x)的最大值为二 24故答案为：定4. (5分)如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是 9 .【解答】解：当a=1, b=9时，不满足a>b,故a=5, b=7, 当 a=5, b=7 时，不满足 a> b,故 a=9, b=5当a=9, b=5时

8、，满足a>b,故输出的a值为9,故答案为：95. （5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2m的概率是3【解答】解：设事件A=灯与两端距离都大于2m根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长度为2米的部分2m 2m 2m*因此，事件A发生的概率为P （A） =1=i-故答案为：一%+y - 54Q6. （5分）已知实数x, y满足，2mr+2）0,则目标函数z=x- y的最小俏为 -3 . L V>0【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由2=乂-y,得y=x- z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线，平移直线y=x

9、- z,当直线经过点A时，此时直线y=x- z截距最大，z最小.由，得 ，2x-y+2= 0ly=4止匕时 Zmin = 1 4= 3.故答案为：-3.7. （5分）在 ABC中，/ A, /B, /C所对的边分别是a, b, c,如果a： b: c=2: 3: 4,那么 cosC=一”：I 12k2=得【解答】解：因为a： b: c=2： 3: 4,所以设a=2k, b=3k, c=4k,2 l 22则根据余弦定理得：cosC= +， 2ab故答案为：左8. (5分)若 tan a = 2, tan ( o+B) ,则 tan 0的值是 7【解答】解：由tan击2, tan ( o+B),3

10、得tan B =tan (吩l+gn(Q + P ) tan口9 "2) -1-7故答案为：7.9. （5分）已知an是等差数列，S是其前n项和，若2a7-a5-3=0,则97的俏是 51 .【解答】解：设等差数列an的公差为d, V2a7-a5- 3=0,. 2 （a+6d） - （ a1+4d） -3=0, 化为：a1+8d=3,即 a9=3.则 Si7=_=17a9=17X 3=51.2故答案为：51 .10. (5 分)已知 ABC中，AB=/3, BC=1, A=30°,则 AC= 1 或 2【解答】解：AB=c=小，BC=a=1 cosA=Jl, 2由余弦定理得

11、：a2=b2+c2 2bccosA,即 1=b2+3 3b,解得：b=1或2,WJ AC=M 2.故答案为：1或211. (5 分)在数列an中，ai=2, an+i=2&, S为an的前 n 项和.若 sn=254,贝U n= 7 . 【解答】解：由数列an中，a1=2, an+1=2an,可知：此数列为等比数列，首项为 2,公比为2.又 sn=254,.254=I), 2-1化为 2n=128,解得n=7.故答案为：7.12. (5分)已知an是等差数列，a1=1公差dw0, Sn为其前n项的和，若a1，a2, a5成等比 数列，Sio= 100 .【解答】解：若a1，a，, a5

12、成等比数列，则 a1a5= (a2) 2,即 a1 (a1+4d) = (aI+d) 2,则 1+4d= (1+d) 2,即 2d=d2,解得d=2或d=0 (舍去)，贝(J Sio=. - :. =10+90=100,故答案为：100.13. (5 分)在锐角 ABC中，sinA=sinBsinC 贝U tanB+2tanC 的最/I、俏是 3+硬 .【解答】 解：锐角 ABC中，sinA=sinBsinCsin (B+C) =sinBsinC即 sinBcosC+cosBsinC=sinBsinCcosBsinC=sinB(sinC cosQ , sinCfi过(sinC- cosC ,

13、casB两边都除以 cosC 彳ta tanC=tanB (tanC- 1),tanB= twC ；tanC-1又 tanB>0,tanC 1>0,tanB+2tanC= +2tanCtanC-1= - -1 -+2tanCtanC-1=1tk+2(tanC-1)+2>3+2O=3+2/i>当且仅当=2 (tanC- 1),即 tanC=1+时取“=tanC-12；tanB+2tanC的最小值是3+2也.故答案为：3+2 ®14. （5分）已知 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a, b, c成等比数列，则22日的取值范围为2,赤）.a

14、t>一【解答】解：a, b, c成等比数歹I,设卜哼=q, q>0, a bb=aq, c=aq2,q+a q2 a+aq2 >qq?-qT<U q2+q-l>0, J-q44>0由 f (q) +q 在(q巫12,1）递减，在（1,）递增,可得f （1）取得最小值2,由f （返工）=f （返工）=石, 22即有f （q） 2,后.故答案为：2,右）.、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程«).15. (14 分)已知 sin 混，a E (5（1）求 Min （?+cQ 的值;(2)求ZB）的值【解答】解：（

15、1） ;长（n),sin渡,I I =sin-工 兀cos o+cossin3510-1 5 J(2)cos2=c0w sin* 2 aJT3S8e2 a +sirn-sin2 口.八八.四. sin2 a =2sin a cos,25雪x工当2251 25 A 50 ,16. （14分）已知等差数列a中，其前n项和为Sn, 82=4, S5=30.（1）求an的首项a1和公差d的值;（2）设数列bn满足,求数列bn的前项和Tn.【解答】解：（1）因为an是等差数列,a2=4, S5=30,所以 解得 a1=2, d=2（2）由（1）知n(nT)-2-X22sn = n +口所以bn=-%11

16、 L产+广门 口+1于是数列bn的前 n 项和 Tn=bl+b2+b3+- +bn= ( 1 - ) + ( ) + (-L)22 3n n+1=1 一n+1 n+117. （14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50名就餐的教师和学生.根据 这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据 分组为40, 50), 50, 60),，90, 100.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在40, 60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在40, 50）上数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部

17、整顿.解得a=0.006.(4分)义 10=1,的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75分，否则将进行内部整顿，试用组中（2）设被抽取的2人中恰好有一人评分在40, 50）上为事件A.（5分）因为样本中评分在40, 50）的师生人数为：m1=0.004X 10X50=2,记为1, 2号样本中评分在50, 60）的师生人数为：m2=0.006X 10X50=3,记为3, 4, 5号（7分）所以从5人中任意取2人共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2, 3), (2, 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 种等可能情况，2人中恰有

18、1人评分在40, 50)上有：(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)共 6种等可能情况.2人中恰好有1人评分在40, 50)上的概率为P (A) W.。分)10 5(3)服务质量评分的平均分为：=45 X 0.004X 10+55X 0.006X 10+65X 0.022X 10+75X 0.028X 10+85X 0.022X 10+95X 0.018X10=762 (13 分)76.2>75, 食堂不需要内部整顿.(仰分)18. (16 分)已知函数 f (x) =ax2+ (a- 2) x- 2, aCR.(1)若关于x的不等式

19、f (x) W0的解集为-1, 2,求实数a的值；(2)当a<0时，解关于x的不等式f (x) <0.【解答】解：(1)因为不等式ax2+ (a- 2) x-200的解集为-1, 2,所以方程ax2+ (a-2) x- 2=0有两根且分别为-1,2,所以 = (a - 2) 2 - 4a? ( - 2) >0 且-1x 2=-,解得：a=1 ； a(2)由 ax2+ (a-2) x-2<0,得(x+1) (ax 2) <0,当-2<a<0 时，解集为x| x0二或 x> - 1,a当a=-2时，解集为R;当a< - 2时，解集为x| x0

20、- 1或x>-.19. (16分)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH上的一点B的正北 方向的A处建设一仓库，设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF (其中EF在GH上)，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路 AB, AC,已知AB=AG1,且 /ABC=60.(1)求y关于x的函数解析式，并求出定义域；(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问：x取何值时， 该公司建设中转站围墙和两条道路总造价 M最低.【解答】(1)在4BCF中，CF=x /FBC=30, CF± BF,所以 BC=

21、2x在4ABC中，AB=y, AC=y 1, / ABC=60,由余弦定理，得 AC2=BA2+BC2 - 2BA?BCcoS ABC,（2 分） 即 （y- 1） 2=y2+ （2x） 2 - 2y?2x?cos600,2所以尸4M 1 .（5分）y 2x-2-'2由AB-AC<BC,得触>1,算>工.又因为 厂生L二L>0,所以x> 1.22x-2所以函数厂第?的定义域是（1, +8）. .（6分）2K-2（2） M=30? （2yT） +40x,（8 分）22因为产;（x> 1）,所以M=30（2 Jk 匚E_a jCi.2即 M=10“12 /-3+44） （10 分）工一1令 t=xf 则 t>°.于是 M（t） =10 （16哼叫），t>0,（12分）由基本不等式得 M （t） > 10 （25值25） =490,当且仅当t二上，即xl时取等号.（化 分）44（16分）b1=-对任意N及公比q的值,答：当xkm时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元.420. （16分）已知数列an的前n项和为&,且满足&=n2-4n,数列bn中,正整数n2.b什（1）求数列4的通项公式；（2）是否存在实数 内使得数列3n?bn+ 4是等比数列？